仲述玲

［摘? 要］ 數(shù)感是生活實(shí)際與數(shù)量關(guān)系聯(lián)系的橋梁，是發(fā)展學(xué)生運(yùn)算素養(yǎng)的關(guān)鍵。文章從“數(shù)感”這一術(shù)語的理論基礎(chǔ)與培養(yǎng)的必要性出發(fā)，以“數(shù)的認(rèn)識(shí)與運(yùn)算”的教學(xué)為例，從三個(gè)方面展開闡述：借助生活實(shí)際，抽象數(shù)與運(yùn)算的關(guān)系；聯(lián)系生活實(shí)際，理解數(shù)與運(yùn)算的關(guān)系；回歸生活實(shí)際，應(yīng)用數(shù)與運(yùn)算的關(guān)系。

［關(guān)鍵詞］ 生活；數(shù)感；教學(xué)

數(shù)感是指學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問題的直覺、靈感、語感，并據(jù)此產(chǎn)生解題思路與方法，一般是指解題過程中靈感乍現(xiàn)的直覺體驗(yàn)。教學(xué)中，筆者常聽到學(xué)生在考試后說：這次考試狀態(tài)不好，會(huì)做的題都做錯(cuò)了；這次考試感覺蠻好，每道題都很順手。其實(shí)，這些都是學(xué)生對(duì)“數(shù)感”的描述。為此，筆者對(duì)數(shù)感進(jìn)行了大量研究。

一、數(shù)感的理論基礎(chǔ)

1954年，托拜厄斯·丹齊克首次提出數(shù)感，他認(rèn)為數(shù)感是指在個(gè)體沒有察覺的情況下，在一堆物體中增加或減少一個(gè)小物體，能發(fā)現(xiàn)這堆物體發(fā)生了變化的一種直覺能力。1992年，麥金托等人通過實(shí)踐，對(duì)數(shù)感的概念進(jìn)行了提煉：數(shù)感是指個(gè)體對(duì)數(shù)與運(yùn)算的理解和應(yīng)用的一種能力傾向，并能據(jù)此做出理性判斷，開發(fā)運(yùn)算法則與應(yīng)用數(shù)學(xué)的策略。顯然，提煉后的數(shù)感已經(jīng)突破了原本對(duì)事物數(shù)量的直觀感知的范疇，拓展到數(shù)與數(shù)的運(yùn)算行列。

1999年，格斯騰和查理為數(shù)感設(shè)定了五個(gè)等級(jí)：①兒童未發(fā)展時(shí)，超出他們意識(shí)的數(shù)感；②兒童通過學(xué)習(xí)初步感知數(shù)感；③建立數(shù)感，理解“大于”“小于”的意思；④理解數(shù)字實(shí)質(zhì)，能用“加”“減”替代原本需要全部數(shù)出來的情況；⑤擁有解決問題的決策能力。

二、數(shù)感研究的必要性

隨著“數(shù)感”這一數(shù)學(xué)術(shù)語的推廣，我國不少數(shù)學(xué)專家對(duì)此進(jìn)行了一系列的研究，對(duì)數(shù)感的理解經(jīng)歷了“直覺—意識(shí)—規(guī)律”的過程，從感覺階段上升到了思維階層。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》在上一版本的基礎(chǔ)上，再次強(qiáng)調(diào)了數(shù)感對(duì)兒童青少年思維發(fā)展的重要性，強(qiáng)調(diào)小學(xué)階段是發(fā)展學(xué)生數(shù)感的關(guān)鍵時(shí)期。

皮亞杰的認(rèn)知發(fā)展理論認(rèn)為：小學(xué)低年級(jí)的學(xué)生需要結(jié)合直觀可視的實(shí)際物體來理解數(shù)和運(yùn)算，然而課堂教學(xué)常常是間接地建構(gòu)知識(shí)的過程。實(shí)踐證明，間接學(xué)習(xí)需要建立在一定的知識(shí)與生活經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上進(jìn)行，基于小學(xué)生的知識(shí)與生活經(jīng)驗(yàn)不足，不論從學(xué)生的實(shí)際認(rèn)知水平還是生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，此階段的學(xué)生需要依賴豐富的生活情境開展學(xué)習(xí)活動(dòng)。

隨著科技的發(fā)展，信息技術(shù)的普遍應(yīng)用，學(xué)生自主運(yùn)算與思考的機(jī)會(huì)大打折扣，無形中阻礙了數(shù)感的形成。為此，在數(shù)學(xué)課堂中有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感勢(shì)在必行。

三、數(shù)感培養(yǎng)的具體措施

1. 教學(xué)分析

教材中“數(shù)的認(rèn)識(shí)與運(yùn)算”的知識(shí)分布遵循了由淺入深的原則，從知識(shí)體系的角度來觀察，教學(xué)內(nèi)容并非呈直線分布，而是將知識(shí)安排成螺旋形式。比如對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)，并非要求學(xué)生在一個(gè)階段認(rèn)識(shí)完10000以內(nèi)的數(shù)，而是結(jié)合學(xué)生認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生從逼真的生活情境中循序漸進(jìn)地抽象出簡單的數(shù)。在此基礎(chǔ)上穿插一些實(shí)際問題讓學(xué)生思考，幫助學(xué)生從生活實(shí)際出發(fā)，充分理解“數(shù)”和“運(yùn)算”的關(guān)系，并利用這種關(guān)系來解決實(shí)際問題。

縱橫交錯(cuò)的教學(xué)安排，不僅能幫助學(xué)生更好地掌握“數(shù)與運(yùn)算”的關(guān)系，還能讓學(xué)生在真實(shí)情境中啟發(fā)思維、挖掘潛能，逐步形成良好的數(shù)感，為后續(xù)研究更復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題奠定基礎(chǔ)。同時(shí)，學(xué)生的思維隨著認(rèn)知的發(fā)展拾級(jí)而上，為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

2. 實(shí)施措施

史寧中教授提出：數(shù)學(xué)直觀是數(shù)學(xué)教學(xué)的根本，真正的數(shù)學(xué)是“看”出來的，而非“證”出來的，這一切都依賴于數(shù)學(xué)直觀的幫助。對(duì)低年級(jí)學(xué)生而言，“數(shù)的認(rèn)識(shí)與運(yùn)算”確實(shí)比較抽象，因此教師在設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)時(shí)要結(jié)合學(xué)情創(chuàng)設(shè)豐富的生活情境，啟發(fā)學(xué)生的思維，讓學(xué)生在直觀感知中形成良好的數(shù)感。

（1）借助生活實(shí)際，抽象數(shù)與運(yùn)算的關(guān)系

在各個(gè)版本的小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容都是由生活抽象概括而來，具有形象性特征，與該階段學(xué)生的思維水平和認(rèn)知特點(diǎn)相匹配。從認(rèn)知發(fā)展理論出發(fā)，小學(xué)階段學(xué)生的思維模式以直觀形象思維為主，通過一段時(shí)間的學(xué)習(xí)后學(xué)生的思維模式會(huì)向抽象邏輯思維發(fā)展。尤其是小學(xué)低年級(jí)的學(xué)生，直觀形象思維的表現(xiàn)尤為突出。

低年級(jí)的數(shù)學(xué)教材中的學(xué)習(xí)內(nèi)容以直觀形象的內(nèi)容為主，學(xué)生在具體的生活情境中學(xué)習(xí)，可直觀感知知識(shí)的來龍去脈，對(duì)知識(shí)形成理性認(rèn)識(shí)。

案例1? “簡單的數(shù)”的教學(xué)

對(duì)于1、2、3之類比較小的數(shù)的教學(xué)，基本都是借助現(xiàn)實(shí)情境中的事物的量來增強(qiáng)學(xué)生對(duì)這些數(shù)的認(rèn)識(shí)。雖說學(xué)生的思維依賴于具體的生活事物，但他們對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)不僅經(jīng)歷了“具體—抽象”的過程，還經(jīng)歷了從感性的直觀形象思維向理性的抽象邏輯思維過渡?？此坪唵蔚倪^渡，雖然處于抽象素養(yǎng)的初始培養(yǎng)階段，但是為學(xué)生思維與核心素養(yǎng)的發(fā)展夯實(shí)了基礎(chǔ)。

案例2? “1～5加減法”的教學(xué)

由于學(xué)生對(duì)抽象的數(shù)沒有直觀的概念，因此在教學(xué)時(shí)，教師需要借助實(shí)際情境或真實(shí)存在的事物對(duì)其數(shù)量特征進(jìn)行抽象與概括。比如，1根筷子加上2根筷子，共有3根筷子；1個(gè)橙子加上2個(gè)橙子，共有3個(gè)橙子；1斤水果加上2斤水果，共有3斤水果等。這些源自生活的真實(shí)情境，讓學(xué)生明確了“1+2=3”的實(shí)際意義，從而抽象出加法運(yùn)算規(guī)律。

以上兩個(gè)事例說明學(xué)生的思維正在由直觀形象向抽象邏輯轉(zhuǎn)化，但此時(shí)其仍以直觀形象思維為主。只有學(xué)生能自主對(duì)生活實(shí)際事物的外部數(shù)量特征進(jìn)行抽象與概括，并揭示其本質(zhì)屬性或內(nèi)涵，才能從真正意義上說明學(xué)生建立了抽象邏輯思維。經(jīng)過大量生活實(shí)際的抽象，學(xué)生逐步認(rèn)識(shí)到數(shù)與運(yùn)算的關(guān)系，數(shù)感在學(xué)生的一次次的抽象思維中生成。

（2）聯(lián)系生活實(shí)際，理解數(shù)與運(yùn)算的關(guān)系

小學(xué)低年級(jí)的學(xué)生習(xí)慣于通過直觀形象思維的輔助來認(rèn)識(shí)生活事物。因此，教師應(yīng)在教學(xué)中創(chuàng)設(shè)學(xué)生感興趣的生活情境，讓學(xué)生通過理論與實(shí)際的聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)生活中實(shí)際存在的數(shù)學(xué)。教師要引導(dǎo)學(xué)生將生活經(jīng)驗(yàn)搬到課堂中來，深化學(xué)生對(duì)課堂教學(xué)內(nèi)容的認(rèn)識(shí)，幫助學(xué)生在生活實(shí)際中初步建立數(shù)感，為更好地解決生活實(shí)際問題奠定基礎(chǔ)。

學(xué)生在入學(xué)前對(duì)生活中的一些簡單的數(shù)量已經(jīng)有了初步的認(rèn)識(shí)，比如1只雞、1條狗、3個(gè)人、4塊蛋糕等。這些生活經(jīng)驗(yàn)所帶來的數(shù)量關(guān)系是學(xué)生認(rèn)知的基礎(chǔ)，在實(shí)際教學(xué)時(shí)，教師可將這些數(shù)量關(guān)系遷移到課堂中來，讓學(xué)生從中感知相應(yīng)的數(shù)。

案例3? “數(shù)字5的認(rèn)識(shí)”的教學(xué)

聯(lián)系學(xué)生的生活實(shí)際，教師可創(chuàng)設(shè)5支筆、5個(gè)皮球、5幢樓、5棵樹等情境，讓學(xué)生感知數(shù)字“5”存在的現(xiàn)實(shí)意義；或者以“一一對(duì)應(yīng)”的教學(xué)法，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)“5”這個(gè)數(shù)字產(chǎn)生直觀的理解，為學(xué)生形成數(shù)感奠定基礎(chǔ)。

這里提到的“一一對(duì)應(yīng)”是以學(xué)生熟悉或感興趣的內(nèi)容為素材，比如對(duì)于數(shù)字“2”與“3”的大小問題，可以創(chuàng)設(shè)學(xué)生感興趣的童話小故事來吸引學(xué)生的注意力，讓學(xué)生感知“同樣大、同樣多、誰更大、誰更多”的關(guān)系。

筆者在教學(xué)中結(jié)合學(xué)情，創(chuàng)設(shè)了學(xué)生喜聞樂見的小豬和小熊搬運(yùn)木材建房子的情境。比如，每1只小豬搬運(yùn)1根木材，剩下1根木材沒有相應(yīng)的搬運(yùn)者與它對(duì)應(yīng)，由此不難判斷出木材的數(shù)量大于小豬的數(shù)量。

課堂中，教師除了針對(duì)低年級(jí)學(xué)生的認(rèn)知特征創(chuàng)設(shè)豐富的故事情境，還可以就地取材引導(dǎo)學(xué)生通過比一比、數(shù)一數(shù)來交流。比如，讓學(xué)生通過數(shù)一數(shù)鉛筆、本子等的數(shù)量，感知鉛筆和本子的數(shù)量。無須教師過多引導(dǎo)，學(xué)生在自主探索與比較中很快就能發(fā)現(xiàn)鉛筆和本子的數(shù)量，鉛筆比本子多還是少、多多少、少多少等。長此以往，學(xué)生便能自主判斷3和2誰更大一些，大多少；誰更小一些，小多少。

創(chuàng)設(shè)豐富的生活情境不僅讓低年級(jí)學(xué)生對(duì)數(shù)與數(shù)量關(guān)系有了初步認(rèn)識(shí)，還幫助學(xué)生銜接學(xué)前階段到小學(xué)階段的知識(shí)，讓學(xué)生更好地理解數(shù)字與生活事物的關(guān)系，充分感知到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣，在促進(jìn)思維成長的同時(shí)有效地發(fā)展數(shù)感。

案例4? “2﹢3”的教學(xué)

為了讓學(xué)生充分體會(huì)“2+3”這個(gè)式子具有怎樣的現(xiàn)實(shí)意義，筆者創(chuàng)設(shè)了如下生活情境：

情境一：讓5名學(xué)生模擬在公園售票處排隊(duì)購買游船票的情境，讓學(xué)生從直觀中感知“第幾”的現(xiàn)實(shí)意義。比如排在第一個(gè)的學(xué)生序號(hào)為1，排在中間的學(xué)生序號(hào)為3，排在最后一個(gè)的學(xué)生序號(hào)為5。

情境二：將4根玉米分給2個(gè)小朋友，有哪些分法？要求學(xué)生拿4支筆作為玉米，自主分成2堆。

關(guān)于分玉米的情境，學(xué)生通過自主探索，很快發(fā)現(xiàn)可以將手中的筆分成1和3、2和2、3和1。教師在學(xué)生實(shí)踐與探索中，順勢(shì)將“數(shù)的加法”概念拋出，引發(fā)學(xué)生的思考，讓學(xué)生從根本上掌握其本質(zhì)。當(dāng)學(xué)生從多種情境中提煉出“數(shù)的加法”后，教師可以提出新的情境。

情境三：小紅和小明是同桌，桌上放著小紅的1支自動(dòng)鉛筆、小明的2支自動(dòng)鉛筆，桌上一共有3支自動(dòng)鉛筆。如果小明拿走其中的1支，那么桌上就剩下2支自動(dòng)鉛筆。

情境四：小軍一共有4顆棒棒糖，分給小朋友2顆后，剩下2顆棒棒糖。

通過4個(gè)與學(xué)生生活實(shí)際相關(guān)聯(lián)的情境教學(xué)，讓學(xué)生對(duì)“數(shù)的減法”產(chǎn)生了深刻、形象的認(rèn)識(shí)，學(xué)生從情境中充分感知量的減少過程。

實(shí)踐證明，小學(xué)生在最初接觸數(shù)學(xué)時(shí)，都是從具體情境中抽象數(shù)與運(yùn)算。通過大量實(shí)踐，學(xué)生能深刻體會(huì)到“數(shù)可以表示量的多少，也能表示順序”。由此可以看出數(shù)學(xué)知識(shí)源于生活實(shí)際，數(shù)感的形成能幫助學(xué)生更好地理解生活。

（3）回歸生活實(shí)際，應(yīng)用數(shù)與運(yùn)算的關(guān)系

數(shù)學(xué)知識(shí)由生活實(shí)際抽象而來，最終會(huì)應(yīng)用于生活實(shí)際中去。因此，當(dāng)學(xué)生掌握了某個(gè)知識(shí)點(diǎn)后，教師應(yīng)帶領(lǐng)學(xué)生將所學(xué)知識(shí)應(yīng)用到生活實(shí)際中，引導(dǎo)學(xué)生利用所學(xué)知識(shí)來解決生活實(shí)際問題。

對(duì)小學(xué)低年級(jí)學(xué)生而言，不論是其認(rèn)知水平，還是其思維水平都處于比較低的階段。想要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感，教師就應(yīng)帶領(lǐng)學(xué)生從生動(dòng)形象的具體事物中感知知識(shí)的形成與發(fā)展，自主抽象出相應(yīng)的知識(shí)。鑒于數(shù)學(xué)學(xué)科本就具備顯著的概括性、抽象性特征，結(jié)合學(xué)生的思維特點(diǎn)，因此教材在內(nèi)容編排上著重突出了運(yùn)用數(shù)來解決實(shí)際應(yīng)用問題，以此發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯推理能力。

借助生活情境引出數(shù)學(xué)知識(shí)，再將抽象而來的數(shù)學(xué)知識(shí)回歸到生活實(shí)際應(yīng)用中去，這從真正意義上強(qiáng)化了學(xué)生對(duì)知識(shí)本質(zhì)的理解，讓學(xué)生在應(yīng)用中增強(qiáng)數(shù)感。

案例5? 解決實(shí)際問題的教學(xué)

情境創(chuàng)設(shè)：已知育才小學(xué)有1000名小學(xué)生，如果六年級(jí)的200個(gè)學(xué)生畢業(yè)了，一年級(jí)的新生還沒有報(bào)到，那么學(xué)校還有多少名學(xué)生呢？

這個(gè)情境涉及的幾個(gè)數(shù)字比較大，待求學(xué)生的數(shù)量比較多，如果一個(gè)一個(gè)地去數(shù)，會(huì)非常煩瑣。這就需要學(xué)生將之前抽象而來的數(shù)的加減運(yùn)算反過來思考，將這些知識(shí)應(yīng)用到解決實(shí)際問題中來，從而感知生活實(shí)際與數(shù)學(xué)之間的關(guān)聯(lián)。

案例6? “十進(jìn)制”的教學(xué)

本章節(jié)需要學(xué)生深入理解數(shù)位上的數(shù)具有的代表意義，這個(gè)內(nèi)容對(duì)學(xué)生而言相當(dāng)抽象。比如“36”這個(gè)數(shù)中的3表示有“3個(gè)十”，6表示有“6個(gè)一”。學(xué)生想要完全掌握這部分知識(shí)，需要借助抽象邏輯思維，這要求學(xué)生在原有認(rèn)知基礎(chǔ)上進(jìn)行分析，才能從真正意義上理解十進(jìn)制的內(nèi)涵。學(xué)生自主分析的過程，便是數(shù)感形成與發(fā)展的過程。

綜上所述，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與數(shù)感形成是互相依賴、互相促進(jìn)的關(guān)系。數(shù)感不僅是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，還是學(xué)生增強(qiáng)生活實(shí)際與數(shù)量關(guān)系聯(lián)系的根本。教師應(yīng)在教學(xué)中充分利用各種教學(xué)手段培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感，為提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)夯實(shí)基礎(chǔ)。