甘芝明

【摘要】三角函數(shù)中涵蓋諸多公式、學(xué)習(xí)要點(diǎn)，是各類考試的熱點(diǎn)，也是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn).且在教學(xué)實(shí)踐中，學(xué)生常常受到諸多因素制約，致使其在解答三角函數(shù)試題時(shí)，面臨諸多困難.基于此，文章以學(xué)生解答三角函數(shù)試題為切入點(diǎn)，分析了三角函數(shù)試題的考查知識(shí)點(diǎn)和要求，并從不同角度提出了針對(duì)性的解題路徑，旨在提高初中生的三角函數(shù)解題能力.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；三角函數(shù)；解題技巧；課堂教學(xué)

在初中數(shù)學(xué)知識(shí)體系中，三角函數(shù)是重中之重，其中涵蓋了大量的數(shù)學(xué)公式、數(shù)學(xué)定理以及相關(guān)的函數(shù)圖像.學(xué)生在初次接觸這一部分知識(shí)時(shí)，由于三角函數(shù)知識(shí)存在極強(qiáng)的抽象性，致使學(xué)生在解題時(shí)頻頻碰壁；從考試的角度來說，三角函數(shù)題目類型多變，且常常與其他知識(shí)點(diǎn)結(jié)合起來，呈現(xiàn)出極強(qiáng)的綜合性，也在很大程度上增加了學(xué)生的解題難度.鑒于當(dāng)前初中生在三角函數(shù)解題中面臨的“吃力”現(xiàn)象，教師應(yīng)精準(zhǔn)分析學(xué)生在解題中常常出現(xiàn)的錯(cuò)誤，調(diào)整課堂教學(xué)方案，加強(qiáng)基礎(chǔ)知識(shí)教學(xué)，促使學(xué)生在基礎(chǔ)知識(shí)學(xué)習(xí)中“知其然知其所以然”；同時(shí)，結(jié)合不同的題目類型加強(qiáng)解題教學(xué)，促使學(xué)生在解題訓(xùn)練中逐漸構(gòu)建成完整的解題思維模式，掌握基本的解題技能，循序漸進(jìn)地提高自身的數(shù)學(xué)解題能力.

一、初中三角函數(shù)解題中學(xué)生常見錯(cuò)誤分析

由于初中三角函數(shù)題目中涉及的知識(shí)點(diǎn)和公式比較煩瑣，導(dǎo)致學(xué)生在解題時(shí)，常常因?yàn)閷?duì)定義理解不夠深刻、解題技巧匱乏、理解能力較弱等，出現(xiàn)各種各樣的錯(cuò)誤.具體來說，集中體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：

（一）概念不清導(dǎo)致解題錯(cuò)誤

（二）基于等角或同角代換，解答題目

在解答三角函數(shù)問題時(shí)，學(xué)生常常會(huì)遇到一些難度比較大的問題.如果按照常規(guī)的思路解答問題，學(xué)生會(huì)面臨極大的困難，甚至還會(huì)出現(xiàn)各種各樣的失誤現(xiàn)象.對(duì)此，在開展解題時(shí)，教師可運(yùn)用“同角代換”或“等角代換”的方式，通過角“位置”的變換，將所求角的問題轉(zhuǎn)化到易于求解的三角形中，進(jìn)而順利解答.

例2 如圖1，在4×5的正方形網(wǎng)格中，已知每一個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1，△ABC的頂點(diǎn)在格點(diǎn)上，求sin∠ACB的值.

分析 在這一題目中，主要考查了“同角代換”的知識(shí)點(diǎn).結(jié)合題目中已知條件和信息可以得出，△ABC不是直角三角形，因此無法直接利用直角三角形求出sin∠ACB的值.教師可以引導(dǎo)學(xué)生借助“等角代換”的思路，在BC邊上取一點(diǎn)M，使得CM=3，連接AM（如題圖1），則有∠ACB=∠ACM，如此即可將sin∠ACB的值轉(zhuǎn)化到Rt△AMC中.

（四）融入數(shù)學(xué)模型，解答三角函數(shù)問題

在三角函數(shù)試題中，還有部分題目非常接近學(xué)生的實(shí)際生活.這一類問題，由于其難度比較大，學(xué)生在解答問題時(shí)，不僅要具備堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)，還應(yīng)具備極強(qiáng)的綜合素養(yǎng)，對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行分析，并據(jù)此構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，將原本復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)變?yōu)榈湫偷臄?shù)學(xué)問題，進(jìn)而運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行解答.

例4 一艘小船要從河的南邊向北移動(dòng)，河對(duì)岸有一座高山，在船的北偏東30°方向.現(xiàn)該船以24海里/時(shí)的速度正在向北方移動(dòng).當(dāng)行駛15分鐘后，高山在船北偏東45°的方向，求該船出發(fā)時(shí)距離高山的距離是多少？

分析 本題是典型的“三角函數(shù)”在實(shí)際生活中的應(yīng)用問題.在解答這一問題時(shí)，可融入數(shù)學(xué)模型思想，結(jié)合題意，畫出相關(guān)圖形（如圖2），將其抽象為解三角形問題，進(jìn)而運(yùn)用相關(guān)知識(shí)完成題目的解答.

三、基于三角函數(shù)的解題教學(xué)啟示

（一）加強(qiáng)基礎(chǔ)知識(shí)教學(xué)

由于三角函數(shù)中涵蓋的知識(shí)點(diǎn)比較繁雜，包括正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)等，且每一個(gè)函數(shù)都有對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖像.教師要想真正提高學(xué)生的三角函數(shù)解題能力，只有全面加強(qiáng)基礎(chǔ)知識(shí)教學(xué)，使學(xué)生在學(xué)習(xí)中真正理解三角函數(shù)的定義、概念和內(nèi)涵，才能為其日后解題奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

（二）強(qiáng)化思維訓(xùn)練，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維發(fā)展

針對(duì)初中數(shù)學(xué)三角函數(shù)的解題來說，學(xué)生在解題時(shí)需要通過轉(zhuǎn)化、抽象等方式，完成題目的解答.而這一過程對(duì)初中生的數(shù)學(xué)思維能力要求相對(duì)比較高.對(duì)此，在三角函數(shù)教學(xué)時(shí)，教師必須靈活開展課堂教學(xué)，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的發(fā)展.一方面，數(shù)形結(jié)合.因?yàn)槿呛瘮?shù)與三角形之間存在密切的聯(lián)系，在引導(dǎo)學(xué)生開展學(xué)習(xí)時(shí)，教師可充分借助數(shù)形結(jié)合思想，促使學(xué)生在“數(shù)形結(jié)合”中，深刻理解三角函數(shù)知識(shí)，數(shù)學(xué)思維也得到發(fā)展；另一方面，教師可充分利用多媒體信息技術(shù)，將其制作成為動(dòng)態(tài)的課件，以便于學(xué)生在直觀的感知中，完成知識(shí)的內(nèi)化與思維的發(fā)展.

（三）兼顧學(xué)習(xí)與練習(xí)，全面提高學(xué)生的三角函數(shù)解題能力

教師在培養(yǎng)學(xué)生三角函數(shù)解題能力時(shí)，不僅要加強(qiáng)理論知識(shí)的教學(xué)，而且應(yīng)設(shè)置必要的練習(xí)題目，引導(dǎo)學(xué)生在針對(duì)性的練習(xí)中，逐漸掌握一定的解題技巧，形成一定的解題能力.同時(shí)，在這一過程中，教師應(yīng)結(jié)合學(xué)生的實(shí)際情況，堅(jiān)持“由易到難”的原則，為學(xué)生選擇針對(duì)性的練習(xí)題目，使得學(xué)生在層層遞進(jìn)的三角函數(shù)練習(xí)中，通過分析與總結(jié)，深化三角函數(shù)解題技巧，并逐漸提高三角函數(shù)解題能力.

（四）推進(jìn)循環(huán)教學(xué)，形成逐層推進(jìn)的學(xué)習(xí)理念

培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的三角函數(shù)解題能力，是一項(xiàng)艱巨的、系統(tǒng)化的工作.但是在具體的學(xué)習(xí)中，由于學(xué)生的知識(shí)、能力、思維之間存在顯著的差異，學(xué)生的三角函數(shù)解題能力參差不齊.對(duì)此，在優(yōu)化課堂教學(xué)時(shí)，教師應(yīng)努力轉(zhuǎn)變傳統(tǒng)的教學(xué)理念，基于層次化教學(xué)的方式，通過循循善誘的方式，引導(dǎo)學(xué)生在針對(duì)性的訓(xùn)練中，獲得逐層發(fā)展與提升.

結(jié) 語

綜上所述，三角函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的一大難點(diǎn)，也是中考的熱點(diǎn).同時(shí)，這一部分知識(shí)的考查形式靈活多變，常常與其他的知識(shí)點(diǎn)結(jié)合在一起，具備一定的綜合性.基于此，教師在日常教學(xué)中，只有轉(zhuǎn)變傳統(tǒng)的解題教學(xué)模式，指向三角函數(shù)考查的方向，引導(dǎo)學(xué)生以多角度思考、解答，才能促使學(xué)生在多維度解題中，數(shù)學(xué)解題思維得到發(fā)展，數(shù)學(xué)解題能力得到提高.

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