李嘉敏

【摘要】幾何教學(xué)是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，在幾何教學(xué)中逐步歸納出來(lái)的幾何模型是幫助學(xué)生解決幾何難題的有效工具.從復(fù)雜的圖形中抽離出簡(jiǎn)潔的幾何模型，便能直觀形象地得到圖形性質(zhì)，從而解決問(wèn)題.文章中，筆者結(jié)合一道廣州中考原題，針對(duì)其隱含的幾何模型進(jìn)行了分析和梳理，并提出幾點(diǎn)反思意見(jiàn)，旨在為廣大教育工作者提供教學(xué)參考.

【關(guān)鍵詞】幾何模型教學(xué)；數(shù)學(xué)建模；核心素養(yǎng)

數(shù)學(xué)教育的目標(biāo)可分為顯性目標(biāo)與隱性目標(biāo)兩種，顯性目標(biāo)一般指具體的數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)屬于隱性目標(biāo).數(shù)學(xué)教學(xué)除了傳授知識(shí)外，還要促使學(xué)生的理性思維得到良好發(fā)展.教師在教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生在復(fù)雜的幾何圖形中抓住解題的關(guān)鍵要素，抓住問(wèn)題的主要特征，忽略次要因素，找出清晰簡(jiǎn)潔的解題模型，化繁為簡(jiǎn)、以簡(jiǎn)馭繁.以下是筆者對(duì)一道廣州中考原題隱含的幾何模型的分析，以及利用該題進(jìn)行專(zhuān)題復(fù)習(xí)的教學(xué)設(shè)計(jì).

一、對(duì)“共頂點(diǎn)、等線段”旋轉(zhuǎn)模型的分析

“共頂點(diǎn)、等線段”旋轉(zhuǎn)模型（也稱(chēng)“手拉手模型”）是指已知條件中出現(xiàn)兩條線段有公共端點(diǎn)，且它們的長(zhǎng)度相等，此時(shí)用圖形變換的眼光去看，可以理解為其中一條線段繞著它們的公共端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)可以得到另一條線段.那么如果把其中的一條線段放在一個(gè)封閉圖形（如三角形）中考慮，可看作把該線段所在封閉圖形繞著線段的公共端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到另一個(gè)與之全等的封閉圖形，通過(guò)旋轉(zhuǎn)，既可改變線段之間相對(duì)的位置關(guān)系，也可得到新的圖形性質(zhì).

二、基于“共頂點(diǎn)、等線段”旋轉(zhuǎn)模型的教學(xué)設(shè)計(jì)

（一）題目呈現(xiàn)

（3）若點(diǎn)M，N分別在線段CA，CB上運(yùn)動(dòng)（不含端點(diǎn)），經(jīng)過(guò)探究發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到每一個(gè)確定的位置，△DMN的周長(zhǎng)有最小值t，隨著點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)，t的值會(huì)發(fā)生變化，求所有t值中的最大值.

（二）教學(xué)分析

1.考題來(lái)源

考題的基本圖形源于人教版九年級(jí)上冊(cè)教材90頁(yè)第14題，原題如下：如圖2，A，P，B，C是☉O上的四個(gè)點(diǎn)，∠APC=∠CPB=60°，判斷△ABC的形狀，并證明你的結(jié)論.

對(duì)比分析可知，中考題的第（1）問(wèn)把教材中題目的題設(shè)和結(jié)論調(diào)換了位置，把已知“角平分線”得出“等邊三角形”，改成了已知“等邊三角形”求證“角平分線”，考查層次并未明顯加深.

2.考點(diǎn)和學(xué)情分析

本題考查了圓周角定理、等邊三角形性質(zhì)、圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的應(yīng)用、軸對(duì)稱(chēng)的應(yīng)用、解直角三角形等知識(shí)，是一道對(duì)數(shù)學(xué)綜合能力要求較高的題目.

初三的學(xué)生已經(jīng)系統(tǒng)完成了初中階段所有新課學(xué)習(xí)，掌握了初中平面幾何中常用的圖形定義、性質(zhì)和判定知識(shí)，也對(duì)常見(jiàn)模型有一定了解，但對(duì)幾何模型的應(yīng)用還不夠靈活，遇到綜合題時(shí)不能迅速地根據(jù)條件聯(lián)想構(gòu)建幾何模型來(lái)解決問(wèn)題.

（三）教學(xué)過(guò)程

1.問(wèn)題展示，揭示課題

課件展示本文“題目呈現(xiàn)”中的題目.

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生關(guān)注中考考題動(dòng)向，并認(rèn)識(shí)到幾何模型在解題中的作用.

2.合作探究，解決問(wèn)題

思維流程圖（如圖4、圖5）：

解法分析：從題目條件分析，條件中給出等邊三角形ABC，則有等邊三角形的三條邊相等，所以有“共頂點(diǎn)、等線段”條件出現(xiàn)，例如線段CB和線段CA就有公共端點(diǎn)C，且它們長(zhǎng)度相等，可以認(rèn)為線段CB能由線段CA繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到，這給解題提供了相對(duì)明顯的提示，通過(guò)構(gòu)造旋轉(zhuǎn)模型來(lái)轉(zhuǎn)換目標(biāo)線段DA與DB的相對(duì)位置，從而在新圖形中得到更多的幾何關(guān)系來(lái)解決問(wèn)題.

如解法1，將△ADC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△BHC.由圓內(nèi)接四邊形ADBC可得∠DAC與∠DBC互補(bǔ)，再由旋轉(zhuǎn)前后圖形全等可得∠HBC與∠DBC互補(bǔ)，證得D，B，H三點(diǎn)共線，進(jìn)而得出等邊三角形DCH，最后通過(guò)線段間的等量代換得出結(jié)論.解法2～4的解題思路與解法1大致相同，但值得注意的是，解法3和解法4中圖形旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在線段DC上，需要推理證明.

從另一個(gè)角度分析，本題還有一個(gè)重要條件是“DC是∠ADB的平分線”，可聯(lián)想構(gòu)造角平分線模型來(lái)解決.解法5中，易證得△DPC≌△DQC和Rt△APC≌Rt△BQC，DA+DB=DP+DQ=2DP，再通過(guò)含30°角的Rt△DPC可得斜邊DC=2DP=DA+DB.

本題還可從結(jié)論入手分析.題目要求先猜想線段長(zhǎng)度關(guān)系再求證結(jié)論，通過(guò)有目的性地測(cè)量可以猜想本題目標(biāo)是求證“DA+DB=DC”，此外顯然指向了截長(zhǎng)補(bǔ)短模型，解法6的四種構(gòu)造方法，均是解決線段和差關(guān)系的常用方法.

設(shè)計(jì)意圖：?jiǎn)l(fā)學(xué)生突破解題難點(diǎn)，合理猜想，構(gòu)造幾何模型形成解題思路，通過(guò)師生合作探究，讓學(xué)生學(xué)會(huì)辨析條件與結(jié)論.與此同時(shí)，利用問(wèn)題1為解決中考原題做好鋪墊.

3.回歸考題，突破難點(diǎn)

問(wèn)題2 問(wèn)題1中，四邊形ADBC的面積S是線段DC的長(zhǎng)x的函數(shù)嗎？如果是，求出函數(shù)解析式；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

思維流程圖（見(jiàn)圖11）：

與問(wèn)題1的分析角度類(lèi)似，本題也可利用DC是角平分線作為解題切入點(diǎn)，構(gòu)造角平分線模型（如圖10），將四邊形ADBC的面積轉(zhuǎn)換成兩個(gè)全等的含30°角的直角三角形的面積和.

設(shè)計(jì)意圖：在問(wèn)題1的基礎(chǔ)上進(jìn)一步引發(fā)思考，回歸中考原題，引導(dǎo)學(xué)生從不同角度思考條件和結(jié)論，利用一題多解讓學(xué)生明白題目背后隱藏的深層次問(wèn)題和結(jié)論，培養(yǎng)學(xué)生從復(fù)雜圖形中分離不同幾何模型的能力，提升學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象等核心素養(yǎng).

4.變式應(yīng)用，突破自我

結(jié)合上述問(wèn)題解析過(guò)程中的幾何模型，改變題目條件和結(jié)論，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比分析題目異同，幫助學(xué)生靈活應(yīng)用.

設(shè)計(jì)意圖：緊扣中考熱點(diǎn)壓軸題，從45°和直徑聯(lián)想到等腰直角三角形，再聯(lián)想到旋轉(zhuǎn)模型，進(jìn)行拓展訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生的審題能力，讓其辨析題目中的條件和結(jié)論的特點(diǎn)，從而找出對(duì)應(yīng)的幾何模型，解決問(wèn)題.

5.模型總結(jié)，能力提高

梳理本節(jié)課重點(diǎn)應(yīng)用的模型以及涉及的模型（見(jiàn)表1）：

三、初中幾何模型教學(xué)反思

（一）要注重基本幾何圖形的積累，運(yùn)用幾何模型化繁為簡(jiǎn)

圖形是最直觀的了解知識(shí)點(diǎn)之間聯(lián)系的中介，教師在教學(xué)過(guò)程中通過(guò)畫(huà)草圖、逐步分解，可以強(qiáng)化數(shù)學(xué)視覺(jué)意象之間的關(guān)聯(lián)性.學(xué)生掌握幾何模型越熟練，他們?cè)诮鉀Q幾何問(wèn)題時(shí)就越容易快速篩選關(guān)鍵信息.對(duì)于幾何難題，教師在教學(xué)過(guò)程中可把抽離出的模型單獨(dú)板書(shū)呈現(xiàn)，要注意從復(fù)雜圖形中抽離出基礎(chǔ)幾何模型，逐個(gè)擊破.

（二）要關(guān)注幾何模型內(nèi)在數(shù)學(xué)邏輯，以簡(jiǎn)馭繁

幾何模型可在一定程度上幫助學(xué)生便捷地構(gòu)造出關(guān)鍵圖形來(lái)解決問(wèn)題，但教師在教學(xué)過(guò)程中不能簡(jiǎn)單地套用模型，必須揭示幾何模型中蘊(yùn)含的圖形關(guān)系，以及解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的思維過(guò)程.教師可利用幾何模型串聯(lián)起多道難題，實(shí)現(xiàn)一“解”多題，統(tǒng)整知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，以簡(jiǎn)馭繁.另外，教師還可以通過(guò)變式教學(xué)來(lái)加強(qiáng)知識(shí)之間的滲透和遷移，激發(fā)學(xué)生的發(fā)散性思維，培養(yǎng)學(xué)生的思維靈活度.

（三）幾何教學(xué)要開(kāi)放探究，培養(yǎng)多角度幾何模型思維

在問(wèn)題情境不變的條件下，幾何模型的思維定式能幫助學(xué)生應(yīng)用已掌握的方法迅速解決問(wèn)題，但在情境發(fā)生變化時(shí)，這種定式反而會(huì)妨礙學(xué)生尋找新的方法解決問(wèn)題.要想消除思維定式的負(fù)面影響，教師在教學(xué)中就要注重發(fā)散學(xué)生思維，放大學(xué)生的想象空間，利用不同幾何模型對(duì)題目進(jìn)行剖析，培養(yǎng)學(xué)生多角度的幾何模型思維.

（四）提高學(xué)生畫(huà)圖、用圖的能力

“數(shù)形結(jié)合”是數(shù)學(xué)解題中重要的思想之一，圖形可以給予人們豐富的信息，對(duì)于解題往往可以起到事半功倍的效果.引導(dǎo)學(xué)生用圖形展示解題思路，能把解題過(guò)程中復(fù)雜而繁多的條件直觀地表示成已知條件和待求解結(jié)論，還能加深學(xué)生對(duì)幾何模型的認(rèn)識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象能力.

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