許曉芳

［摘? 要］ 解題教學(xué)是中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的重要任務(wù). 面對一些習(xí)題的煩瑣解法，是訓(xùn)練學(xué)生不懼繁雜的運算耐心，還是“善于優(yōu)化”，尋找“好的思路”？這就需要教師在進(jìn)行解題教學(xué)備課時，充分探究不同解法，比較它們的優(yōu)劣，預(yù)設(shè)出“鋪墊問題”，結(jié)合學(xué)情相機(jī)追問，促進(jìn)學(xué)生發(fā)現(xiàn)“好的解法”，同時發(fā)展師生對解題方法的鑒賞眼光.

［關(guān)鍵詞］ 解題教學(xué)；善于優(yōu)化；鋪墊問題；解法鑒賞

最近筆者聽了新入職教師的一節(jié)隨堂課——新教師L上了一節(jié)一元一次方程的試卷講評課. 從一道填空題的講評中可以看出該教師在解題研究方面還有所欠缺——沒有通過恰當(dāng)?shù)闹v評顯現(xiàn)出這道好題的價值. 本文先概述教師L講評這道試題的過程，并給出筆者的教學(xué)再設(shè)計，最后圍繞解題教學(xué)提出一些思考.

從一道習(xí)題的講評記錄說起

教師L：這道題是一道復(fù)雜的解一元一次方程題，我們班做對的同學(xué)不到四分之一，請科代表來講講他是怎么求解的.

生1（科代表）：我是先把x=2代入方程，然后依次去分母、去分母、移項、移項、去分母、移項，最后解得a=-4.

教師L：好的！你能到黑板上寫出詳解給大家看一下嗎？

生1在黑板上寫的解答過程如下：

將x=2代入方程，得

解得a=-4.

教師L：下面我再請一個做得正確的同學(xué)來說說解這道題的注意事項.

生2：我覺得去分母和移項時容易出錯，比如去分母時，方程兩邊同時乘各分母的最小公倍數(shù)時，不能漏乘沒有分母的項，同時要把分子（如果是一個多項式）作為一個整體加上括號.

教師L：很好！還有些同學(xué)可能看到這樣外貌復(fù)雜的方程會在解題前產(chǎn)生害怕心理，看來還要多加訓(xùn)練呀.

簡評 以上講評過程只是簡單地核對解題結(jié)果，并沒有解讀出這道較難考題的深層立意，可以看出教師L正在課前對這道考題的解法研究還比較膚淺，所以沒能進(jìn)一步追問學(xué)生是否有不同的解法. 下面圍繞這道考題給出筆者的教學(xué)再設(shè)計.

圍繞考題的教學(xué)再設(shè)計

出示考題之后，教師先安排解出的學(xué)生交流并展示他們的解法，然后教師預(yù)設(shè)以下問題，相機(jī)追問.

問題1：科代表處理復(fù)雜方程的過程顯示了他較強(qiáng)的運算能力和變形能力，但老師覺得這樣做還是有點煩瑣，同學(xué)們想想還有沒有其他的解法.

預(yù)設(shè)：如果學(xué)生能看出簡捷的方法，就讓學(xué)生先交流、分享；如果學(xué)生沒有簡捷的方法，教師再給出以下啟發(fā)式問題（即問題2）.

預(yù)設(shè)：學(xué)生應(yīng)該可以在以上思路的啟發(fā)下，依次得出“中括號”“小括號”的整體的值，從而得到答案. 具體解析如下.

所以，x+a=-2，結(jié)合x=2，可得a=-4.

講評之后，教師最好能再給出一道同類習(xí)題，以訓(xùn)練學(xué)生整體處理試題的眼光.

同類再練：已知關(guān)于x的一元一次方程2022x-1=2x+3k的解為x=2023，則關(guān)于y的一元一次方程2022·（y-1）+1=2（y-1）-3k的解為y=_____.

預(yù)設(shè)：如果學(xué)生把x=2023代入原方程，先解出參數(shù)k的值，再回代到后一個關(guān)于y的方程，解出y，這種解法本身沒問題，但費時費力，不值得提倡. 此時教師要鼓勵學(xué)生認(rèn)真觀察、對比兩個方程，并將關(guān)于y的方程變形為2022（1-y）-1=2（1-y）+3k，然后直接看出1-y=2023，從而得到y(tǒng)=-2022.

關(guān)于解題教學(xué)的幾點思考

1. 教學(xué)之前要探究并對比不同解法

就筆者的閱讀和參加各類教研活動所見，與新授課的教學(xué)設(shè)計（或備課）相比，解題教學(xué)的課前設(shè)計（或備課）還沒有得到教師充分而深入的研究，甚至存在教師課前只把待講評的一些習(xí)題的參考答案看一遍，想清這些參考答案的主要步驟就直接走上講臺進(jìn)行習(xí)題講評的教學(xué)現(xiàn)狀. 筆者認(rèn)為，教師在開展解題教學(xué)之前，首先要“獨立求解”講評的習(xí)題（不宜先看參考答案），貫通思路之后進(jìn)行多解探究，多解探究之后進(jìn)行解法比較，理清不同解法的關(guān)鍵步驟，知曉不同解法的繁、簡之別，對不同解法進(jìn)行優(yōu)、劣對比，等等. 在此基礎(chǔ)上，教師再進(jìn)行必要的教學(xué)預(yù)設(shè)，以及同類題的收集、選編或拓展. 只有進(jìn)行這樣的教學(xué)準(zhǔn)備，教師才能在解題教學(xué)的過程中進(jìn)退自如、居高臨下，幫助學(xué)生學(xué)深、悟透. 可以發(fā)現(xiàn)，上文中的教師L顯然沒有在課前對“試題”進(jìn)行一題多解的探究和思考，所以在“生1（科代表）”講解了一個常規(guī)的煩瑣解法之后認(rèn)為“很好”，并讓其他學(xué)生學(xué)習(xí)他的解法. 事實上，很多有經(jīng)驗的教師，即使課前因為種種原因沒有對這道題的多種解法進(jìn)行研究，在課堂上面對一個煩瑣的解法時，也可以（或應(yīng)該）向全班學(xué)生提問：“大家都聽懂了，但你們覺得他的解法運算量是不是有點大？能不能再簡化一下求解過程？”很多情況下，特別是面向全班學(xué)生提這樣的“善于優(yōu)化”的解后反思時，教師往往會得到一些優(yōu)秀學(xué)生的積極回應(yīng)，從而拋磚引玉出一些好的解法.

2. 預(yù)設(shè)鋪墊問題結(jié)合學(xué)情相機(jī)追問

如上所述，對于解題教學(xué)的備課，教師首先要深入研究并對比不同解法，然后針對不同解法進(jìn)行鋪墊式問題的構(gòu)思和預(yù)設(shè)，以便在實際教學(xué)過程中恰當(dāng)使用這些鋪墊式問題來啟發(fā)學(xué)生獲得思路. 這里所說的鋪墊式問題，并不是直接告知學(xué)生思路或幾何題的輔助線，而是給學(xué)生提供一種解題念頭（可以是問題的原型或簡化后的等價問題），以便學(xué)生在這種思路的啟發(fā)下自主獲得解題思路，從而增強(qiáng)解題信心，學(xué)會解題.

上文聽課記錄后，我們給出“教學(xué)再設(shè)計”，其中預(yù)設(shè)了一個鋪墊式問題：“大括號”這個“整體的值”是多少？學(xué)生在這樣的啟發(fā)之下可以漸次思考：“中括號”“小括號”這兩個“整體的值”是多少？從而訓(xùn)練學(xué)生“視為整體”的解題眼光或策略，發(fā)展學(xué)生的解題智慧. 在這里，值得一提的是，鋪墊問題要結(jié)合學(xué)情相機(jī)出示，而不是機(jī)械教條式地推出這些課前“精心設(shè)計”的鋪墊式問題. 比如，我們在觀摩一些教學(xué)活動時，常常會看到有些教師在剛剛出示較難題之后，學(xué)生甚至還沒有看（讀）完習(xí)題，就急不可耐地啟發(fā)學(xué)生如何解題. 比如“同學(xué)們有沒有發(fā)現(xiàn)這個圖形中有一個特殊的角”“同學(xué)們有沒有想到取一個中點，構(gòu)造三角形的中位線”“同學(xué)們有沒有注意到這條拋物線與x軸有且只有一個公共點”等，這些啟發(fā)，看似在幫助學(xué)生，其實是在弱化學(xué)生的思維，使他們產(chǎn)生思路啟發(fā)的依賴，這并不利于學(xué)生獨立思考能力的發(fā)展.

3. 教師要修煉必要的解法鑒賞眼光

我們知道大學(xué)中文系有不少學(xué)者的治學(xué)方向是文學(xué)鑒賞，類比來看，推而廣之，筆者以為，數(shù)學(xué)教師也應(yīng)該自覺修煉解法鑒賞的眼光. 比如對于一些習(xí)題的不同解法，教師要進(jìn)行鑒別，比較優(yōu)劣. 教師應(yīng)自覺放棄那些煩瑣的或“殺雞用牛刀”的方法，而選擇一些“初等”解法（即不需要運用更多高級數(shù)學(xué)工具的解法，比如能用全等處理的，就不運用相似；能用方程處理的，就不運用函數(shù)），或更簡明、運算更簡便的解法. 我們也常?？吹接行┙忸}研究的自媒體（如微博、個人網(wǎng)站或微信公眾號）推送“一題十解”“一題二十解”之類“嘩眾取寵”的解題研究成果，仔細(xì)研究這些多解往往會發(fā)現(xiàn)，不少解法大同小異. 相對于這類“一題濫解”的研究，更有價值的是“多解歸一”“善于比較”. 聯(lián)系當(dāng)下，新課程、新課標(biāo)的培訓(xùn)活動“你方唱罷我登場”，新名詞、新概念、新理念、新解讀推陳出新，筆者希望有更多的大學(xué)教授、教研專家精選一些經(jīng)典習(xí)題以幫助一線教師提高解題鑒賞的眼光，畢竟解題教學(xué)在中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中占有相當(dāng)大的比重.