顏美玲|杭州師范大學(xué)經(jīng)亨頤教育學(xué)院；浙江省杭州外國語學(xué)校

單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)是在整體思維的指導(dǎo)下，從提升學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng)出發(fā)，通過對教材相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行統(tǒng)籌重組和優(yōu)化，并將重組后的教學(xué)內(nèi)容視為一個(gè)相對獨(dú)立的教學(xué)單元而進(jìn)行的動(dòng)態(tài)教學(xué)設(shè)計(jì).它提倡將教學(xué)內(nèi)容置于單元整體中考慮，這樣就能規(guī)避目前課堂中存在的知識割裂化和碎片化的現(xiàn)象，從而提高教學(xué)效率.

在基本策略和方式方面：何小亞提出先從整體知識的研究對象、研究方法和用途等方面給學(xué)生一個(gè)全面的概述，使學(xué)生對這個(gè)知識單元有一個(gè)整體的認(rèn)識，然后逐個(gè)學(xué)習(xí)［1］；章建躍提出用數(shù)學(xué)研究的大觀念設(shè)計(jì)單元整體教學(xué)，引領(lǐng)學(xué)生從研究思路、研究內(nèi)容和研究方法等角度進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，讓學(xué)生經(jīng)歷完整的提出問題直至解決問題的過程［2］.在內(nèi)涵和設(shè)計(jì)路徑方面：章飛等提出根據(jù)學(xué)習(xí)主線的類型將學(xué)習(xí)單元分為兩類，即以知識技能為主題和以思想方法或?qū)W科素養(yǎng)為主題［3］；喻平又從一個(gè)單元就是一個(gè)思想體系、方法體系、知識體系的角度，提出了以問題解決過程線索為主題、以建立個(gè)體CPFS 結(jié)構(gòu)為主題、以概念生長為主題、以數(shù)學(xué)思想方法解決問題為主題的四種單元教學(xué)模式［4］.在上述研究的啟發(fā)下，筆者進(jìn)行了一些嘗試，下面以人教A版（2019）普通高中教科書《數(shù)學(xué)》（以下簡稱“人教A 版教材”）必修第一冊第五章《三角函數(shù)》為例，探討以數(shù)學(xué)思想方法和核心素養(yǎng)為旨?xì)w進(jìn)行單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)的實(shí)踐路徑.

一、分析單元教學(xué)要素

（一）課標(biāo)分析

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱“《課程標(biāo)準(zhǔn)》”）對該單元的要求為：幫助學(xué)生在用銳角三角函數(shù)刻畫直角三角形中邊角關(guān)系的基礎(chǔ)上，借助單位圓建立一般三角函數(shù)的概念，體會引入弧度制的必要性；用幾何直觀和代數(shù)運(yùn)算的方法研究三角函數(shù)的周期性、奇偶性（對稱性）、單調(diào)性和最大（?。┲档刃再|(zhì)；探索和研究三角函數(shù)之間的恒等關(guān)系；利用三角函數(shù)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型、解決實(shí)際問題.

《課程標(biāo)準(zhǔn)》對“直觀想象”的目標(biāo)要求是：建立形與數(shù)的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型，探索解決問題的思路；通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能提升數(shù)形結(jié)合的能力，發(fā)展幾何直觀和空間想象能力；增強(qiáng)運(yùn)用幾何直觀和空間想象思考問題的意識；形成數(shù)學(xué)直觀，在具體的情境中感悟事物的本質(zhì).

（二）教材分析

筆者以框架圖的方式呈現(xiàn)該單元的基本內(nèi)容（如圖1所示）.

圖1 《三角函數(shù)》單元內(nèi)容框架

該單元的核心概念是單位圓、弧度制、正弦、余弦、正切函數(shù).核心原理是正余弦、弦切關(guān)系以及誘導(dǎo)公式和兩角差的余弦公式.核心思想方法是利用單位圓給出三角函數(shù)的定義、探究其性質(zhì)并加以運(yùn)用.同時(shí)，筆者又從數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)方面將內(nèi)容進(jìn)行了分類，內(nèi)容①②、③～⑦、⑧⑨所涉及的主要核心素養(yǎng)分別是數(shù)學(xué)抽象、直觀想象和數(shù)學(xué)建模.該單元的地位和作用如下.

從三角函數(shù)發(fā)展的角度看，三角函數(shù)與天文學(xué)密不可分、相互交織；從應(yīng)用的角度看，三角函數(shù)與其他學(xué)科的聯(lián)系非常緊密，特別是物理學(xué)；從內(nèi)容上看，三角函數(shù)在中學(xué)階段起著承上啟下的作用，一方面它是對初中階段圓有關(guān)內(nèi)容的進(jìn)一步研究，另一方面它是后續(xù)學(xué)習(xí)平面解析幾何的基礎(chǔ)，它與向量和復(fù)數(shù)也有密切的聯(lián)系.同時(shí)，它能為學(xué)生在大學(xué)階段學(xué)習(xí)傅里葉級數(shù)等內(nèi)容做好鋪墊.

（三）學(xué)情分析

從內(nèi)容上看，在該單元之前，學(xué)生已在初中平面幾何中學(xué)習(xí)了有關(guān)圓的性質(zhì)以及中心對稱圖形、軸對稱圖形、旋轉(zhuǎn)對稱圖形等.從方法上看，平面幾何中的相關(guān)知識及其思想方法可為證明三角函數(shù)的性質(zhì)提供思路，如誘導(dǎo)公式.另外，在前面函數(shù)的學(xué)習(xí)中，學(xué)生已基本掌握了研究一類函數(shù)的內(nèi)容、一般過程與方法.

（四）教學(xué)目標(biāo)分析

結(jié)合《課程標(biāo)準(zhǔn)》、教材和學(xué)情，筆者對教學(xué)目標(biāo)作了如下分析：（1）經(jīng)歷用幾何直觀和代數(shù)運(yùn)算的方法研究三角函數(shù)的性質(zhì)的過程，體會研究三角函數(shù)性質(zhì)與其他函數(shù)性質(zhì)的方法的共同和不同之處；（2）經(jīng)歷以函數(shù)的一般概念與性質(zhì)為線索的探索過程，提升整體把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的能力，增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心；（3）加深對概念的理解，提升數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)；（4）經(jīng)歷用三角函數(shù)解決其他學(xué)科或生活中具有周期現(xiàn)象的實(shí)際問題，體會三角函數(shù)的應(yīng)用價(jià)值，提升數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng).

（五）重難點(diǎn)分析

在一般觀念指導(dǎo)下，筆者將該單元教學(xué)的重點(diǎn)定為：（1）研究三角函數(shù)的一般路徑；（2）類比指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的研究，展開該單元的研究；（3）注重三角函數(shù)的特殊性質(zhì)——周期性有著統(tǒng)領(lǐng)其他性質(zhì)的作用；（4）突出單位圓在研究三角函數(shù)性質(zhì)時(shí)的重要作用.

該單元教學(xué)的難點(diǎn)是：（1）以往所學(xué)函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系都是以代數(shù)運(yùn)算的方式反映的，而三角函數(shù)則是借助單位圓（是角和有向線段的對應(yīng)）給出對應(yīng)關(guān)系，學(xué)生剛開始不容易適應(yīng)這樣的對應(yīng)關(guān)系；（2）將圓的幾何性質(zhì)轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)值之間的關(guān)系，即通過幾何直觀研究三角函數(shù)的性質(zhì)，這也是學(xué)生不熟悉的方法；（3）發(fā)現(xiàn)兩角和（差）的三角函數(shù)公式與圓的旋轉(zhuǎn)對稱性間的聯(lián)系以及利用三角恒等變換解決問題.

（六）教學(xué)方式分析

單元整體教學(xué)需要凸顯學(xué)生的主體性，而不是單純地注重知識的傳遞.在具體的課堂教學(xué)中，教師要為學(xué)生提供充足的探索交流時(shí)間，并多安排一些合作探究的內(nèi)容，啟發(fā)學(xué)生探究、交流，最后師生共同歸納總結(jié).

二、重組后的單元教學(xué)內(nèi)容結(jié)構(gòu)

一般來說，教科書中自然的章節(jié)就是天然的單元.但若能以數(shù)學(xué)思想方法或核心素養(yǎng)為統(tǒng)領(lǐng)進(jìn)行適當(dāng)?shù)膯卧卣?，換一個(gè)維度，從更為上位的角度認(rèn)識學(xué)科的知識和結(jié)構(gòu)也是非常有必要的.人教A版教材特別強(qiáng)調(diào)和突出單位圓的地位和作用，如利用單位圓感受1弧度的角的大小，利用單位圓定義三角函數(shù)，利用單位圓研究同角三角函數(shù)的基本關(guān)系（即基本性質(zhì)），利用單位圓的軸對稱性和旋轉(zhuǎn)對稱性分別研究和推導(dǎo)誘導(dǎo)公式及和差角公式等.因此，筆者以單位圓為主要抓手重組該單元內(nèi)容，建立由3個(gè)小單元構(gòu)成的以直觀想象思想為引領(lǐng)的大單元結(jié)構(gòu)體系（如圖2所示）.

圖2 以直觀想象思想為引領(lǐng)的《三角函數(shù)》大單元結(jié)構(gòu)體系

對圖2，需要說明以下幾點(diǎn).

第一，教材中內(nèi)容呈現(xiàn)的順序是①②③④⑤⑥⑦⑧⑨，而重組后的順序是①②④③⑤⑦⑥⑧⑨，并且在⑦和⑥之間設(shè)置了1～2 個(gè)課時(shí)的主題探究. 直觀想象是該單元的核心思想方法，因此這樣的內(nèi)容順序設(shè)置主要是基于以思想方法為主題的單元教學(xué)模式.在小單元2中，筆者重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生逐步體會③～⑦這五塊內(nèi)容是圓的幾何性質(zhì)（重點(diǎn)是對稱性）的解析表達(dá).由于④可以從“圓上的點(diǎn)到圓心的距離就是半徑長”這一圓的幾何性質(zhì)并借助三角函數(shù)的定義直接得出，并且它本質(zhì)上所體現(xiàn)的是三角函數(shù)的周期性，而周期性是三角函數(shù)區(qū)別于其他函數(shù)的最主要性質(zhì)，所以筆者將它直接安排在②后.

第二，學(xué)生需要理解誘導(dǎo)公式其實(shí)就是三角函數(shù)的性質(zhì).為了使誘導(dǎo)公式的教學(xué)本質(zhì)化、簡單化，同時(shí)讓學(xué)生感受現(xiàn)代數(shù)學(xué)的主流方法（對稱、變換等）［5］（具體內(nèi)容見表1），構(gòu)建利用單位圓的性質(zhì)研究三角函數(shù)性質(zhì)的一般路徑與方法，筆者重點(diǎn)將教材中的誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)關(guān)系作了順序上的調(diào)整，得到了小單元2的框架.

表1 誘導(dǎo)公式與單位圓的幾何性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)（或?qū)ΨQ）變換的關(guān)系

第三，在小單元2中，筆者將教材中的“探究與發(fā)現(xiàn)”安排在⑦和⑥之間，是希望學(xué)生能進(jìn)一步體會單位圓在研究三角函數(shù)性質(zhì)中的腳手架作用，這也是其區(qū)別于其他函數(shù)的方面，即利用單位圓的幾何直觀研究性質(zhì).若將⑦設(shè)置在⑥之后，會讓學(xué)生有一種假探究的感覺.因此，筆者認(rèn)為按照“⑦→探究與發(fā)現(xiàn)→⑥”的順序展開教學(xué)，既能突出單位圓的工具性作用，又能聚焦核心素養(yǎng)與關(guān)鍵能力.當(dāng)然，若學(xué)生水平一般，可調(diào)回“⑦→⑥→探究與發(fā)現(xiàn)”的順序.

另外，教師也可開設(shè)如“將單位圓關(guān)于y=-x對稱的幾何性質(zhì)轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)值之間的關(guān)系”等主題探究式的課堂，繼續(xù)強(qiáng)化通過幾何直觀研究三角函數(shù)性質(zhì)的思想方法. 考慮到新知學(xué)習(xí)容量較大，教師也可根據(jù)學(xué)情適當(dāng)調(diào)整內(nèi)容順序.當(dāng)然，若作為章節(jié)復(fù)習(xí)課或高三第一輪復(fù)習(xí)階段復(fù)習(xí)課，則完全可以按照上述思路進(jìn)行單元重組.

三、單元整體教學(xué)案例

作為單元整體教學(xué)中的一部分，課時(shí)教學(xué)既應(yīng)以單元整體教學(xué)思想為統(tǒng)攝，聯(lián)結(jié)該課時(shí)前后的其他課時(shí)教學(xué)，又應(yīng)突出自身的教學(xué)價(jià)值.下面以“探究與發(fā)現(xiàn)——利用單位圓的性質(zhì)研究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)”課時(shí)教學(xué)為例，呈現(xiàn)單元整體教學(xué)的部分輪廓.

（一）課時(shí)目標(biāo)

結(jié)合《課程標(biāo)準(zhǔn)》、教材和學(xué)情，筆者將該課時(shí)目標(biāo)定為如下兩點(diǎn)：（1）在已有經(jīng)驗(yàn)（借助圖象來研究函數(shù)性質(zhì)）的基礎(chǔ)上嘗試從新的角度探究三角函數(shù)的性質(zhì)，即通過觀察任意角的終邊與單位圓交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的變化規(guī)律，獲得余弦函數(shù)的性質(zhì)，從而提升直觀想象等核心素養(yǎng)并強(qiáng)化利用幾何直觀思考、解決問題的能力；（2）能類比利用單位圓的性質(zhì)研究余弦函數(shù)性質(zhì)的方法和一般過程，自主研究正弦函數(shù)的性質(zhì)，進(jìn)一步提升自主探究問題的能力.

（二）課時(shí)重難點(diǎn)

重點(diǎn)：利用單位圓的性質(zhì)，通過觀察數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)研究正、余弦函數(shù)的性質(zhì).

難點(diǎn)：利用單位圓，從正、余弦函數(shù)定義的角度直接探究性質(zhì).

（三）過程設(shè)計(jì)（簡案）

1.復(fù)習(xí)回顧，做好鋪墊

師：請回顧任意角三角函數(shù)的定義，說出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)對應(yīng)的幾何意義.

設(shè)計(jì)意圖：這節(jié)課的核心思想是利用單位圓的性質(zhì)研究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)，而三角函數(shù)的定義與單位圓密切相關(guān)，因此復(fù)習(xí)三角函數(shù)的定義，可為后續(xù)研究函數(shù)性質(zhì)做好知識上的準(zhǔn)備.

2.提出問題，形成思路

問題1：這節(jié)課研究的對象是什么？

問題2：類比以往對函數(shù)性質(zhì)的研究，你認(rèn)為應(yīng)該研究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的哪些性質(zhì)？

問題3：你覺得應(yīng)該如何研究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)？

設(shè)計(jì)意圖：通過問題1，讓學(xué)生明確這節(jié)課的研究對象是y=sinx，y=cosx（xR），接著在問題2中讓學(xué)生通過類比，提出研究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、最值等.另外，通過之前對誘導(dǎo)公式的學(xué)習(xí)，學(xué)生已初步感知與其他初等函數(shù)相比，其具有的最特殊的性質(zhì)——周期性，因此在此處可以引導(dǎo)學(xué)生提出相關(guān)概念，為后續(xù)的探究做好鋪墊.基于學(xué)生能提出借助函數(shù)圖象研究函數(shù)這一傳統(tǒng)思路的前提，問題3 旨在讓學(xué)生提出探究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)性質(zhì)的新視角，即利用單位圓的性質(zhì)，從而確定這節(jié)課的研究思路.

3.初步探究，感知性質(zhì)

問題4：前面所學(xué)的哪個(gè)誘導(dǎo)公式體現(xiàn)的是正弦、余弦函數(shù)的周期性呢？

問題5：函數(shù)的周期性是如何定義的？

問題6：什么是函數(shù)的性質(zhì)？

設(shè)計(jì)意圖：利用單位圓的性質(zhì)研究周期性與奇偶性，已在之前教材中的誘導(dǎo)公式1——sin(x+2kπ)=sinx（kZ）和誘導(dǎo)公式3——sin(-x)=-sinx上有所體現(xiàn)，因此通過問題4 可讓學(xué)生回憶誘導(dǎo)公式1、給出周期函數(shù)的一般定義，從特殊到一般循序漸進(jìn)地引出周期函數(shù)的嚴(yán)格定義.同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生從函數(shù)的角度再次審視誘導(dǎo)公式1，即自變量x的值增加2π 整數(shù)倍時(shí)所對應(yīng)的函數(shù)值與x所對應(yīng)的函數(shù)值相等，從而體會研究自變量x的變化，函數(shù)值y的變化規(guī)律就是研究函數(shù)的性質(zhì)的一般觀念.另外，正因?yàn)檎液瘮?shù)、余弦函數(shù)具有周期性，所以在研究其他性質(zhì)時(shí)可簡化研究，即先研究一個(gè)周期內(nèi)的性質(zhì)再延拓到整個(gè)定義域內(nèi).

4.以點(diǎn)帶面，深入研究

問題7：如何在單位圓中研究余弦函數(shù)y=cosx（xR）的性質(zhì)呢？

設(shè)計(jì)意圖：通過小組合作的方式，先讓學(xué)生將研究余弦函數(shù)的過程及結(jié)論寫在學(xué)習(xí)單上，然后匯報(bào)，師生一起總結(jié).借助GeoGebra軟件的動(dòng)態(tài)演示，教師可引導(dǎo)學(xué)生通過觀察角的終邊與單位圓的交點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的變化規(guī)律，得出余弦函數(shù)的單調(diào)性和最值.另外，關(guān)于奇偶性，學(xué)生很容易從誘導(dǎo)公式3——cos(-x)=cosx得出偶函數(shù)的結(jié)論.但是此處教師需要引導(dǎo)學(xué)生從函數(shù)性質(zhì)的角度再次認(rèn)識該公式，并且通過GeoGebra 軟件的動(dòng)態(tài)演示（如圖3 所示），從單位圓的角度直觀感知為何直線x=0是余弦函數(shù)的對稱軸，即角以零角為參考順時(shí)針或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)任意相等的角，旋轉(zhuǎn)后兩終邊與單位圓交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是相等的，即余弦函數(shù)值是相等的.

圖3 兩角終邊關(guān)于v軸對稱的余弦函數(shù)的動(dòng)態(tài)演示

問題8：你還能借助單位圓發(fā)現(xiàn)余弦函數(shù)的其他性質(zhì)嗎？

設(shè)計(jì)意圖：前面主要利用了單位圓的周而復(fù)始以及關(guān)于v軸的對稱性得到了余弦函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，接著繼續(xù)啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生借助GeoGebra 軟件的動(dòng)態(tài)演示研究得出余弦函數(shù)的對稱性.在圖3中，當(dāng)兩個(gè)角的終邊關(guān)于v軸對稱時(shí)，對應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)到直線x=kπ（kZ）的距離是相等的.從單位圓上看，這兩個(gè)角的終邊與單位圓交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是相等的，即余弦函數(shù)值相等.因此，直線x=kπ（kZ）是余弦函數(shù)的對稱軸.當(dāng)兩個(gè)角的終邊關(guān)于u軸對稱時(shí)（如上頁圖4所示），這兩個(gè)角的終邊與單位圓交點(diǎn)的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，即它們的余弦函數(shù)值相反.而對應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)到直線x=kπ+的距離是相等的，因此這兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)呈中心對稱.于是可得出余弦函數(shù)關(guān)于點(diǎn)呈中心對稱.

圖4 兩角終邊關(guān)于u軸對稱的余弦函數(shù)的動(dòng)態(tài)演示

5.課堂小結(jié)，形成結(jié)構(gòu)

問題9：你能歸納出在單位圓中研究正弦、余弦函數(shù)性質(zhì)的一般步驟了嗎？

設(shè)計(jì)意圖：師生一起用框圖的形式梳理利用單位圓研究余弦函數(shù)性質(zhì)的一般過程（如圖5所示），為后續(xù)自主研究正弦函數(shù)做好鋪墊，同時(shí)回顧與總結(jié)這節(jié)課的研究內(nèi)容和研究方法（如圖6、圖7所示）.

圖5 研究函數(shù)性質(zhì)的一般過程

圖6 函數(shù)性質(zhì)的研究內(nèi)容

6.拓展應(yīng)用，布置作業(yè)

（1）請利用單位圓自主研究正弦函數(shù)的性質(zhì).

（2）利用單位圓證明以下問題：

①若0 ＜α＜，證明：sinα＜α＜tanα，1 ＜sinα+cosα＜

②若0 ＜α＜β＜證明：α-sinα＜βsinβ.

（3）你還可以利用單位圓研究三角函數(shù)的其他性質(zhì)嗎？請?jiān)囈辉?