林志輝, 周 斌, 張文明, 張 嶸

(1.清華大學(xué) 精密儀器系導(dǎo)航技術(shù)工程中心, 北京 100084;2.中國(guó)人民解放軍陸軍軍事交通學(xué)院 鎮(zhèn)江校區(qū),江蘇 鎮(zhèn)江 212003)

0 引言

半球諧振陀螺具有精度高,壽命長(zhǎng),體積小,結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單等突出優(yōu)點(diǎn),在武器制導(dǎo)、艦艇導(dǎo)航及飛行器導(dǎo)航等方面具有廣闊的應(yīng)用前景[1]。

半球諧振陀螺的精度與諧振子的頻差、頻率主軸、阻尼差、阻尼主軸和品質(zhì)因數(shù)(Q)值等性能參數(shù)有關(guān)[2]。精確地辨識(shí)這些參數(shù),既是準(zhǔn)確評(píng)價(jià)諧振子性能的關(guān)鍵,也是離子束修調(diào)工藝消除頻差和阻尼差,提升諧振子性能的前提。

李紹良等[3-4]提出了一種基于幅頻響應(yīng)特性的頻差和頻率主軸辨識(shí)方法,以及一種根據(jù)振動(dòng)信號(hào)包絡(luò)周期辨識(shí)頻差方法。盧寧等[5]提出了一種通過(guò)反復(fù)調(diào)整激勵(lì)位置尋找頻率主軸,并根據(jù)2個(gè)頻率主軸位置的自由振動(dòng)信號(hào)相位差辨識(shí)頻差的方法。袁立山等[6]提出了一種在相隔 22.5°的兩個(gè)位置上分別進(jìn)行激勵(lì),根據(jù)自由振動(dòng)過(guò)程中各自節(jié)點(diǎn)的振幅比值辨識(shí)頻率主軸的方法。魏振楠等[7-8]提出了一種基于包絡(luò)擬合的辨識(shí)方法,可以同時(shí)測(cè)量品質(zhì)因數(shù)、頻差和頻率主軸。這些方法在原理上忽略了阻尼差的影響,無(wú)法辨識(shí)阻尼差和阻尼主軸,而且當(dāng)頻差與阻尼差的數(shù)值大小相當(dāng)時(shí),這些方法將失效。

本文通過(guò)分析基于自由振動(dòng)方程和基于解調(diào)量動(dòng)力學(xué)方程的2種辨識(shí)方法的不足,提出一種基于二次型變量E、H、R、S動(dòng)力學(xué)方程的性能參數(shù)辨識(shí)方法,并進(jìn)行了數(shù)值仿真和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。

1 辨識(shí)算法原理

1.1 辨識(shí)方案分析

1.1.1 自由振動(dòng)方程

半球諧振子的自由振動(dòng)方程為

(1)

式中:τ0為平均衰減時(shí)間常數(shù);Δ(1/τ)為阻尼差;θτ為阻尼主軸;γ為角度增益系數(shù);Ω為角速度;ω0為固有頻率;Δω為頻差;θω為頻率主軸。

根據(jù)自由振動(dòng)過(guò)程中x、y通道的采樣數(shù)據(jù),直接基于式(1)用最小二乘法可辨識(shí)阻尼矩陣D和剛度矩陣K,進(jìn)而計(jì)算出Δω、θω、Δ(1/τ)、θτ等參數(shù)。

直接基于式(1)進(jìn)行辨識(shí)存在以下缺點(diǎn):

1) 數(shù)值計(jì)算誤差大。高性能諧振子阻尼矩陣的數(shù)值在10-3量級(jí),剛度矩陣在109量級(jí),Δω和Δ(1/τ)在10-4量級(jí),數(shù)值量級(jí)相差大,容易引起較大的數(shù)值計(jì)算誤差。

2) 數(shù)據(jù)量和計(jì)算量大。諧振子頻率通常在3～10 kHz,采集振動(dòng)數(shù)據(jù)需要較高的采樣率,而待辨識(shí)的參數(shù)量級(jí)小,辨識(shí)需要較長(zhǎng)時(shí)間的測(cè)試數(shù)據(jù),導(dǎo)致數(shù)據(jù)量和計(jì)算量較大。

3) 辨識(shí)精度易受溫度變化影響。常溫下,石英玻璃的楊氏模量溫度系數(shù)約為180×10-6,溫度變化1 K,剛度矩陣的數(shù)值變化在105量級(jí),遠(yuǎn)大于待辨識(shí)參數(shù),易引起較大的辨識(shí)誤差。

1.1.2 解調(diào)量動(dòng)力學(xué)方程

使用角頻率為ωr(接近ω0)的正弦和余弦參考信號(hào)對(duì)x,y進(jìn)行同步解調(diào),得到4個(gè)解調(diào)量(xc、yc、xs、ys)。解調(diào)量與振動(dòng)信號(hào)有如下關(guān)系:

(2)

采用平均法可建立解調(diào)量的動(dòng)力學(xué)方程:

(3)

其中:

(4)

利用最小二乘法辨識(shí)矩陣D和W,可以計(jì)算出待辨識(shí)參數(shù)Δω、θω、Δ(1/τ)、θτ。解調(diào)量是慢變量,且D和W的數(shù)值量級(jí)相近,這種方法可以有效地降低計(jì)算量和數(shù)值計(jì)算誤差,但不足之處在于辨識(shí)精度容易受溫度變化影響。矩陣W與ω0有關(guān),溫度變化1 K,ω0數(shù)值變化量遠(yuǎn)大于待辨識(shí)參數(shù)。

1.1.3 二次型變量E、H、R、S動(dòng)力學(xué)方程

采用二次型變量E、H、R、S作為觀測(cè)變量:

(5)

對(duì)式(5)求導(dǎo),并將式(3)代入計(jì)算,整理后可得:

(6)

其中:

(7)

da=4γΩ

(8)

(9)

(10)

wc=Δωcos(4θω)

(11)

ws=Δωsin(4θω)

(12)

式(7)～(12)與固有頻率ω0無(wú)關(guān),對(duì)溫度變化不敏感。本文基于此方程提出辨識(shí)算法。

1.2 辨識(shí)算法

對(duì)式(6)兩端進(jìn)行積分,將微分方程轉(zhuǎn)換成代數(shù)方程,得到:

(13)

其中:

(14)

(15)

(16)

(17)

在每個(gè)采樣時(shí)刻,根據(jù)式(13)可得到4個(gè)方程。聯(lián)立這些方程,使用線性最小二乘法可計(jì)算出方程參數(shù),進(jìn)而可根據(jù)方程參數(shù)計(jì)算出待辨識(shí)參數(shù):

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

對(duì)于高Q值、小頻差諧振子,式(13)中的參數(shù)很小,自由振動(dòng)過(guò)程中E、H、R、S變化緩慢。如果諧振子對(duì)稱(chēng)性較高,dc、ds、wc、ws?d0,自由振動(dòng)過(guò)程中E、H、R、S將近似等比例衰減。以上情況使得單個(gè)位置的自由振動(dòng)數(shù)據(jù)易出現(xiàn)病態(tài)方程,導(dǎo)致辨識(shí)精度不高。

在多個(gè)位置激勵(lì)并采集自由振動(dòng)數(shù)據(jù)進(jìn)行辨識(shí),可有效地克服以上問(wèn)題,提高辨識(shí)精度和速度。

2 數(shù)值仿真

2.1 辨識(shí)精度驗(yàn)證

采用數(shù)值仿真驗(yàn)證算法的辨識(shí)精度,具體方法為:仿真諧振子自由振動(dòng),生成4個(gè)解調(diào)量采樣數(shù)據(jù),添加檢測(cè)噪聲,并用上述算法進(jìn)行辨識(shí)。仿真使用的相關(guān)參數(shù)如表1所示。由于頻差(0.628 mrad/s)在數(shù)值上小于阻尼差(0.838 mHz),阻尼差不能忽略,傳統(tǒng)辨識(shí)方法失效,無(wú)法正確辨識(shí)頻差和頻率主軸。

表1 仿真參數(shù)

仿真中,分別在圓周角θ=0°和θ=22.5°位置進(jìn)行激勵(lì),生成2組60 s自由振動(dòng)數(shù)據(jù)用于辨識(shí)。統(tǒng)計(jì)100次仿真的辨識(shí)結(jié)果,如表2所示。辨識(shí)均值誤差和均方差均很小,頻差辨識(shí)均方差僅為0.73 μHz,頻率主軸辨識(shí)均方差僅為0.12°,阻尼差辨識(shí)均方差僅為4.60 μHz,阻尼主軸辨識(shí)均方差僅為0.05°。

表2 辨識(shí)結(jié)果統(tǒng)計(jì)

由表1、2可看出,即使在頻差小于阻尼差的條件下,本文提出的算法也能快速準(zhǔn)確地辨識(shí)頻差、頻率主軸、阻尼差和阻尼主軸等參數(shù)。

2.2 測(cè)試時(shí)長(zhǎng)的影響

仿真測(cè)試總時(shí)長(zhǎng)對(duì)兩位置法辨識(shí)精度的影響,結(jié)果如圖1所示。頻差和阻尼差的辨識(shí)均方差σ與測(cè)試時(shí)長(zhǎng)T的關(guān)系為

圖1 測(cè)試時(shí)長(zhǎng)對(duì)辨識(shí)均方差的影響

(23)

由圖1可知,增加測(cè)試時(shí)長(zhǎng)可有效地提高辨識(shí)精度。測(cè)試時(shí)長(zhǎng)增加10倍,辨識(shí)精度提高約20倍。

2.3 激勵(lì)位置數(shù)的影響

在總時(shí)長(zhǎng)120 s不變的情況下,仿真研究激勵(lì)位置數(shù)對(duì)辨識(shí)精度的影響。仿真中,激勵(lì)位置在θ=0°～22.5°均勻分布。仿真得到的辨識(shí)誤差均方差與位置數(shù)的關(guān)系如圖 2所示。兩位置法的頻差辨識(shí)精度比單位置法提高了54倍,頻率主軸辨識(shí)精度提升了41倍,阻尼差辨識(shí)精度提升了36倍,阻尼主軸辨識(shí)精度提升了45倍。隨著位置數(shù)繼續(xù)增加,辨識(shí)精度持續(xù)下降,原因是單次自由振動(dòng)時(shí)長(zhǎng)變短。

由圖2可看出,在總時(shí)長(zhǎng)不變的情況下,兩位置法的辨識(shí)精度明顯高于單位置法。

圖2 激勵(lì)位置數(shù)對(duì)辨識(shí)均方差的影響

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

3.1 實(shí)驗(yàn)平臺(tái)

基于清華大學(xué)自研的離子束修調(diào)系統(tǒng)(見(jiàn)圖3(a))驗(yàn)證算法的辨識(shí)精度。修調(diào)系統(tǒng)內(nèi)部采用平面叉指電極激勵(lì)和光纖干涉儀檢測(cè)方案,如圖3(b)所示。

圖3 離子束修調(diào)系統(tǒng)和激勵(lì)、檢測(cè)裝置

3.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

為了驗(yàn)證本文算法在頻差小于阻尼差條件下的實(shí)際性能,選擇一個(gè)阻尼差較大的諧振子,用本文的算法辨識(shí)頻差和頻率主軸,并用離子束將頻差修調(diào)至最小,用兩位置法批量進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)實(shí)驗(yàn)。

連續(xù)36組測(cè)試的結(jié)果如圖4所示。統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表3所示。諧振子的頻差約0.100 mHz,阻尼差約8.154 mHz,頻差在數(shù)值上遠(yuǎn)小于阻尼差。

表3 諧振子參數(shù)辨識(shí)結(jié)果統(tǒng)計(jì)表

圖5為單次測(cè)試數(shù)據(jù)的擬合結(jié)果。由圖可看出,變量E最大擬合誤差約0.99%,變量H最大擬合誤差約0.10%,變量R最大擬合誤差約0.92%,變量S最大擬合誤差約0.59%。參數(shù)辨識(shí)結(jié)果較好地?cái)M合了實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)。

圖5 實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)與辨識(shí)結(jié)果對(duì)比

理論上,變量H是頻率為Δω的衰減振蕩曲線,但實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)在400 s內(nèi)沒(méi)有表現(xiàn)出周期性,說(shuō)明頻差遠(yuǎn)小于2.5 mHz,進(jìn)一步印證了參數(shù)辨識(shí)結(jié)果的正確性。

綜上所述,即使在頻差小于阻尼差的條件下,本文提出的辨識(shí)算法也能快速準(zhǔn)確地辨識(shí)頻差、頻率主軸、阻尼差和阻尼主軸等參數(shù)。

4 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)傳統(tǒng)算法不能辨識(shí)阻尼差和阻尼主軸,且頻差和頻率主軸辨識(shí)精度受阻尼差限制的問(wèn)題,本文提出了一種基于變量E、H、R、S動(dòng)力學(xué)方程的半球諧振子性能參數(shù)辨識(shí)算法。仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,在頻差小于阻尼差的條件下,該算法能快速準(zhǔn)確地辨識(shí)頻差、頻率主軸、阻尼差和阻尼主軸等參數(shù)。