陳俊健

［摘 要］很多省份已經(jīng)實行了新高考，不少考生覺得新高考“難”，從新高考真題與模擬題、部分學(xué)校的高考成績等方面來看，都從一定程度上說明了這個問題。廣西將于2024年實行新高考。文章分析近幾年廣西高考題的變化以及借鑒外省新高考的經(jīng)驗，旨在引導(dǎo)廣西教師主動變革，迎接新高考。

［關(guān)鍵詞］新高考；變革；備考

［中圖分類號］? ? G633.6? ? ? ? ［文獻標識碼］? ? A? ? ? ? ［文章編號］? ? 1674-6058（2023）20-0004-03

根據(jù)有關(guān)文件，廣西將會于2024年實行新高考，屆時，廣西所有考生的數(shù)學(xué)都會使用同一試卷，而不再區(qū)分文理。在廣西即將實行新高考之際，數(shù)學(xué)高考試卷會有哪些過渡性變化呢？為了更好地迎接新高考，高中數(shù)學(xué)教師在平時教學(xué)與備考中又該如何做？下面筆者結(jié)合高考中的立體幾何（簡稱“立幾”）解答題進行簡單分析。

先來看2023年高考全國甲卷理科數(shù)學(xué)第18題：

18.在三棱柱[ABC-A1B1C1]中，[AA1=2]，[A1C⊥]底面ABC，[∠ACB=90°]，[A1]到平面[BCC1B1]的距離為1。（1）求證：[AC=A1C]；（2）若直線[AA1]與[BB1]距離為2，求[AB1]與平面[BCC1B1]所成角的正弦值。

不少考生反映這道題不好做。平時的模擬題中，第（1）問大多是證明平行或者垂直，但是本題第（1）問卻是證明線段長度相等。第（2）問也跟平時的模擬題略有不同，平時的模擬題的第（2）問大多是考查二面角的大小或者對應(yīng)的三角函數(shù)值，但是本題考查的是線面角。平時的模擬題的第（2）問用空間向量就很容易求解，而本題不用空間向量會更容易求解。

那么怎么看待這些變化呢？

第一，據(jù)統(tǒng)計，2018—2022年這5年廣西高考理科數(shù)學(xué)題第（1）問都是證明平行或者垂直，沒出現(xiàn)過2023年這樣的證明線段相等。2023年高考全國甲卷理科數(shù)學(xué)“立幾”解答題第（1）問緊緊抓住“幾何”這個主線，突出基礎(chǔ)性，綜合立體幾何中的垂直和距離問題，創(chuàng)新性地提出證明兩個線段長度相等的問題，要求考生在立體幾何背景下結(jié)合解三角形知識，發(fā)現(xiàn)突破口，分析并解決問題。

第二，據(jù)統(tǒng)計，2017—2021年這5年廣西高考理科數(shù)學(xué)的“立幾”解答題第（2）問都是求二面角，從未考過直線與平面所成角。2022年考了直線與平面所成角，所以2023年高考全國甲卷“立幾”解答題第（2）問繼續(xù)考直線與平面所成角，也就顯得沒有那么突然了。而且新高考地區(qū)，比如浙江，前幾年考線面角的概率比較大，這是不是向我們釋放一個信號：今后考二面角和線面角是常態(tài)？立體幾何中涉及線面平行和垂直的判定及其性質(zhì)等8個定理，這8個定理是立體幾何的主要內(nèi)容，它們可以幫助學(xué)生更好地認識空間中點、線、面的位置關(guān)系。線面角和二面角是重要的概念，求解線面角和二面角又是立體幾何的難點內(nèi)容。學(xué)生需要掌握這8個定理并做到融會貫通才能更好解決線面角和二面角問題。

第三，2018—2022年這5年廣西高考理科數(shù)學(xué)“立幾”解答題第（2）問用向量解題比用幾何定義法解題容易。而2023年廣西高考理科數(shù)學(xué)“立幾”解答題第（2）問用必修課程中的傳統(tǒng)幾何與定義法（下稱幾何法）解題會相對容易?！吨袊呖荚u價體系說明》對“四翼”有如下說明：通過設(shè)置真實的問題情境，考查學(xué)生靈活運用所學(xué)知識分析解決問題的能力，允許學(xué)生從多角度作答，使“死記硬背”“機械刷題”“題海戰(zhàn)術(shù)”的收益大大降低，引導(dǎo)學(xué)生的關(guān)注點從“解題”向“解決問題”、從“做題”向“做人做事”轉(zhuǎn)變。不少學(xué)生和教師往年備考的經(jīng)驗是，“立幾”解答題第（2）問用空間向量解題即可。

綜合看這道題可以發(fā)現(xiàn)，它很好地體現(xiàn)了《普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版2020年修訂）》對高考命題的建議：“數(shù)學(xué)高考命題還應(yīng)依據(jù)人才選拔要求，發(fā)揮數(shù)學(xué)高考的選拔功能?！北绢}一方面注重基礎(chǔ)，使得大部分考生都能學(xué)有所得；另一方面綜合性強，形式新穎，對考生能力要求高，有利于選拔人才。

結(jié)合以上對2023年高考全國甲卷理科數(shù)學(xué)“立幾”解答題的分析，筆者現(xiàn)在來嘗試回答文章開頭提出的問題。

廣西使用的數(shù)學(xué)教材是文理分開的，文科數(shù)學(xué)教材沒有空間向量內(nèi)容，理科教材有空間向量內(nèi)容。因此，文理科高考數(shù)學(xué)試卷“立幾”解答題的第（2）問是有區(qū)別的。2018—2021年廣西高考理科數(shù)學(xué)的“立幾”解答題第（2）問都是考二面角，2022年考的是直線與平面所成角。因此，2018—2022年廣西高考理科數(shù)學(xué)的“立幾”解答題第（2）問一般是考查“空間向量在立體幾何中的應(yīng)用”這個知識點，考生用空間向量去處理問題即可。2018—2022年廣西高考文科數(shù)學(xué)的“立幾”解答題第（2）都不需要用空間向量去處理。2023年廣西使用的是全國甲卷，文科數(shù)學(xué)“立幾”解答題的背景與理科的差不多，立體圖是同一個圖，有文理同題的趨勢。如果理科題目不用空間向量求解也可以，用幾何法甚至比用空間向量更快捷，那么理科卷的“立幾”解答題，文科生也可以求解，這更體現(xiàn)了文理同題同解的趨勢。

高考的核心功能之一是“引導(dǎo)教學(xué)”。高考考什么，平時就教什么，學(xué)什么，練什么，這是大部分師生的共識。基于近幾年的廣西文理科數(shù)學(xué)教材和文理科高考數(shù)學(xué)試卷的區(qū)別，大多數(shù)文科生不學(xué)“空間向量在立體幾何中的應(yīng)用”這一知識點，而理科生則要求學(xué)會用空間向量處理夾角問題。2021年秋季入學(xué)的高一學(xué)生實施新課程、使用新教材，都要學(xué)習(xí)“空間向量在立體幾何中的應(yīng)用”這一知識點，高考數(shù)學(xué)試卷也不再不分文理。2022年和2023年的廣西高考數(shù)學(xué)“立幾”解答題，已經(jīng)有向新高考文理不分科不分卷這個方向過渡的傾向了，這個變化趨勢其實在早幾年的試題中就已經(jīng)有所體現(xiàn)了。

下面來看2020年高考全國Ⅱ卷理科數(shù)學(xué)第20題。

20.如圖，已知三棱柱[ABC-A1B1C1]的底面是正三角形，側(cè)面[BB1C1C]是矩形，M、N分別為BC、[B1C1]的中點，[P]為[AM]上一點，過[B1C1]和[P]的平面交[AB]于[E]，交[AC]于[F]。

（1）證明：[AA1]∥[MN]，且平面[A1AMN⊥EB1C1F]；

（2）設(shè)[O]為[△A1B1C1]的中心，若AO∥平面[EB1C1F]，且[AO=AB]，求直線[B1E]與平面[A1AMN]所成角的正弦值。

此題是理科考題，既可以用空間向量去求解，也可以用幾何法求解。這已經(jīng)看到了一個信號：理科考生應(yīng)該注重基礎(chǔ)知識的應(yīng)用，在懂得用向量去處理線面角和二面角的同時，還需要懂得用幾何法求解線面角和二面角。

浙江省高考改革在我國起到先鋒引領(lǐng)作用，廣西高中師生應(yīng)該關(guān)注一下浙江高考題。

下面看浙江的一道新高考數(shù)學(xué)題目：

19.如圖，已知四棱錐[P-ABCD]，[△PAD]是以[AD]為斜邊的等腰直角三角形，BC∥AD，[CD⊥AD]，[PC=AD=2DC=2CB]，E為PD的中點。

（Ⅰ）證明：CE∥平面PAB；

（Ⅱ）求直線CE與平面PBC所成角的正弦值。

筆者讓班級學(xué)生求解這道題，發(fā)現(xiàn)他們不懂得建立坐標系，或者不懂得求相關(guān)的點或向量的坐標。對此，廣西教師應(yīng)該提醒學(xué)生平時不應(yīng)該只關(guān)注用空間向量去處理夾角問題，還應(yīng)該重視用幾何法去求解。

再看2022年新高考Ⅰ卷“立幾”解答題第（2）問，用向量法求解與用幾何定義法求解，難度差不多。2023年新高考Ⅰ卷“立幾”解答題第（2）問，用向量法求解比用幾何定義法求解要方便些。在此就不重復(fù)題目與解法了，讀者可以自行查閱相關(guān)資料。

對于高考變化趨勢，我們平時教學(xué)與備課應(yīng)該如何做呢？

對于使用新教材的高一高二師生而言，必修第二冊立體幾何的教學(xué)應(yīng)該注重對線面角和二面角的幾何求解法的訓(xùn)練，教師需要轉(zhuǎn)變觀念，學(xué)生跟進。部分教師仍保留舊高考的慣性思維，在講授了必修課程的平行和垂直的相關(guān)定理后，就急著給學(xué)生介紹用空間向量去求角。在很多情況下，空間向量求角是很容易的，只需要考生懂得建立坐標系，會求向量，計算準確即可。當使用幾何法時，不僅要求學(xué)生對定義法求角熟悉，還要求學(xué)生對平行和垂直的定理融會貫通。因此，師生都覺得用幾何法求角不好教不好學(xué)，早早就想進行空間向量的學(xué)習(xí)。有的學(xué)校高一下學(xué)期期末考試，把數(shù)學(xué)考試范圍定到選擇性必修第一冊的第一章“空間向量與立體幾何”，直接把整個空間向量放在高一下學(xué)期學(xué)完。也有教師為了讓學(xué)生在聯(lián)考中取得更好的成績，早早就教給學(xué)生空間向量。這種基礎(chǔ)沒打好就趕課時、著急學(xué)的教學(xué)行為，短期內(nèi)成效是不錯的，但是對今后高三備考復(fù)習(xí)的效果還有待檢驗。我們應(yīng)該關(guān)注學(xué)生未來工作、學(xué)習(xí)必須具備的知識基礎(chǔ)和學(xué)科主干知識，通過全面系統(tǒng)地考查核心概念、基本原理、基本方法，使學(xué)生形成牢固的知識根基，掌握解決問題的方法。高一階段我們應(yīng)該教會學(xué)生利用幾何法求角，這也是對學(xué)生是否掌握和熟練應(yīng)用立體幾何8個重要定理的檢驗。下面筆者介紹應(yīng)用幾何法求線面角和二面角的幾種情況。

求線面角。如圖1所示，過斜線PA上的點P作平面[α]的垂線，垂足為O，連接垂足O和斜足A，斜線PA和投影線OA的夾角就是所求線面角。關(guān)鍵是找到或者作出平面[α]的垂線，得到斜線的投影線。

求二面角。如圖2所示，分別在[α]和[β]兩個平面內(nèi)找出兩條射線AP和AQ都垂直于二面角的棱[l]，兩條射線的棱所成角[∠PAQ]就是二面角的平面角。

用定義法求二面角在實際應(yīng)用中可能比較少，一般是對定義法進行改良，在本文我們稱之為垂線法。如圖3所示，在平面[β]內(nèi)取點P，過P作PQ垂直平面[α]于點Q，過Q作QA垂直棱[l]于點A，則[∠PAQ]就是二面角的平面角。與求線面角的過程類似，關(guān)鍵是找到或者作出平面[α]的垂線。

以上是文理科考生都應(yīng)掌握的求線面角和面面角的幾何方法，也是高一學(xué)生解決此類問題的通法。解題的關(guān)鍵在于找到或者作出線面垂直，并且需要把空間角轉(zhuǎn)化為平面角，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想。下面舉兩個例子來說明幾何法與定義法在解題中的優(yōu)勢。

［例1］某商店的包裝紙如圖4所示，其中菱形ABCD的邊長為3，且[∠ABC=60°]，[AE=AF=√￣3]，[BE=DF=2√￣3]，將包裝紙各三角形沿菱形的邊進行翻折后，點E、F、M、N匯聚為一點P，恰好形成如圖5所示的四棱錐形的包裹。（1）證明：PA[⊥]底面ABCD；（2）設(shè)點T為BC上的點，且二面角[B-PA-T]的正弦值為[√￣21/14]，試求PB與平面PAT所成角的正弦值。

此題是聯(lián)考題，其第（2）問涉及二面角，最終求線面角，既可以用空間向量去處理，也可以用幾何法處理。據(jù)學(xué)生反映，用空間向量去處理可能會遇到點的坐標和向量的坐標不好求的情況；如果用幾何法處理，則計算過程相對簡單。此次聯(lián)考匯集南寧三中、南寧二中、柳州高中、柳州鐵一中學(xué)、玉林高中、廣西師范大學(xué)附屬外國語學(xué)校等學(xué)校，這些學(xué)校的備考可以說在很大程度上引領(lǐng)了廣西的高考備考。此次聯(lián)考的“立幾”解答題釋放了這樣一個信號：需要關(guān)注新高考文理不分科。

2021年教育部組織實行新高考的八個省的部分高中進行了一次聯(lián)考，簡稱“八省聯(lián)考”，受到廣泛關(guān)注。2022年秋季學(xué)期，“八省聯(lián)考”繼續(xù)進行，簡稱“T8聯(lián)考”。下面是其中的“立幾”解答題：

［例2］如圖6所示，四棱錐[P?ABCD]的底面是正方形，平面PAB⊥平面ABCD，[PB=AB]，E為BC的中點。

（1）若[∠PBA=60°]，證明：AE⊥PD；

（2）求直線AE與平面PAD所成角的余弦值的取值范圍。

此題第（2）問用兩種方法處理都可以，而且難度差不多?！癟8聯(lián)考”結(jié)束，筆者讓任教班級的學(xué)生做這道題，他們反饋有點不適應(yīng)?？梢姡覀冃枰P(guān)注新高考真題和模擬題，這會使我們得到新的靈感和備考方向。

2020年高考全國Ⅱ卷理科數(shù)學(xué)壓軸題是導(dǎo)數(shù)與三角函數(shù)相結(jié)合的題型，2023年高考全國甲卷也是，這意味著前幾年其他卷的高考題考點與考法可能出現(xiàn)在今后我們廣西的考題中，這值得我們思考。新高考的考查角度新穎，解題方法靈活多樣，考生可以從多個角度去解題。

［? ?參? ?考? ?文? ?獻? ?］

［1］? 教育部考試中心.中國高考評價體系說明［M］.北京：人民教育出版社，2019.

［2］? 中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標準：2017年版2020年修訂［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［3］? 任子朝，趙軒.基于高考評價體系的數(shù)學(xué)學(xué)科考試內(nèi)容改革實施路徑［J］.中國考試，2019（12）：27-32.

（責(zé)任編輯 黃桂堅）