張慶

【摘要】數(shù)與形是數(shù)學(xué)研究的最基本對象.使學(xué)生明確數(shù)與形之間的關(guān)聯(lián)，靈活應(yīng)用以形解數(shù)、以數(shù)促形的方法解決數(shù)學(xué)難題，對于培養(yǎng)高中生的解題能力有著積極意義.文章闡述了數(shù)形結(jié)合思想的含義與應(yīng)用意義，同時結(jié)合具體教學(xué)案例，從以形解數(shù)、以數(shù)促形、數(shù)形結(jié)合三個層面提出數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用策略，希望為提升高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)質(zhì)量提供參考.

【關(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合；高中數(shù)學(xué)；解題；應(yīng)用策略

高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)不僅要為學(xué)生傳授針對性的解題理論與解題方法，還要注意適時滲透數(shù)學(xué)思想，同時發(fā)展學(xué)生的解題能力與解題思維.數(shù)形結(jié)合思想是一種有機(jī)結(jié)合抽象的數(shù)學(xué)語言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系的數(shù)學(xué)思想，將其應(yīng)用到高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)當(dāng)中，有利于提高學(xué)生的解題質(zhì)量.教師只有認(rèn)識到數(shù)形結(jié)合思想的積極教學(xué)作用，并將其合理應(yīng)用于解數(shù)的問題、形的問題及綜合問題的教學(xué)當(dāng)中，才能從根本上提高學(xué)生的靈活解題能力.

一、數(shù)形結(jié)合思想概述

（一）含義

數(shù)形結(jié)合思想的本質(zhì)是應(yīng)用“形”將“數(shù)”直觀地表達(dá)出來，應(yīng)用“數(shù)”將“形”準(zhǔn)確地描述出來的一種思想方法，主張研究數(shù)學(xué)問題時將抽象的數(shù)量關(guān)系與直觀的圖形結(jié)合起來，綜合看待數(shù)學(xué)問題.

（二）應(yīng)用意義

將數(shù)形結(jié)合思想用于高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)當(dāng)中，可以彌補(bǔ)常規(guī)解題教學(xué)內(nèi)容的不足，使學(xué)生學(xué)會從數(shù)、形兩個角度綜合看待數(shù)學(xué)問題，從而提高學(xué)生的問題分析、解答、總結(jié)能力.數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用意義具體表現(xiàn)在以下幾方面：

第一，有利于消除學(xué)生的負(fù)面解題情緒.高中數(shù)學(xué)題目具有復(fù)雜、抽象的特征.教師應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，從以形助數(shù)、以數(shù)解形的角度帶領(lǐng)學(xué)生探究數(shù)學(xué)問題，有利于學(xué)生快速明確數(shù)形關(guān)系，確定解題的切入點(diǎn)，在降低解題難度的同時提高學(xué)生的解題效率，為學(xué)生樹立數(shù)學(xué)解題學(xué)習(xí)的信心.

第二，有利于發(fā)展學(xué)生靈活的解題思維.思維是思想、意識的集中體現(xiàn)，培養(yǎng)學(xué)生的解題思維，有利于學(xué)生解決形式不同、內(nèi)容不同的數(shù)學(xué)問題.教師應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想展開解題教學(xué)，有助于學(xué)生打破常規(guī)解題思維的禁錮，從新穎的角度思考數(shù)學(xué)問題，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維水平，提高其解題效率.

第三，有利于培養(yǎng)學(xué)生良好的解題習(xí)慣.習(xí)慣對學(xué)生的影響是巨大的.在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，通過為學(xué)生講解以形解數(shù)、以數(shù)促形、數(shù)形結(jié)合等解決問題的思路、方法、步驟，可以使學(xué)生逐漸形成確切的解題思維體系，使其能夠自覺地在遇到問題時靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)思想探究數(shù)學(xué)問題，從而達(dá)到快速、高效解決數(shù)學(xué)問題的目的.久而久之，學(xué)生就能養(yǎng)成良好的解題習(xí)慣，能夠更加得心應(yīng)手地解決不同類型的數(shù)學(xué)難題.

二、數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用策略

（一）以形解數(shù)，降低難度，提高解題效率

1.以形解數(shù)巧解集合問題，培養(yǎng)解題興趣

高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)的特征之一在于題目信息復(fù)雜.學(xué)生若欠缺良好的解題內(nèi)驅(qū)力，則很容易在讀題、解題時出現(xiàn)放棄的負(fù)面想法，導(dǎo)致解題教學(xué)無法順利進(jìn)行下去.在進(jìn)行集合問題的解題教學(xué)時，教師可以巧妙地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想引領(lǐng)學(xué)生解決這類問題，通過將復(fù)雜的集合語言轉(zhuǎn)化成簡單、直觀、易懂的文氏圖、數(shù)軸等圖形，激發(fā)學(xué)生的解題學(xué)習(xí)興趣，使其主動參與集合問題的解題學(xué)習(xí)活動.

以“交集、并集”一課的解題教學(xué)為例，有問題如下：設(shè)集合A={x|-5≤x<1}，B={x|x≤2}，則A∪B等于（ ）.

A.{x|-5≤x<1} B.{x|-5≤x≤2}

C.{x|x<1} D.{x|x≤2}

這一問題的題目、選項都以數(shù)學(xué)語言呈現(xiàn)，并未給出過多解釋.許多學(xué)生在初次接觸這類題目時，容易為復(fù)雜的題目信息所影響，產(chǎn)生畏難的解題情緒.對此，教師可以將以形解數(shù)的思想方法傳授給學(xué)生，幫助學(xué)生將復(fù)雜代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為直觀的、可視化的圖形問題：“對于求并集的數(shù)學(xué)問題，我們可以運(yùn)用畫數(shù)軸的方式解決.將集合A，B在數(shù)軸上表示出來，觀察兩個圖形可以發(fā)現(xiàn)，集合A被包含在集合B中，兩個集合的并集自然是x≤2.如此，即可得到原題答案.”

通過巧妙應(yīng)用數(shù)軸圖繪制集合的示意圖降低集合問題的難度，從而消除學(xué)生的負(fù)面解題情緒，使其主動投入解決集合問題的過程當(dāng)中，提高其解題效率.

2.以形解數(shù)巧解函數(shù)問題，簡化解題步驟

函數(shù)問題在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中占據(jù)較大比重.由于函數(shù)問題具有較強(qiáng)的抽象性，部分學(xué)生在解讀題目、分析題目時出現(xiàn)了思路混亂的問題，導(dǎo)致解題步驟復(fù)雜，不能很快求解出問題答案.教師可以將數(shù)形結(jié)合思想運(yùn)用到函數(shù)問題的解題教學(xué)當(dāng)中，利用形象、直觀的圖像解釋函數(shù)問題，以此降低函數(shù)問題的難度，使學(xué)生在觀察圖像、分析圖像的過程中確定解決函數(shù)問題的解題方法.

將以數(shù)解形的思想方法用于高中數(shù)學(xué)函數(shù)解題教學(xué)當(dāng)中，可以簡化學(xué)生的函數(shù)解題思路，使其通過繪制草圖、分析草圖、代入數(shù)據(jù)快速完成問題探究，從而提高學(xué)生的解題效率.

（二）以數(shù)促形，強(qiáng)化邏輯，提高解題質(zhì)量

1.以數(shù)促形解決解析幾何問題，引發(fā)邏輯思考

解析幾何是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)與難點(diǎn)之一.要使學(xué)生具備解決解析幾何問題的關(guān)鍵能力，教師需要在常規(guī)解題教學(xué)的基礎(chǔ)上融入數(shù)形結(jié)合思想，使學(xué)生形成以數(shù)解形的解題意識，進(jìn)一步促進(jìn)其邏輯思考.對此，教師可以為學(xué)生呈現(xiàn)解析幾何的典型例題，先讓學(xué)生嘗試獨(dú)立解題，后為學(xué)生演繹以數(shù)促形解決難題的過程，使其在學(xué)習(xí)的過程中進(jìn)行邏輯思考，逐漸形成以數(shù)促形解決問題的能力.

在面對抽象的解析幾何問題時，教師可以讓學(xué)生運(yùn)用以數(shù)解形的思想方法列方程組、消元、計算，使學(xué)生在練習(xí)的過程中逐漸形成邏輯思考、邏輯分析的數(shù)學(xué)解題能力，提高其解題質(zhì)量.

2.以數(shù)促形解決立體幾何問題，提高辨析能力

立體幾何問題看似是“形”的問題，但其問題本質(zhì)與“數(shù)”的知識、方法有著緊密的關(guān)聯(lián).教師將數(shù)形結(jié)合思想用于立體幾何問題的解題教學(xué)當(dāng)中，可以為學(xué)生提供新的解題學(xué)習(xí)思路，使其擁有更多的解題選擇.如此，學(xué)生能夠在解題學(xué)習(xí)中自覺辨析代數(shù)方法、幾何方法解決立體幾何問題的優(yōu)缺點(diǎn)，從而選擇更適合自己的解題方法，提升自身解題學(xué)習(xí)質(zhì)量.

以“空間向量與立體幾何”一章的解題教學(xué)為例，有典型問題如下：如圖1，在四面體ABCD中，平面ABC⊥平面ACD，AB⊥BC，AC=AD=2，BC=CD=1，求四面體ABCD的體積.

為了使學(xué)生形成運(yùn)用最優(yōu)解法解決立體幾何問題的解題能力，教師可以為學(xué)生分別講解用幾何法、代數(shù)法解題的思路，通過呈現(xiàn)兩種解題方法，為學(xué)生提供更多解題選擇，使其按照自己的解題愛好選擇合適的解題方法，徹底掌握解決立體幾何難題的方法，提高其對幾何問題的解答能力.

（三）數(shù)形結(jié)合，靈活切入活躍解題思維

1.數(shù)形結(jié)合解決三角函數(shù)問題，激活解題思維

三角函數(shù)是研究三角形與圓等幾何形狀性質(zhì)，研究周期性現(xiàn)象的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)工具.高中階段的三角函數(shù)問題具有一定的難度，學(xué)生的解題思維若過于僵化，則很容易在解題時陷入誤區(qū)，無法正確解決問題.對此，教師可將數(shù)形結(jié)合思想滲透進(jìn)三角函數(shù)問題的解題教學(xué)當(dāng)中，通過提問引導(dǎo)、組織探究等方式使學(xué)生打破僵化的解題思維，從而提高其靈活解題的數(shù)學(xué)能力.

三角函數(shù)的問題形式多樣，難度較高.教師將數(shù)形結(jié)合思想運(yùn)用到解題教學(xué)當(dāng)中，并提出有關(guān)引導(dǎo)性問題，引導(dǎo)學(xué)生思考、探究，使其在解題的過程中逐漸形成綜合分析的解題思維，為提高學(xué)生的三角函數(shù)解題能力奠定基礎(chǔ).

2.數(shù)形結(jié)合解決不等式問題，拓寬思維視野

培養(yǎng)高中生舉一反三的解題思維是非常重要的.在進(jìn)行不等式問題的解題教學(xué)時，教師可以將數(shù)形結(jié)合思想融入教學(xué)當(dāng)中，為學(xué)生呈現(xiàn)同一問題的不同解答方法，充分?jǐn)U寬學(xué)生的解題思維視野.借助數(shù)形結(jié)合思想落實一題多解教學(xué)，之后組織學(xué)生回顧不同解法的解題思路、解題步驟，使學(xué)生在想、用、反思的過程中掌握用數(shù)形結(jié)合思想妙解不等式問題的方式方法，從而提升學(xué)生的解題水平.

代數(shù)法并不是解決不等式問題的唯一方法.進(jìn)行不等式問題解題教學(xué)時，教師可以將數(shù)形結(jié)合思想合理滲透進(jìn)解題課程當(dāng)中，通過為其說明、演繹使學(xué)生掌握不同解決不等式問題的方法，從而拓寬學(xué)生的數(shù)學(xué)解題思維.

結(jié)束語

“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休.”只有讓學(xué)生形成從數(shù)、形兩個方面看待問題的解題思維習(xí)慣，才能夠進(jìn)一步提高學(xué)生靈活思考、靈活解題的能力，提升其解題效率與解題質(zhì)量.實際教學(xué)中，教師應(yīng)明確當(dāng)下高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)的主要目標(biāo)，并結(jié)合解題教學(xué)的具體需求合理地將數(shù)形結(jié)合思想融入不同類型題目的解題教學(xué)當(dāng)中，以此開闊學(xué)生的解題視野，提升學(xué)生的解題水平.

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