江蘇無(wú)錫市新吳區(qū)旺莊實(shí)驗(yàn)小學(xué) （214000） 姚莉莉

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》中明確指出，在“數(shù)與運(yùn)算”教學(xué)中，要讓學(xué)生感悟數(shù)的概念本質(zhì)上的一致性，體會(huì)數(shù)的運(yùn)算在本質(zhì)上的一致性。數(shù)的概念是運(yùn)算和數(shù)量關(guān)系的基礎(chǔ)，數(shù)的概念教學(xué)是整個(gè)“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的根基，只有讓學(xué)生感悟數(shù)的概念的一致性，才能促進(jìn)學(xué)生數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、運(yùn)算能力的發(fā)展，有效落實(shí)核心素養(yǎng)。

一、源起：基于真實(shí)學(xué)情的問(wèn)題現(xiàn)狀分析

在日常教學(xué)中，如果教師忽視了數(shù)的概念一致性，不注重基礎(chǔ)內(nèi)容教學(xué)，就像房子沒有打好地基，在后續(xù)的教學(xué)中會(huì)遇到很多問(wèn)題。如學(xué)生在解決“求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少”和“已知一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少，求這個(gè)數(shù)”等問(wèn)題時(shí)，難免出現(xiàn)理解障礙。有的教師則會(huì)簡(jiǎn)單用“單位‘1’已知用乘法、單位‘1’未知用除法”的口訣解釋，短期內(nèi)看效果似乎不錯(cuò)，學(xué)生能快速解決此類問(wèn)題。至于為什么單位“1”已知用乘法、單位“1”未知用除法，學(xué)生不明白。

數(shù)的概念是基礎(chǔ)，運(yùn)算和數(shù)量關(guān)系是進(jìn)階，因此，無(wú)論是概念教學(xué)還是計(jì)算教學(xué)，都應(yīng)注重算理和算法的雙線教學(xué)。在實(shí)際教學(xué)中，教師或許遇到過(guò)這樣的情況：在根據(jù)教材單獨(dú)教學(xué)分?jǐn)?shù)乘法或分?jǐn)?shù)除法時(shí)，學(xué)生都能結(jié)合具體情境，通過(guò)畫一畫、涂一涂等操作活動(dòng)，理解具體的算理和算法，但當(dāng)問(wèn)題以綜合題組出現(xiàn)，學(xué)生卻不能準(zhǔn)確解決問(wèn)題。

這時(shí)，我們不妨打破學(xué)段間的壁壘，將復(fù)雜抽象的新知和學(xué)生熟練掌握的舊知聯(lián)系起來(lái)，做到新舊融合。比如，一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾倍，反過(guò)來(lái)說(shuō)就是另一個(gè)數(shù)是這個(gè)數(shù)的幾分之幾，讓學(xué)生體會(huì)“倍”和“幾分之幾”都是用來(lái)描述兩個(gè)量之間的關(guān)系（如圖1），感悟數(shù)的一致性。

圖1

基于對(duì)上述現(xiàn)狀的思考，筆者嘗試對(duì)分?jǐn)?shù)的意義進(jìn)行再教學(xué)，強(qiáng)調(diào)分?jǐn)?shù)同整數(shù)、小數(shù)一樣，都是由計(jì)數(shù)單位不斷累加而得到的。

二、再設(shè)計(jì)：基于數(shù)的概念一致性的教學(xué)實(shí)踐

“分?jǐn)?shù)的意義”的教學(xué)目標(biāo)是讓學(xué)生初步理解分?jǐn)?shù)的意義和分?jǐn)?shù)單位，知道把單位“1”平均分成若干份，表示其中一份或幾份的數(shù)叫分?jǐn)?shù)，表示這樣一份的數(shù)叫分?jǐn)?shù)單位。通過(guò)折一折、分一分、比一比的學(xué)習(xí)活動(dòng)，經(jīng)歷度量分?jǐn)?shù)的過(guò)程，體會(huì)分?jǐn)?shù)不僅可以分出來(lái)，還可以數(shù)出來(lái)。初步理解假分?jǐn)?shù)的意義，從而把握數(shù)的本質(zhì)，感悟分?jǐn)?shù)、整數(shù)、小數(shù)的一致性。因此，筆者在“分?jǐn)?shù)的意義”單元第一課時(shí)的基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)。

1.真實(shí)情境引發(fā)認(rèn)知沖突——初步經(jīng)歷度量分?jǐn)?shù)

活動(dòng)要求1（出示圖2）：黃紙條到底有多長(zhǎng)？

圖2

生1：我先對(duì)折一次，再對(duì)折一次，打開后發(fā)現(xiàn)平均分成了4份，從而找到粉紙條的。

生2：我是比出來(lái)的，粉紙條比黃紙條多出來(lái)一部分，恰好是粉紙條的。

生3：都是以粉紙條作為標(biāo)準(zhǔn)平均分。

2.變式突破建構(gòu)分?jǐn)?shù)意義——初步感知假分?jǐn)?shù)

活動(dòng)要求2（出示圖3）：以粉紙條為標(biāo)準(zhǔn)，藍(lán)紙條和綠紙條分別有多長(zhǎng)？

圖3

師：這3 張長(zhǎng)度不同的紙條都是以誰(shuí)為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行測(cè)量的？

生1：都是以粉紙條為標(biāo)準(zhǔn)。

師：在測(cè)量紙條的過(guò)程中，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生2：藍(lán)紙條和綠紙條都比作為標(biāo)準(zhǔn)的粉紙條要長(zhǎng)。

生3：有幾個(gè)幾分之一就是幾分之幾。

師：分?jǐn)?shù)單位不斷累加就能度量出所有分母相同的不同分?jǐn)?shù)。這些數(shù)也可以在數(shù)軸上表示出來(lái)。以1為標(biāo)準(zhǔn)，仔細(xì)觀察這些分?jǐn)?shù)，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生4：有的分?jǐn)?shù)比1大，有的分?jǐn)?shù)比1小。

3.多元表征豐富分?jǐn)?shù)內(nèi)涵——進(jìn)一步認(rèn)識(shí)假分?jǐn)?shù)

師（出示一個(gè)圓）：如果以這個(gè)圓作為標(biāo)準(zhǔn)，平均分成5份，每份是多少呢？

師：其中的2份占這個(gè)圓的幾分之幾？3份呢？4份呢？5份呢？

生4：再往下數(shù)需要再添一個(gè)圓。

師：你能給它們分分類嗎？

生7：分子比分母小的歸為一類，分子比分母大的歸為一類。

師：分子比分母小的分?jǐn)?shù)叫真分?jǐn)?shù)。分子比分母大的或者分子和分母相同的分?jǐn)?shù)叫假分?jǐn)?shù)。

師：仔細(xì)看數(shù)軸，真分?jǐn)?shù)在哪里？假分?jǐn)?shù)呢？

生8：真分?jǐn)?shù)在1 的左邊，假分?jǐn)?shù)在1 的右邊，1也是假分?jǐn)?shù)。

師：真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)有什么特點(diǎn)呢？

生9：真分?jǐn)?shù)比1小，假分?jǐn)?shù)大于或等于1。

三、感悟：對(duì)數(shù)的概念一致性教學(xué)的反思

為什么學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)的分?jǐn)?shù)單位的理解不似整數(shù)、小數(shù)般熟練？從蘇教版教材編排來(lái)看，分?jǐn)?shù)單位的地位和作用不夠凸顯，學(xué)生首次接觸分?jǐn)?shù)單位后，第二課時(shí)就進(jìn)入“求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾分之幾的實(shí)際問(wèn)題”的學(xué)習(xí)中，對(duì)分?jǐn)?shù)單位的認(rèn)識(shí)缺少連續(xù)性和系統(tǒng)性，盡管在后續(xù)學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)加減法時(shí)強(qiáng)調(diào)了“分?jǐn)?shù)單位相同時(shí)才能直接相加減”，但仍不如“分母相同，分子相加減”的口訣深入人心。久而久之，分?jǐn)?shù)單位的概念和作用逐漸被學(xué)生淡忘。

1.強(qiáng)調(diào)數(shù)的概念的一致性：計(jì)數(shù)單位的累加

建構(gòu)數(shù)的概念的前提是要理解數(shù)的建構(gòu)方式，所有的數(shù)都是通過(guò)計(jì)數(shù)單位的不斷累加而來(lái)。認(rèn)識(shí)整數(shù)時(shí)，我們先認(rèn)識(shí)了1（個(gè)），10 根小棒捆成一捆，就是10（十），10 個(gè)十是100（百）……強(qiáng)調(diào)十進(jìn)制。在教學(xué)分?jǐn)?shù)概念時(shí)，我們也要強(qiáng)調(diào)數(shù)的概念的一致性，將同樣的認(rèn)知方法遷移到認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)中，按照計(jì)數(shù)單位累加的計(jì)數(shù)規(guī)則建構(gòu)分?jǐn)?shù)。將本課的核心確定為當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)1 不能直接測(cè)量時(shí)，如何在標(biāo)準(zhǔn)中找到合適的分?jǐn)?shù)單位進(jìn)行測(cè)量。學(xué)生在找、量、數(shù)的過(guò)程中感悟分?jǐn)?shù)單位的計(jì)數(shù)屬性，體會(huì)數(shù)的概念的一致性。

核心素養(yǎng)時(shí)代的課堂教學(xué)對(duì)教師提出了更高的要求，教師不能只做教材的“搬運(yùn)工”，而應(yīng)將每一節(jié)課放到大單元、大領(lǐng)域中進(jìn)行整體布局，打通知識(shí)的前后脈絡(luò)。在單元復(fù)習(xí)中，教師通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生回憶整數(shù)、小數(shù)的計(jì)數(shù)單位和計(jì)數(shù)方法，讓學(xué)生感知分?jǐn)?shù)的寫法雖然和整數(shù)、小數(shù)不一樣，但建構(gòu)規(guī)則是一樣的，都是基于相同計(jì)數(shù)單位的不斷累加。通過(guò)溝通整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)的聯(lián)系，強(qiáng)調(diào)數(shù)的概念的一致性，感悟數(shù)的概念的本質(zhì)。

2.強(qiáng)調(diào)教學(xué)內(nèi)容的一致性：多元表征聚焦分?jǐn)?shù)本質(zhì)

除了教學(xué)常用中的折一折、比一比、分一分等操作活動(dòng)，筆者還設(shè)計(jì)了數(shù)分?jǐn)?shù)的活動(dòng)，學(xué)生在觀察、思考、猜測(cè)、驗(yàn)證的活動(dòng)中，逐步提煉出真分?jǐn)?shù)、假分?jǐn)?shù)的概念，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)。學(xué)生在不同形式、不同內(nèi)容、不同對(duì)象的數(shù)分?jǐn)?shù)中，感悟真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)的概念及內(nèi)涵。對(duì)于分?jǐn)?shù)而言，這些不同的表示形式是具有共性的，即相同分?jǐn)?shù)的不同表示形式，不管是具體的實(shí)物還是抽象的圖形，都可以表示出幾分之一，進(jìn)而不斷累加得到不同的分?jǐn)?shù)，當(dāng)超過(guò)1時(shí)就產(chǎn)生了假分?jǐn)?shù)。

不同形式、不同大小的數(shù)都能在數(shù)軸上體現(xiàn)出來(lái)，數(shù)的概念的建立離不開數(shù)軸。筆者設(shè)計(jì)了兩個(gè)不同層次的觀察數(shù)軸的活動(dòng)：第一次把度量紙條過(guò)程中產(chǎn)生的分?jǐn)?shù)寫到數(shù)軸上，感悟分?jǐn)?shù)是通過(guò)相同計(jì)數(shù)單位的不斷累加得到的，它可以用來(lái)表示比1小的數(shù)，也可以表示比1 大的數(shù)；第二次把圓片平均分并用分?jǐn)?shù)表示，將對(duì)應(yīng)的分?jǐn)?shù)寫到數(shù)軸上，學(xué)生通過(guò)數(shù)軸上不同分?jǐn)?shù)所在的位置就能理解真分?jǐn)?shù)都比1 小，假分?jǐn)?shù)大于等于1。讓學(xué)生直觀感受到分?jǐn)?shù)也是數(shù)的一種，它具有和整數(shù)、小數(shù)相同性質(zhì)的表達(dá)方式和計(jì)數(shù)規(guī)則。學(xué)生在不同圖形、不同活動(dòng)、不同手段的教學(xué)中感受數(shù)的一致性。

3.強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)方法的一致性：逐步養(yǎng)成“三會(huì)”核心素養(yǎng)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》明確指出，通過(guò)義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生逐步會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界（簡(jiǎn)稱“三會(huì)”）。引導(dǎo)學(xué)生思考如何表示紙條的長(zhǎng)度，當(dāng)不能再用以往經(jīng)驗(yàn)解決問(wèn)題時(shí)，啟發(fā)學(xué)生動(dòng)手操作、觀察比較如何找到更合適的方式準(zhǔn)確表達(dá)測(cè)量對(duì)象的長(zhǎng)度，并掌握數(shù)學(xué)結(jié)論和方法。

要培養(yǎng)具有創(chuàng)新精神的學(xué)生，教師應(yīng)當(dāng)設(shè)計(jì)能讓學(xué)生經(jīng)歷再創(chuàng)造的活動(dòng)，讓學(xué)生在自主探究、不斷思考、辨證反思的過(guò)程中發(fā)展素養(yǎng)，在探究數(shù)學(xué)本質(zhì)的過(guò)程中感悟數(shù)學(xué)的抽象性和嚴(yán)謹(jǐn)性，感悟數(shù)學(xué)之美。

在以核心素養(yǎng)為教育導(dǎo)向的背景下，數(shù)學(xué)課程內(nèi)容應(yīng)當(dāng)立足學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展，注重課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)化，即對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行結(jié)構(gòu)化整合，構(gòu)建發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的路徑，體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科的育人價(jià)值。