劉春江|浙江省杭州市文海中學(xué)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》（以下簡(jiǎn)稱“《課程標(biāo)準(zhǔn)》”）指出，教材內(nèi)容設(shè)計(jì)要反映數(shù)學(xué)在自然與社會(huì)中的應(yīng)用，展現(xiàn)數(shù)學(xué)發(fā)展史中偉大的數(shù)學(xué)家，特別是中國(guó)古代與近現(xiàn)代著名數(shù)學(xué)家，以及他們的數(shù)學(xué)成果在人類文明發(fā)展中的作用，以增強(qiáng)學(xué)生的愛(ài)國(guó)情懷和民族自豪感.因此，一線教師可嘗試打造文化視角、素養(yǎng)立意的數(shù)學(xué)課堂，即從數(shù)學(xué)文化的角度來(lái)審視教學(xué)內(nèi)容，設(shè)計(jì)指向核心素養(yǎng)的教學(xué)目標(biāo)，并以此引領(lǐng)課堂教學(xué).這種具有文化屬性的數(shù)學(xué)課堂能展示數(shù)學(xué)的美麗與價(jià)值，喚起學(xué)生的好奇心與求知欲，使學(xué)生在數(shù)學(xué)文化的浸潤(rùn)中發(fā)展核心素養(yǎng).下面，筆者以浙教版義務(wù)教育教科書《數(shù)學(xué)》九年級(jí)上冊(cè)第2章第3節(jié)《用頻率估計(jì)概率》的教學(xué)為例，談?wù)勅绾谓?gòu)文化視角、素養(yǎng)立意的數(shù)學(xué)課堂.

一、以文化視角審視教學(xué)內(nèi)容

“用頻率估計(jì)概率”屬于“統(tǒng)計(jì)與概率”領(lǐng)域，體現(xiàn)了偶然性和必然性的統(tǒng)一，在概率統(tǒng)計(jì)的應(yīng)用歷史上有著豐富的經(jīng)典實(shí)踐案例.因此，從數(shù)學(xué)文化視角上審視該節(jié)教學(xué)內(nèi)容及流程十分必要.

首先，基于學(xué)情.此時(shí)，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)隨機(jī)事件與概率，初步了解了概率的意義，會(huì)用列舉法求一些簡(jiǎn)單等可能事件的概率.基于此，筆者對(duì)相關(guān)數(shù)學(xué)文化知識(shí)進(jìn)行梳理，先介紹布豐等數(shù)學(xué)家拋擲硬幣的試驗(yàn)，再展示雅各布·伯努利以定理的形式給予嚴(yán)格證明的史實(shí)，在史料的有序呈現(xiàn)中向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)家求真務(wù)實(shí)的嚴(yán)謹(jǐn)精神，在深厚的數(shù)學(xué)文化氛圍中引出這節(jié)課的內(nèi)容，即對(duì)概率作進(jìn)一步的研究.

其次，指向內(nèi)容.針對(duì)“隨機(jī)事件發(fā)生的頻數(shù)和頻率均可以通過(guò)統(tǒng)計(jì)的方法獲得”這一內(nèi)容，筆者安排古典概型中經(jīng)典的摸球試驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷試驗(yàn)設(shè)計(jì)、實(shí)施的全過(guò)程，體驗(yàn)數(shù)學(xué)家的研究方法，感受數(shù)學(xué)研究的魅力，在文化的熏染中明確：概率是客觀存在的確定數(shù)，而頻率在試驗(yàn)前是不能確定的，具有隨機(jī)性.

最后，突破難點(diǎn).針對(duì)“隨著獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)的不斷增加，隨機(jī)事件發(fā)生的頻率會(huì)呈現(xiàn)出一定的穩(wěn)定性”這一難點(diǎn)，筆者引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)“三門問(wèn)題”“巧用頻率妙求π”“威廉·向克思的憾事”等經(jīng)典數(shù)學(xué)史例，使學(xué)生在多樣的數(shù)學(xué)文化中，具身體會(huì)可利用大量重復(fù)試驗(yàn)的方法獲得頻率，再用該頻率估計(jì)隨機(jī)事件發(fā)生的概率，歸納出此方法不受限于各種結(jié)果發(fā)生是否等可能及隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果數(shù)等因素，其適用范圍比用列舉法計(jì)算概率更廣泛.

從文化視角對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行審視并設(shè)計(jì)教學(xué)，不僅有利于核心知識(shí)的落實(shí)，更有利于學(xué)生浸潤(rùn)數(shù)學(xué)文化、感悟數(shù)學(xué)力量、激發(fā)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣.

二、素養(yǎng)立意預(yù)設(shè)教學(xué)目標(biāo)

依據(jù)《課程標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)此部分內(nèi)容的要求，筆者結(jié)合學(xué)情、當(dāng)前科技發(fā)展水平等因素，以發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)為立意，設(shè)定這節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)：（1）了解隨機(jī)事件在每次試驗(yàn)中是否發(fā)生的不確定性，隨著試驗(yàn)次數(shù)的大量增加，事件發(fā)生的頻率會(huì)逐漸趨于穩(wěn)定；（2）通過(guò)摸球與擲硬幣等隨機(jī)試驗(yàn)，了解頻率與概率的聯(lián)系與區(qū)別，知道可以通過(guò)大量重復(fù)試驗(yàn)的頻率去估計(jì)概率，經(jīng)歷設(shè)計(jì)并實(shí)施試驗(yàn)，通過(guò)試驗(yàn)數(shù)據(jù)探索內(nèi)在規(guī)律，提升合作交流能力；（3）能夠應(yīng)用“用頻率估計(jì)概率”的知識(shí)解決相關(guān)問(wèn)題，并能從對(duì)數(shù)學(xué)史上經(jīng)典問(wèn)題的分析與再創(chuàng)造中感受數(shù)學(xué)文化的價(jià)值，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣.

三、文化視角、素養(yǎng)立意下的課堂建構(gòu)策略

（一）以課程標(biāo)準(zhǔn)為依據(jù)，發(fā)掘文化素材，讓素養(yǎng)的形成有根基

課堂教學(xué)只有做到以《課程標(biāo)準(zhǔn)》為據(jù)，以教材為基，以學(xué)生為本，才能有效地培育學(xué)生的核心素養(yǎng).《課程標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)這節(jié)內(nèi)容的要求為“知道通過(guò)大量地重復(fù)試驗(yàn)，可以用頻率估計(jì)概率”.一方面，估計(jì)的過(guò)程既涉及隨機(jī)性，又體現(xiàn)隨機(jī)性表現(xiàn)出來(lái)的規(guī)律性，這就使學(xué)生理解起來(lái)比較困難，如對(duì)其進(jìn)行常規(guī)教學(xué)的設(shè)計(jì)，很容易造成教師呆板呈現(xiàn)、學(xué)生被動(dòng)識(shí)記的局面，難以達(dá)成《課程標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)這節(jié)內(nèi)容的教學(xué)要求.另一方面，我們知道數(shù)學(xué)既是一門科學(xué)，也是一種文化，數(shù)學(xué)知識(shí)具有豐富而深刻的文化內(nèi)涵，數(shù)學(xué)教育的目的不僅要讓學(xué)生的“四基”得到發(fā)展，還應(yīng)讓學(xué)生接受數(shù)學(xué)文化的熏陶，感受數(shù)學(xué)的無(wú)窮魅力，形成理性精神.因此，文化視角素養(yǎng)立意下的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，在教學(xué)內(nèi)容的選取和組織上要努力跟經(jīng)典史料和社會(huì)生活等主動(dòng)結(jié)合.選取的文化素材需要具備如下特點(diǎn)：既包含數(shù)學(xué)課程的具體內(nèi)容，又展示數(shù)學(xué)的價(jià)值；既具有情境性、開(kāi)放性、趣味性等特征，又有利于突出教學(xué)重點(diǎn)、突破學(xué)習(xí)難點(diǎn).

在這個(gè)環(huán)節(jié)中，筆者將生活背景與數(shù)學(xué)史料有機(jī)結(jié)合，從拋擲硬幣試驗(yàn)切入，引導(dǎo)學(xué)生親身體驗(yàn)古典概型——人類對(duì)概率和統(tǒng)計(jì)規(guī)律最早的建模嘗試.學(xué)生從樸素的數(shù)學(xué)原則下古人對(duì)概率的認(rèn)識(shí)起點(diǎn)出發(fā)，通過(guò)試驗(yàn)設(shè)計(jì)、試驗(yàn)操作、視頻觀看、交流討論等形式，在數(shù)學(xué)文化的陶冶中逐步激發(fā)起探究數(shù)學(xué)的興趣，對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容也逐漸產(chǎn)生了親切感、價(jià)值感.這進(jìn)一步推動(dòng)了學(xué)生對(duì)頻率與概率關(guān)系的認(rèn)識(shí)，由此也就發(fā)展了數(shù)據(jù)分析觀念.

問(wèn)題1：將一枚質(zhì)地均勻的硬幣連續(xù)拋擲兩次，計(jì)算“兩次都正面向上”的概率.

［師生活動(dòng)］教師介紹古代數(shù)學(xué)家的拋擲硬幣試驗(yàn)史實(shí).學(xué)生用多種方法解答，教師巡視并展示學(xué)生有代表性的解法.師生一起將知識(shí)要點(diǎn)歸納為：概率可算，算之有法，初中階段，一圖一表.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)回顧舊知再次加深學(xué)生對(duì)概率確定性的理解，用拋擲硬幣問(wèn)題回顧古典概型中“能夠通過(guò)事前計(jì)算獲得概率”的知識(shí)，既鞏固了基礎(chǔ)知識(shí)，又檢驗(yàn)了基本技能，為這節(jié)課學(xué)習(xí)“事件的概率不能簡(jiǎn)單通過(guò)計(jì)算獲得”埋下伏筆.而對(duì)知識(shí)進(jìn)行四字對(duì)仗式的歸納，能使學(xué)生對(duì)知識(shí)的記憶與理解更加容易、更加深刻.

（二）以問(wèn)題為導(dǎo)向，設(shè)計(jì)文化體驗(yàn)，讓素養(yǎng)的發(fā)展根植實(shí)踐

葉瀾教授說(shuō)：“有文化意義的課堂，一定是充滿生命激情、生命動(dòng)感的課堂.”［1］在設(shè)計(jì)問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生活動(dòng)時(shí)，既考慮課時(shí)核心內(nèi)容，又恰當(dāng)?shù)厝谌霐?shù)學(xué)文化，可使學(xué)生開(kāi)闊視野、激發(fā)學(xué)習(xí)興趣、增進(jìn)數(shù)學(xué)理解、提升核心素養(yǎng).問(wèn)題設(shè)計(jì)需要做到如下三點(diǎn)：指向明確，層層遞進(jìn)；大氣開(kāi)放，關(guān)注思維；體現(xiàn)趣味，著力應(yīng)用.在課堂教學(xué)過(guò)程中，教師要時(shí)刻關(guān)注學(xué)生的表達(dá)與反饋，使學(xué)生保持思維的活躍度，有效地激發(fā)學(xué)生主動(dòng)地積極思考.

在這個(gè)環(huán)節(jié)中，筆者先設(shè)計(jì)指向概率意義的“拋擲硬幣100 次，正面向上的頻率”問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生親身體驗(yàn)數(shù)學(xué)史上的拋擲硬幣試驗(yàn)，促使學(xué)生增強(qiáng)對(duì)頻率隨機(jī)性的認(rèn)識(shí)，再設(shè)置關(guān)于隨機(jī)性的趨勢(shì)問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)對(duì)各組數(shù)據(jù)的匯總分析，在初步感知頻率的隨機(jī)性的同時(shí)，能夠主動(dòng)意識(shí)到頻率與概率之間可能存在某種必然關(guān)系.以一系列具有文化體驗(yàn)功能的問(wèn)題為引領(lǐng)，可使學(xué)生在深度感受數(shù)學(xué)家精神的同時(shí)，積極開(kāi)展活動(dòng)，并以數(shù)學(xué)家為榜樣，努力提升自己的數(shù)學(xué)思維.

問(wèn)題2：拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，“正面向上”的概率是0.5，這是否意味著拋擲硬幣100 次，“正面向上”的頻數(shù)一定是50，頻率一定是0.5？請(qǐng)思考并對(duì)照試驗(yàn)數(shù)據(jù)回答.

［師生活動(dòng)］教師指導(dǎo)學(xué)生對(duì)試驗(yàn)任務(wù)的數(shù)據(jù)進(jìn)行觀察、思考、交流、整理分析，并得出結(jié)論.教師第一次指出頻率具有隨機(jī)性.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)對(duì)少量試驗(yàn)獲得的數(shù)據(jù)進(jìn)行收集與整理、分析與描述，讓學(xué)生初步體會(huì)頻率的隨機(jī)性.

問(wèn)題3：隨著重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)的增加，“正面向上”的頻率變化趨勢(shì)怎樣？

［師生活動(dòng)］教師引導(dǎo)學(xué)生按照試驗(yàn)要求獨(dú)立試驗(yàn)、記錄數(shù)據(jù)后小組合作，初步發(fā)現(xiàn)頻率的穩(wěn)定性.

（三）以技術(shù)為輔助，促進(jìn)文化體驗(yàn)，讓抽象的思考外化

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要學(xué)生真實(shí)的思維參與.學(xué)生在參與中體驗(yàn)，在體驗(yàn)中感悟，進(jìn)而在感悟中積累經(jīng)驗(yàn)、提高認(rèn)識(shí).因此，教師要設(shè)置文化體驗(yàn)的機(jī)會(huì)，引導(dǎo)學(xué)生在文化體驗(yàn)中實(shí)現(xiàn)積極的心理參與和思維參與，從而充分地體會(huì)到知識(shí)的形成和發(fā)展歷程.將信息技術(shù)應(yīng)用于數(shù)學(xué)教學(xué)，通過(guò)其演示數(shù)學(xué)史上的經(jīng)典試驗(yàn)，既能節(jié)省大量的課堂操作時(shí)間，把更多時(shí)間留給學(xué)生獨(dú)立思考和有效交流，又能使學(xué)生直觀地感受到經(jīng)典試驗(yàn)的流程，體會(huì)古代數(shù)學(xué)家的智慧，從而使數(shù)學(xué)教學(xué)變得更加便捷、科學(xué)和高效.在充分互動(dòng)的學(xué)習(xí)環(huán)境中，學(xué)生也能更好地掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維，提升實(shí)踐、探究與創(chuàng)新能力.

在這個(gè)環(huán)節(jié)中，筆者通過(guò)信息技術(shù)幫助學(xué)生體會(huì)頻率的隨機(jī)性與穩(wěn)定性，如借助多媒體視頻展示案例，借助Excel 整理、描述、呈現(xiàn)學(xué)生拋擲硬幣試驗(yàn)的數(shù)據(jù)，借助GeoGebra 模擬拋硬幣和摸球試驗(yàn)并繪制成表格和圖象直觀地描述試驗(yàn)數(shù)據(jù).這些技術(shù)手段有效地輔助了學(xué)生對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行整理與呈現(xiàn)、觀察與分析、猜想與驗(yàn)證等活動(dòng)，促使學(xué)生有步驟地體會(huì)頻率與概率的關(guān)系，并歸納出用頻率估計(jì)概率的方法和要點(diǎn).

［師生活動(dòng)］教師展示利用GeoGebra 軟件模擬的投硬幣試驗(yàn)1000 次，利用軟件繪制出頻率變化動(dòng)態(tài)圖象.學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)試驗(yàn)次數(shù)較少時(shí)，頻率表現(xiàn)出隨機(jī)性的可能性相對(duì)比較大，而隨著重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)的不斷增加，頻率則越來(lái)越呈現(xiàn)出穩(wěn)定性，穩(wěn)定在某一具體數(shù)值附近的可能性越來(lái)越大.

設(shè)計(jì)意圖：應(yīng)用信息技術(shù)輔助教學(xué)，幫助學(xué)生進(jìn)一步理解頻率具有隨機(jī)性，同時(shí)通過(guò)軟件模擬的大量重復(fù)試驗(yàn)中的數(shù)據(jù)呈現(xiàn)，向?qū)W生直觀地展現(xiàn)出大量獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中頻率的穩(wěn)定性，以此引導(dǎo)學(xué)生準(zhǔn)確地表述頻率與概率的關(guān)系.

［師生活動(dòng)］教師呈現(xiàn)教材第53頁(yè)的史料數(shù)據(jù)，學(xué)生依據(jù)數(shù)據(jù)進(jìn)一步感受頻率的穩(wěn)定性，體會(huì)數(shù)學(xué)家求真務(wù)實(shí)的精神.

設(shè)計(jì)意圖：使用數(shù)學(xué)史料，既能起到增加試驗(yàn)次數(shù)的目的，又能使學(xué)生在史料中感受數(shù)學(xué)家求真務(wù)實(shí)、勇于探索的精神.

問(wèn)題4：在不透明的箱子內(nèi)裝有紅色和藍(lán)色共5個(gè)小球，它們除了顏色外沒(méi)有其他區(qū)別.在不打開(kāi)箱子的情況下，每次隨機(jī)摸出一個(gè)球后放回，你能估計(jì)出箱子內(nèi)紅球的個(gè)數(shù)嗎？

相對(duì)于傳統(tǒng)的DEA方法獲得的城市旅游效率方式來(lái)說(shuō)，其結(jié)果明顯被高估，而應(yīng)用Bootstrap-DEA模型利用糾偏測(cè)度獲得的結(jié)果更為符合實(shí)際的狀況，分析近年來(lái)廣東省城市旅游效率產(chǎn)生的空間變化來(lái)說(shuō)，年度旅游效率存在較為顯著的差異性，整體效率水平有待提升，多數(shù)的城市均實(shí)現(xiàn)了總計(jì)數(shù)效率有效。而基于時(shí)間變化的角度分析，因?yàn)槁糜涡逝c旅游產(chǎn)出的增長(zhǎng)態(tài)勢(shì)具有一定的差異，主要就是因?yàn)榻曷糜握叩挠绊?，?dǎo)致長(zhǎng)期的投資項(xiàng)目不斷增多，這樣就造成了投資冗余，導(dǎo)致旅游經(jīng)濟(jì)無(wú)效城市的數(shù)量不斷增多。

［師生活動(dòng)］教師指導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷試驗(yàn)設(shè)計(jì)、試驗(yàn)實(shí)施、問(wèn)題解決等過(guò)程.在學(xué)生充分思考、設(shè)計(jì)并實(shí)施后，教師利用計(jì)算機(jī)軟件演示大量試驗(yàn)，繪制頻率分布圖.師生一同歸納得出：概率可估，估之有道，大量試驗(yàn)，頻率穩(wěn)定.教師展示雅各布·伯努利給出嚴(yán)格證明的數(shù)學(xué)史料.

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)分析模擬摸球問(wèn)題的數(shù)據(jù)情況，歸納出解決問(wèn)題的關(guān)鍵是確定事件發(fā)生的概率.學(xué)生在經(jīng)歷問(wèn)題解決的過(guò)程中積累經(jīng)驗(yàn)，加深對(duì)用頻率估計(jì)概率的方法的認(rèn)同.用數(shù)學(xué)史料的介紹初步激發(fā)學(xué)生的“三會(huì)”意識(shí).

（四）以應(yīng)用為目的，再現(xiàn)文化魅力，讓素養(yǎng)在問(wèn)題解決中彰顯

數(shù)學(xué)文化的價(jià)值不僅在于數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程，也在于它的應(yīng)用價(jià)值，數(shù)學(xué)應(yīng)用同樣是數(shù)學(xué)文化融入數(shù)學(xué)教學(xué)的契機(jī).荷蘭著名數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾倡導(dǎo)“再創(chuàng)造理論”，即“對(duì)學(xué)生和數(shù)學(xué)家應(yīng)該同樣看待，讓他們擁有同樣的權(quán)利，那就是通過(guò)再創(chuàng)造來(lái)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，而且我們希望這是真正的再創(chuàng)造，而不是因襲和仿效”［2］.因此，教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)多聯(lián)系實(shí)際，關(guān)注數(shù)學(xué)在日常生活中的應(yīng)用，結(jié)合數(shù)學(xué)文化的應(yīng)用價(jià)值，根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)和規(guī)律，分析學(xué)生學(xué)習(xí)可能會(huì)產(chǎn)生的問(wèn)題或薄弱環(huán)節(jié)，有針對(duì)性地設(shè)計(jì)基于數(shù)學(xué)文化的體驗(yàn)式教學(xué)，將再創(chuàng)造的機(jī)會(huì)留給學(xué)生.如可將凝結(jié)在數(shù)學(xué)概念中的數(shù)學(xué)家的思維活動(dòng)還原，以若干典型事例為載體，引導(dǎo)學(xué)生分析事例特征，進(jìn)而把蘊(yùn)藏于基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)中的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本思想，靈活地運(yùn)用于歷史上曾經(jīng)發(fā)生過(guò)的經(jīng)典問(wèn)題解決中.這樣不僅能使學(xué)生感受數(shù)學(xué)文化的魅力，也能使隱性的素養(yǎng)得以彰顯.

在這節(jié)課中，筆者基于《課程標(biāo)準(zhǔn)》的要求以及教學(xué)實(shí)踐中出現(xiàn)的問(wèn)題，給出中學(xué)階段用頻率估計(jì)概率兩個(gè)核心點(diǎn)，即試驗(yàn)隨機(jī)性以及大量重復(fù)試驗(yàn)下頻率的穩(wěn)定性的活動(dòng)設(shè)計(jì).筆者將“三門問(wèn)題”“巧用頻率妙求π”“威廉·向克思的憾事”等經(jīng)典數(shù)學(xué)試驗(yàn)巧妙地穿插于這兩個(gè)活動(dòng)設(shè)計(jì)中，既體現(xiàn)對(duì)頻率穩(wěn)定性的學(xué)科理解［3］，又有利于在問(wèn)題解決的過(guò)程中展現(xiàn)素養(yǎng)達(dá)成的效果.

問(wèn)題5：你能增加“選中汽車”的概率嗎？

［師生活動(dòng)］教師通過(guò)視頻呈現(xiàn)“三門問(wèn)題”：“三扇門后分別是汽車、山羊、山羊，選中后面有車的那扇門可贏得該汽車.當(dāng)參賽者選定了一扇門后，主持人先不開(kāi)啟它，而是打開(kāi)另一扇門，露出其中一只山羊，然后問(wèn)參賽者要不要換另一扇仍然關(guān)閉的門.問(wèn)題是：換門是否可以增加參賽者贏得汽車的概率？”學(xué)生從不同角度獨(dú)立思考并嘗試計(jì)算，感受不容易用列舉法求這個(gè)隨機(jī)事件的概率，再經(jīng)歷同伴交流，發(fā)現(xiàn)不同的學(xué)生有不同的解答思路和答案，互相難以說(shuō)服別人.教師提示可以用頻率估計(jì)概率并用紙牌模擬試驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證.最后，教師利用軟件增加試驗(yàn)次數(shù)，引導(dǎo)學(xué)生估計(jì)“換門有車”和“不換門有車”的概率.

設(shè)計(jì)意圖：“三門問(wèn)題”是有違直覺(jué)的概率問(wèn)題的極具代表性的例子，不容易通過(guò)計(jì)算獲得概率值，歷史上曾引發(fā)激烈探討.以此問(wèn)題引出學(xué)生對(duì)同一問(wèn)題的不同看法，可使學(xué)生在認(rèn)知沖突中激起對(duì)頻率、概率知識(shí)的學(xué)習(xí)熱情，進(jìn)而運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)獨(dú)立設(shè)計(jì)并實(shí)施運(yùn)用以頻率估計(jì)概率的試驗(yàn)方案.而引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)具身經(jīng)歷和及時(shí)歸納，充分認(rèn)識(shí)到“對(duì)于概率不可或不易通過(guò)計(jì)算求得的問(wèn)題，可以采取用頻率估計(jì)概率這一有效方法”，則能成功突破課時(shí)教學(xué)難點(diǎn).

問(wèn)題6：你還知道生活中有哪些問(wèn)題需要應(yīng)用頻率與概率的關(guān)系來(lái)解決嗎？

［師生活動(dòng)］學(xué)生思考、回憶并分享.教師展示相關(guān)數(shù)學(xué)史料，如“巧用頻率妙求π”“威廉·向克斯的憾事”等.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)數(shù)學(xué)發(fā)展史上利用頻率與概率關(guān)系估計(jì)π 值問(wèn)題，以及英國(guó)數(shù)學(xué)家威廉·向克斯引以為傲的一生中最重要的成果居然被人運(yùn)用頻率與概率關(guān)系的方法推翻等經(jīng)典案例，讓學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)頻率與概率關(guān)系的應(yīng)用，并激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，增加對(duì)數(shù)學(xué)科普書籍的閱讀，提高用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界的意識(shí).

（五）以回顧為契機(jī)，在反思中提升，讓元認(rèn)知在文化熏沐的復(fù)盤中形成

運(yùn)用元認(rèn)知、反思性學(xué)習(xí)等理論指導(dǎo)小結(jié)整理環(huán)節(jié)，能不同程度地提高學(xué)生的反思意識(shí)和能力，既能有效輔助教學(xué)活動(dòng)、提升學(xué)習(xí)效果，又能呼應(yīng)學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)中“自我管理”“勤于反思”的操作要點(diǎn)，它是PDCA（P、D、C、A 分別為Plan、Do、Check、Act 的首字母，意為計(jì)劃、執(zhí)行、檢查、行動(dòng)）全面質(zhì)量管理思想在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的具體落實(shí).

為這節(jié)課作小結(jié)時(shí)，筆者引導(dǎo)學(xué)生回顧整節(jié)課的流程：通過(guò)自己拋硬幣和數(shù)學(xué)家拋硬幣的比較，體會(huì)從小事做起、求真務(wù)實(shí)的治學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)態(tài)度，體會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，體會(huì)大膽猜想與小心求證相輔相成的關(guān)系，體會(huì)用數(shù)學(xué)的思維分析現(xiàn)實(shí)世界；通過(guò)對(duì)“三門問(wèn)題”的分析與解答，以及“巧用頻率妙求π”和“威廉·向克斯的憾事”的學(xué)習(xí)，加強(qiáng)用頻率估計(jì)概率這一方法來(lái)解決問(wèn)題的意識(shí)和能力，強(qiáng)化用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界的能力.這些具體內(nèi)容的回顧以及開(kāi)放性問(wèn)題的提出，不僅有利于學(xué)生落實(shí)核心知識(shí)、浸潤(rùn)數(shù)學(xué)文化的魅力，也能有效地促進(jìn)學(xué)生數(shù)據(jù)分析等核心素養(yǎng)的提升.

問(wèn)題7：你能從收獲、困惑與好奇等方面回顧這節(jié)課的學(xué)習(xí)過(guò)程嗎？

［師生活動(dòng)］教師帶領(lǐng)學(xué)生一起回顧這節(jié)課所學(xué)的主要內(nèi)容，從收獲、困惑與好奇等角度對(duì)課時(shí)學(xué)習(xí)進(jìn)行小結(jié).

［課后任務(wù)］完成試驗(yàn)：投一枚圖釘，估計(jì)出“釘尖朝上”的概率.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)及時(shí)有序的歸納小結(jié)，鞏固對(duì)用頻率估計(jì)概率這一方法的掌握及探索過(guò)程，要求學(xué)生結(jié)合對(duì)困惑與好奇等的思考完成相應(yīng)的課后任務(wù)，使課堂始終是開(kāi)放的.

綜上，將數(shù)學(xué)文化融入課堂，耦合于教與學(xué)的環(huán)節(jié)，可使數(shù)學(xué)平易近人、盡顯魅力，讓學(xué)生真正愛(ài)上數(shù)學(xué)并主動(dòng)投入到數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)研究中.教師需要在充分理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)、理解技術(shù)的基礎(chǔ)上，努力探索將數(shù)學(xué)文化滲透于數(shù)學(xué)課堂的路徑，從而更好地落實(shí)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培育.