劉 奎,于鑫海,段 杰,蘇定寧,趙思晗,李紹良,趙萬(wàn)良

(1. 上海航天控制技術(shù)研究所,上海 201109;2. 上海慣性工程技術(shù)研究中心,上海 201109)

0 引言

半球諧振陀螺是一種新型的高精度陀螺儀,具有長(zhǎng)壽命、高穩(wěn)定性、高可靠性及斷電可長(zhǎng)時(shí)間保持等優(yōu)點(diǎn),已成為國(guó)內(nèi)外的研究熱點(diǎn)[1-3]。半球諧振陀螺的理論基礎(chǔ)最早可以追溯到1890年,英國(guó)科學(xué)家Bryan發(fā)現(xiàn)敲擊并旋轉(zhuǎn)酒杯會(huì)聽(tīng)到“差拍”,表明酒杯中的駐波相對(duì)空間旋轉(zhuǎn)[4]。20世紀(jì),美國(guó)科學(xué)家Lynch等[5]對(duì)半球諧振陀螺理論的進(jìn)一步發(fā)展與性能提升做出了重要貢獻(xiàn)。由于在實(shí)際加工過(guò)程中諧振子存在誤差,因此,諧振子并非理想的軸對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)。這會(huì)導(dǎo)致諧振子產(chǎn)生不平衡質(zhì)量,當(dāng)諧振子做四波腹振動(dòng)時(shí)將對(duì)基座產(chǎn)生額外的作用力,這些不平衡力使諧振子偏離理想的四波腹振動(dòng),從而對(duì)陀螺精度產(chǎn)生影響[6-7]。

Shatalov等[8]建立了諧振子質(zhì)量與阻尼非對(duì)稱(chēng)分布的動(dòng)力學(xué)方程,同時(shí)采用平均法求解動(dòng)力學(xué)方程。Shatalov等[9]通過(guò)引入新的變量研究振動(dòng)殼體緩慢旋轉(zhuǎn)時(shí)質(zhì)量不平衡的影響。Zhbanov等[6]討論了諧振子由不平衡力引起的支撐桿的線(xiàn)性振動(dòng),得到了半球諧振陀螺漂移與不平衡質(zhì)量及偏心之間的關(guān)系式。同時(shí),多種修調(diào)技術(shù)與方法也被提出來(lái)用于諧振子不平衡質(zhì)量的去除[10-12]。

為了對(duì)諧振子不平衡質(zhì)量的去除提供理論依據(jù),并進(jìn)一步提升半球諧振陀螺的精度,需要對(duì)諧振子不平衡力的計(jì)算與分析展開(kāi)研究。本文首先總結(jié)了半球諧振子動(dòng)力學(xué)計(jì)算時(shí)采用的基本假設(shè),然后基于該假設(shè)計(jì)算諧振子的不平衡力,給出不平衡力的理論公式。最后通過(guò)數(shù)值計(jì)算研究不平衡力與駐波方位之間定量的關(guān)系,為分析不平衡質(zhì)量對(duì)陀螺精度的影響提供參考。

1 半球諧振子動(dòng)力學(xué)分析基本假設(shè)

采用球坐標(biāo)系對(duì)半球諧振子的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行分析,諧振子上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)可用(r,θ,φ)描述,如圖1所示。

圖1 半球諧振子的球坐標(biāo)系定義

為了對(duì)半球諧振子做動(dòng)力學(xué)分析與研究,需要基于半球諧振子的結(jié)構(gòu)形式建立基本的假設(shè)。目前對(duì)半球諧振子的研究主要是基于薄殼理論,該理論的基本假設(shè)主要包括:

1) 忽略垂直于中面方向正應(yīng)變。

2) 中面法線(xiàn)在變形前后仍與中面垂直。

3) 中面不可拉伸。

此外,為了方便對(duì)諧振子的不平衡質(zhì)量進(jìn)行分析,這里假設(shè)不平衡質(zhì)量沿諧振子周向分布。將不平衡質(zhì)量沿周向展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù),有:

(1)

式中:r0為諧振子的平均密度;∈n為第n階不平衡質(zhì)量的相對(duì)值;φn為第n階不平衡質(zhì)量的方位角。

2 半球諧振子不平衡力的計(jì)算

設(shè)球面上各點(diǎn)的位移為

(2)

式中:x(t),y(t)為未知函數(shù);U(θ),V(θ),W(θ)為球殼的瑞利函數(shù)。

根據(jù)薄殼理論的基本假設(shè),可得半球殼上各點(diǎn)位移應(yīng)滿(mǎn)足方程:

(3)

式中u、v、w分別表示球殼上各點(diǎn)在x、y、z方向的振動(dòng)位移。將坐標(biāo)φ分離,并利用式(2)可得關(guān)于坐標(biāo)θ的二階微分方程:

V″sin2θ-V′sinθcosθ-3V=0

(4)

同時(shí)在半球頂部有ur=uθ=uφ=0,所以可解得:

(5)

將式(5)代入式(3)可得:

(6)

以及:

(7)

最終可得球殼的瑞利函數(shù):

(8)

由于諧振子的不平衡力主要受周向不均勻質(zhì)量的影響,因此,在研究諧振子的不平衡力時(shí)一般假設(shè)諧振子的質(zhì)量沿周向不均勻分布,并將其沿周向展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù),如式(1)所示。

設(shè)諧振子的振動(dòng)位移為

(9)

式中:φ0為駐波方位角;A為諧振子的振幅;ω為諧振頻率。

將式(9)代入式(2),并對(duì)式(2)求導(dǎo)可計(jì)算球坐標(biāo)系下球面上各點(diǎn)的加速度:

(10)

為了方便計(jì)算直角坐標(biāo)系下的不平衡力,將球坐標(biāo)系下的加速度投影到直角坐標(biāo)系。

(11)

由此可計(jì)算諧振子在做四波腹振動(dòng)時(shí)的慣性力為

(12)

式中:R為諧振子半徑;a=axe1+aye2+aze3為諧振子上各點(diǎn)的加速度,ei(i=1,2,3)為直角坐標(biāo)系下的基矢量。

將式(1)、(11)代入式(12)并積分得到諧振子在做四波腹振動(dòng)時(shí)的不平衡力為

(13)

由式(13)可看出,一、三階不平衡質(zhì)量會(huì)引起水平方向的不平衡力,二階不平衡質(zhì)量?jī)H會(huì)引起豎直方向的不平衡力。

3 諧振子不平衡力的計(jì)算

表1為諧振子參數(shù)的典型值。將表1中參數(shù)代入式(13)可計(jì)算出各階不平衡力的大小,如圖2～4所示。

表1 諧振子參數(shù)的典型值

圖2 一階不平衡力的計(jì)算

圖3 二階不平衡力的計(jì)算

4 諧振子不平衡力與駐波的關(guān)系

假設(shè)各階不平衡質(zhì)量的角度方位均為0,計(jì)算駐波在0～2π區(qū)間內(nèi)旋轉(zhuǎn)時(shí),各階不平衡力的大小與駐波方位間的關(guān)系,如圖5～7所示。

圖5 一階不平衡力與駐波方位之間的關(guān)系

圖6 二階不平衡力與駐波方位之間的關(guān)系

5 結(jié)束語(yǔ)

本文研究了諧振子不平衡質(zhì)量引起的不平衡力,給出了不平衡力計(jì)算的詳細(xì)推導(dǎo)過(guò)程。在此基礎(chǔ)上,通過(guò)數(shù)值仿真計(jì)算了諧振子典型值下各階不平衡力的大小,并計(jì)算了各階不平衡力與駐波方位之間的關(guān)系。研究表明,一、三階不平衡質(zhì)量?jī)H引起水平方向的不平衡力,二階不平衡質(zhì)量?jī)H引起豎直方向的不平衡力。同時(shí),駐波方位在0～2π區(qū)間內(nèi)各階不平衡力均出現(xiàn)2個(gè)周期。