周 軍|江蘇省宜興市丁蜀高級中學(xué)

數(shù)學(xué)教育的根本任務(wù)是發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，但與此相匹配的學(xué)習(xí)指導(dǎo)模式還遠(yuǎn)沒有成型.當(dāng)下的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)指導(dǎo)主要存在四個方面的缺陷：一是從指導(dǎo)目的看，強調(diào)已有思維結(jié)果的習(xí)得，而忽視思維過程的體驗；二是從指導(dǎo)內(nèi)容看，一味地就事論事、囿于細(xì)節(jié)，缺少解決問題的一般思路與方法，也不涉及思維的緣由與依據(jù)；三是從指導(dǎo)方式看，大多是方向單一、意義缺失的指令，沒有打開深度對話與留白自知的空間；四是從指導(dǎo)對象看，片段化的知識學(xué)習(xí)或孤立的技能訓(xùn)練依然占據(jù)主導(dǎo)地位，而有助于培育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的單元教學(xué)與大概念教學(xué)卻一貫缺位.教師的專業(yè)性在于指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)，但目前多數(shù)學(xué)習(xí)指導(dǎo)難以跟進教師的專業(yè)職能，因此一線教師應(yīng)立足學(xué)生常見的學(xué)習(xí)弱勢，即思維系統(tǒng)性、結(jié)構(gòu)性、策略性與創(chuàng)新性的缺失，揭示學(xué)習(xí)指導(dǎo)的操作誤區(qū)，探索學(xué)習(xí)指導(dǎo)與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展之間的適配模式.下面，筆者以人教A 版（2019）普通高中教科書《數(shù)學(xué)》必修第二冊第六章《平面向量及其應(yīng)用》（以下簡稱“‘平面向量’單元”）為例，先分析“元指導(dǎo)”的內(nèi)涵與意義，再具體闡述其實施路徑.

一、“元指導(dǎo)”的內(nèi)涵與意義

“元指導(dǎo)”是以學(xué)習(xí)的支持條件、構(gòu)成要素、運行原理、生成規(guī)律為出發(fā)點，以發(fā)展學(xué)生提出并解決問題的能力和素養(yǎng)為歸宿點，以揭示學(xué)習(xí)與研究的大背景、大問題、大框架、大策略為著力點，對學(xué)生進行具有較強觀念性、策略性、框架性的學(xué)習(xí)指導(dǎo)［1］.此處的“大背景”是指具有較強生長性、驅(qū)動性和進階性的先行組織材料，承載著單元知識的數(shù)學(xué)本質(zhì)、單元問題的邏輯起點以及單元學(xué)習(xí)的思維基礎(chǔ)，具體呈現(xiàn)為現(xiàn)實生活情境、數(shù)學(xué)內(nèi)部發(fā)展情境、跨學(xué)科的科學(xué)情境等［2］，簡言之就是整個單元內(nèi)容的根源；此處的“大問題”是指在研究“大背景”的基礎(chǔ)上凝練所得的單元核心問題［3］，指向單元內(nèi)容的核心思想和一般觀念，揭示單元研究的起源和本質(zhì)，對整個單元學(xué)習(xí)和研究起統(tǒng)領(lǐng)作用，并且派生出一系列為之服務(wù)的下級問題，形成問題解決的“鏈?zhǔn)健苯Y(jié)構(gòu).

“元指導(dǎo)”重原理、重根本，從大處入手，適用于大概念教學(xué)和單元教學(xué).“元指導(dǎo)”讓教師的教更貼心、更給力，由此教師創(chuàng)生出普適性強的認(rèn)知策略與方法，給學(xué)生的高認(rèn)知挑戰(zhàn)和深度學(xué)習(xí)提供有力支持.“元指導(dǎo)”從思維的原理與方法層面給予學(xué)生本原性的指導(dǎo)，有利于學(xué)生深化學(xué)科理解，豐富學(xué)習(xí)體驗，增進情感和認(rèn)知的協(xié)同發(fā)展.

二、“平面向量”單元的“元指導(dǎo)”

向量是最基本、最重要的數(shù)學(xué)概念之一，向量語言是溝通代數(shù)、幾何和物理的重要工具，向量思想是用代數(shù)運算簡化幾何論證的核心觀念.相對于數(shù)量而言，向量概念是對一類除了“大小”還兼具“方向”屬性的研究對象的抽象概括，是從數(shù)學(xué)層面對這些對象簡化處理的運算支持.對“平面向量”單元進行“元指導(dǎo)”，教師需要厘清其實施的基礎(chǔ)與依據(jù)，進而形成步驟與方法.

（一）基礎(chǔ)與依據(jù)

厘清“元指導(dǎo)”實施的基礎(chǔ)與依據(jù)，教師需要從以下五個方面入手.

1.知識發(fā)展的內(nèi)在邏輯

“平面向量”單元亟待解決兩個問題：一是如何通過數(shù)學(xué)概念的精準(zhǔn)界定厘清數(shù)學(xué)對象的研究范圍；二是如何建構(gòu)這些數(shù)學(xué)研究對象的運算概念、法則及性質(zhì).運算準(zhǔn)確與否取決于概念是否清晰嚴(yán)謹(jǐn)，因此只有精準(zhǔn)把握向量的概念、向量的表示以及向量間的關(guān)系，才能保障向量運算和向量應(yīng)用的合理實現(xiàn)，進而形成前后關(guān)聯(lián)、邏輯自洽的整體.向量概念揭示了向量運算的合理性和可行性，而向量運算也蘊含著向量數(shù)與形的一體兩面特性.

建構(gòu)向量概念并合理表示，只是為了從數(shù)學(xué)的角度刻畫“既有大小又有方向”的研究對象，是向量研究的基礎(chǔ)任務(wù)；認(rèn)識向量間的關(guān)系，既是建立向量知識體系的應(yīng)有之義，也是為向量運算設(shè)階的應(yīng)然之需，是向量研究的進階任務(wù)；向量的運算為解決幾何問題、代數(shù)問題、物理問題和三角問題開辟了有效的途徑，升華了向量的思想性和工具性，是向量研究的核心任務(wù).

2.學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)與研究障礙

學(xué)生已有的知識和經(jīng)驗源于對物理中矢量的認(rèn)識，矢量的表示、合成、分解等為學(xué)生理解方向?qū)傩蕴峁┲庇^的形象，但矢量的實際意義制約著學(xué)生的理解層次，他們只是借助具象化經(jīng)驗認(rèn)識向量的概念和向量的表示法，抽象程度不夠，理解視域較窄.小學(xué)、初中階段，學(xué)生已經(jīng)知道數(shù)可以比較大小，也可以進行多種運算，但數(shù)與向量差異較大，以往的經(jīng)驗難以類比和遷移.學(xué)生能順利解決模式化、程序化的數(shù)學(xué)習(xí)題，但欠缺主動建構(gòu)新概念、發(fā)現(xiàn)新定理的思維與能力，且容易受到迷思概念的影響而產(chǎn)生負(fù)遷移.學(xué)生依賴于教師傳遞現(xiàn)成的知識信息，而缺少自主探究、自我建構(gòu)的學(xué)習(xí)習(xí)慣，學(xué)會學(xué)習(xí)尚未落到實處.

“平面向量”單元的學(xué)習(xí)難點主要體現(xiàn)在以下四個方面：一是對向量概念的源與流認(rèn)識模糊，缺乏建構(gòu)類似概念的經(jīng)驗；二是對向量的表示方法不會主動探究，也不會從本質(zhì)性、關(guān)聯(lián)性、簡潔性等角度系統(tǒng)認(rèn)識向量的表示方法；三是對向量的語言和思想在平面幾何及物理中的應(yīng)用沒有跟進的思維習(xí)慣，需要長期實踐才能形成；四是對向量運算性質(zhì)及運算律的研究容易產(chǎn)生思維定式，類比數(shù)的運算性質(zhì)流于形式，不明算理.

3.核心素養(yǎng)的生成機制

在“平面向量”單元教學(xué)中，學(xué)生單方面地聽講，容易錯失發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的契機，而學(xué)生完全自主探究，則會因知識儲備和能力支持難以匹配，無法撬動數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的生成.因此，對學(xué)生實施“元指導(dǎo)”是平衡被動認(rèn)知和主動認(rèn)知的最佳方式.核心素養(yǎng)導(dǎo)向的“元指導(dǎo)”應(yīng)以單元為學(xué)習(xí)單位，系統(tǒng)規(guī)劃學(xué)習(xí)地圖與探究線路，率先探索解決問題的總體思路與框架，促使學(xué)生結(jié)構(gòu)化地學(xué)習(xí)，形成結(jié)構(gòu)化的思維，達(dá)成知識、能力、思維與品格的綜合發(fā)展.“元指導(dǎo)”應(yīng)充分發(fā)揮其先行組織者的功能，一般可作為單元導(dǎo)學(xué)前置，但不必追求一步到位，可依據(jù)學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平，適當(dāng)調(diào)整部分“元指導(dǎo)”介入學(xué)習(xí)過程中.同時，“元指導(dǎo)”應(yīng)注重教師和學(xué)生的雙邊互動，使指導(dǎo)與反饋相互印證、相互完善.

4.“平面向量”單元的學(xué)習(xí)目標(biāo)

借鑒《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017 年版2020年修訂）》對“平面向量”單元的教學(xué)要求和建議，依據(jù)單元內(nèi)容的核心思想和一般觀念，基于學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)和心理準(zhǔn)備，筆者制訂了“平面向量”單元的學(xué)習(xí)目標(biāo)，具體如下.

（1）理解平面向量及其運算的意義，能感受和體會一個新的運算對象的建構(gòu)思路與方法，提升數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng).

（2）理解平面向量的幾何意義和代數(shù)意義，能體會數(shù)形結(jié)合的統(tǒng)一之美，提升直觀想象核心素養(yǎng).

（3）了解平面向量豐富的背景（物理背景和幾何背景），能用向量語言和方法表述并解決生活、數(shù)學(xué)和物理中的問題，提升數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng).

5.“平面向量”單元的評估依據(jù)

教師應(yīng)圍繞單元學(xué)習(xí)目標(biāo)，將評估依據(jù)分解、細(xì)化為各項關(guān)鍵評價事件和關(guān)鍵評價行為，以更科學(xué)有效地檢測學(xué)生是否達(dá)成預(yù)設(shè)的學(xué)習(xí)目標(biāo)，同時，這還有利于及時發(fā)現(xiàn)問題并作出修正.評估依據(jù)傾向于使用表現(xiàn)性任務(wù)或其他形式，如課堂觀察、對話（生生、師生）、隨堂測試、作業(yè)、反思等，旨在引領(lǐng)學(xué)生學(xué)習(xí)的全過程，下面分別介紹.

（1）表現(xiàn)性任務(wù)

表現(xiàn)性任務(wù)是學(xué)生運用其習(xí)得的概念或技能，通過創(chuàng)作作品或展示表現(xiàn)來提供學(xué)習(xí)的證據(jù)，一般而言，學(xué)生往往需要花費數(shù)日乃至數(shù)月時間才能完成一項任務(wù).與傳統(tǒng)的紙筆測試不同，它不僅能評價學(xué)習(xí)結(jié)果，也能評價學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，甚至能評價學(xué)生的情感、態(tài)度和價值觀.它更適合于形成性評價，具有紙筆測試無法替代的優(yōu)勢.對于“平面向量”單元，表現(xiàn)性任務(wù)主要有以下幾種不同的形式.

其一，學(xué)生能夠用數(shù)學(xué)語言表征代數(shù)與幾何之間的聯(lián)結(jié)方式，如闡明“如何用代數(shù)運算解決幾何問題”“如何為線性代數(shù)的學(xué)習(xí)建立幾何直觀”等.

其二，學(xué)生使用類比的方法來推導(dǎo)向量的運算之后，回顧之前所學(xué)的知識中哪些是通過類比得到的，并總結(jié)類比的學(xué)習(xí)方法.

其三，學(xué)生建構(gòu)向量模型，并嘗試用向量法解決物理問題和幾何問題.

（2）其他評估依據(jù)

相較于表現(xiàn)性任務(wù)，其他評估依據(jù)規(guī)模簡單、用時較少、結(jié)構(gòu)化程度高，它們以表現(xiàn)性事件為主，是一種按需進行的表現(xiàn)性評價.在這種評價中，學(xué)生只有很少的時間進行回答，并且只有有限的機會來改進個人的表現(xiàn).

課堂觀察與對話——討論問題時各小組的表現(xiàn)，以及學(xué)生在小組討論時對問題的見解.

隨堂測試——有關(guān)運用向量法解決物理問題、幾何問題、三角函數(shù)的綜合題.

作業(yè)——基于單元整體理解的問題解決型作業(yè)（探究三角形的“四心”問題）、創(chuàng)作設(shè)計型作業(yè)（設(shè)計思維導(dǎo)圖和編寫數(shù)學(xué)日歷）、自我診斷型作業(yè)（撰寫“錯題再造”作業(yè)方案和研究小論文）等.

反思——學(xué)生能夠在單元學(xué)習(xí)結(jié)束時，反思自己運用向量法解決問題時存在的不足，并總結(jié)自己在用向量法解決物理問題、幾何問題、三角函數(shù)綜合題時的一般解題思路.

（二）步驟與方法

形成“元指導(dǎo)”實施的步驟與方法，教師需要從以下三個方面入手.

1.揭示大背景，提出大問題

數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生的必要性與合理性都在其背景中得到支持，厘清知識的源與流，有助于學(xué)生自然地、合乎邏輯地發(fā)現(xiàn)并提出問題.因此，“元指導(dǎo)”應(yīng)揭示數(shù)學(xué)問題的背景和緣由.

早期的向量，就是物理學(xué)范疇中的矢量，是物理學(xué)家用來表示力、位移、速度等的工具.直到為了加強對復(fù)數(shù)的理解，出現(xiàn)了復(fù)數(shù)的幾何表示，數(shù)學(xué)家才開始關(guān)注向量.數(shù)學(xué)中的向量概念是從現(xiàn)實世界和科學(xué)問題中抽象出來的.作為“既有大小又有方向的量”的代表，“力”是物理學(xué)中非常重要的分支——牛頓力學(xué)和理論力學(xué)的主角，將其視為“平面向量”的大背景是合情合理的.依據(jù)這個大背景，教師可以提出如下大問題：“如何從數(shù)學(xué)角度刻畫某些具有大小和方向雙重特征的研究對象，進而明確它們的關(guān)系，探究它們的運算，建構(gòu)它們的模型，從而解決問題？”

2.建立大框架，明確大思路

大問題的解決無法一蹴而就，需要條分縷析，逐級分解.大問題應(yīng)統(tǒng)攝一系列中問題（情境問題）、小問題（中心問題）、子問題（基本問題），形成結(jié)構(gòu)化的大框架和層次化的大思路.“元指導(dǎo)”應(yīng)盡可能地建構(gòu)以大問題為核心的問題體系，形成解決大問題的技術(shù)路線圖，凝練教與學(xué)的單元大觀念.下面以案例“解決‘平面向量’單元大問題的大框架與大思路”說明.

【案例】解決“平面向量”單元大問題的大框架與大思路

大觀念：建立向量模型及簡化可以用代數(shù)運算描述幾何圖形的規(guī)律.

大問題：如何從數(shù)學(xué)角度刻畫某些具有大小和方向雙重特征的研究對象，進而明確它們的關(guān)系，探究它們的運算，建構(gòu)它們的模型，從而解決問題？

中問題（情境問題）1：在光滑斜面上滑動的木塊，隨著斜面坡度增大，其下滑的加速度也隨之增大.這個運動中含有哪些物理量？

小問題（中心問題）1：向量是一種怎樣的數(shù)學(xué)工具？

子問題（基本問題）1：（1）這些物理量具有什么共同特征？（2）如何定義才能準(zhǔn)確描述這個事實？（3）向量具有哪些特征？（4）向量具有哪些性質(zhì)？

中問題（情境問題）2：在光滑斜面上滑動的木塊，受到重力G與支持力N向下的一個合力的影響.而若斜面不光滑，則木塊的運動狀態(tài)會受到摩擦力f、重力G以及支持力N的合力的影響.如何求這兩種狀態(tài)下這些力的合力以及所做的功？

小問題（中心問題）2：如何研究向量的運算？

子問題（基本問題）2：（1）有關(guān)向量的運算，我們需要研究哪些內(nèi)容？（2）有關(guān)向量的運算，需要采用什么研究方法？

中問題（情境問題）3：木塊放置在斜面上，設(shè)F1是垂直于斜面向下的力，F(xiàn)2是平行于斜面向下的力，則G=F1+F2，即重力G分解為力F1和F2，因而重力G可以用力F1和F2來表示.這里，F(xiàn)1和F2是不共線的兩個力.那么，平面內(nèi)任一向量是否可以用兩個不共線的向量來表示？

小問題（中心問題）3：如何用向量來表示幾何基本元素？

子問題（基本問題）3：（1）平面內(nèi)任一給定向量能否用兩個不共線的向量表示？（2）對于任意給定的向量，有多少組不同的基底與其對應(yīng)？（3）如何選取合適的基底進行運算？（4）如何對向量進行坐標(biāo)表示？

完成大框架和大思路的建構(gòu)，需要關(guān)注以下三個方面.

第一，盡量引導(dǎo)學(xué)生成為搭建框架和探究思路的參與者，并追溯清楚每一個問題的來源.比如在上述案例中：中問題1～3旨在承接單元大背景，分解落實單元大問題，緊密關(guān)聯(lián)學(xué)生的生活經(jīng)驗，在具體的問題情境中揭示學(xué)習(xí)的必要性與合理性；小問題1旨在界定和表征向量概念，錨定思維起點，探明研究基礎(chǔ)，揭示用數(shù)學(xué)方法刻畫和研究現(xiàn)實事物的一般觀念；小問題2旨在激活向量運算對已有運算經(jīng)驗的同化和順應(yīng)，探究借助代數(shù)運算刻畫幾何對象的思路與方法，揭示從幾何直觀到代數(shù)直觀再到代數(shù)抽象的發(fā)展邏輯；小問題3旨在探尋用代數(shù)方法論證幾何關(guān)系的核心要素，揭示向量法與坐標(biāo)法的應(yīng)用邏輯.

第二，問題的價值在于驅(qū)動學(xué)生的思維，促使學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)，因此不必糾結(jié)于問題是否都能解決，尤其在單元導(dǎo)學(xué)階段，問題在于引思而不在于釋疑.對于問題的處理，可以采取兩種方式，即完全解答（包括教師解答、學(xué)生討論解答）和部分解答.

第三，為了讓問題體系更清晰，更有層次感，可對小問題進一步細(xì)化分解.

3.形成大策略，尋求大方法

建構(gòu)大框架是基于知識發(fā)展的內(nèi)在邏輯，而形成大策略應(yīng)遵循學(xué)生思維發(fā)展的內(nèi)在規(guī)律.因此，筆者提出了如下策略方法.

（1）歸納、抽象、建模

數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)定理的建構(gòu)離不開歸納、抽象、建模的思維策略.在“平面向量”單元學(xué)習(xí)中，教師應(yīng)讓學(xué)生親歷完整的抽象建模過程，包括感知與識別豐富的力學(xué)背景，抽象與歸納向量的概念及運算，分類與概括向量的關(guān)系，建構(gòu)與表征向量模型并解決問題.

（2）對照現(xiàn)實，獲取經(jīng)驗

數(shù)學(xué)概念是對現(xiàn)實問題的抽象概括，數(shù)學(xué)研究對象與現(xiàn)實世界中的研究對象存在一致性.“平面向量”單元學(xué)習(xí)中，應(yīng)通過考察力的基本關(guān)系和基本運算來建構(gòu)向量的基本關(guān)系和基本運算，如以力的合成對接向量的加法，以力的分解對接向量的減法、平面向量基本定理以及向量的坐標(biāo)表示，以共線力求合力對接向量的數(shù)乘，以力做功對接向量的數(shù)量積等.

（3）類比實數(shù)運算，同構(gòu)向量研究

解決新的問題需要借鑒已有的相關(guān)經(jīng)驗，通過類比可以發(fā)現(xiàn)新舊問題之間的相似性，獲得解決問題的靈感.實數(shù)系是研究運算對象的示范樣本，向量運算概念、性質(zhì)及運算律都可以類比數(shù)的運算進行研究，但需要注意在運算的原理、方法、規(guī)律方面發(fā)生的變化.

（4）向概念和定理溯源

數(shù)學(xué)概念和定理是數(shù)學(xué)大廈的地基，是數(shù)學(xué)思維的出發(fā)點.向量概念為向量表示、向量關(guān)系、向量運算提供支持，向量關(guān)系為向量運算提供依據(jù).

（5）尋找向量關(guān)系與向量運算的幾何直觀

數(shù)學(xué)研究對象是從數(shù)與形兩個方面對現(xiàn)實世界抽象的結(jié)果，數(shù)與形是分析、解決數(shù)學(xué)問題的重要抓手.對于向量的基本關(guān)系和基本運算，應(yīng)從作圖的角度加強理解，應(yīng)強化將遇到的數(shù)量關(guān)系設(shè)法用幾何圖形表示的意識，還應(yīng)注意文字語言、符號語言和圖形語言之間的相互轉(zhuǎn)換.

綜上，基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的單元學(xué)習(xí)“元指導(dǎo)”，有助于學(xué)生形成數(shù)學(xué)學(xué)科的一般觀念與解決問題的基本思路，實現(xiàn)高認(rèn)知挑戰(zhàn)和深度學(xué)習(xí)，改進與創(chuàng)新學(xué)習(xí)方式.在教學(xué)中，教師要繼續(xù)深化對“元指導(dǎo)”的研究，尋找更多、更優(yōu)的路徑、策略，不斷助力對學(xué)生核心素養(yǎng)的培育.