顧鵬程

[摘? 要] 關(guān)注學生及發(fā)展是高三復習教學的主旋律. 在復習教學中，教師應重點強化學生的數(shù)學基礎，善于通過“小而精”的練習幫助學生建構(gòu)完善的知識體系，避免機械重復造成枯燥乏味. 同時在教學中，要重視展現(xiàn)學生的思維過程，從而通過親身體驗來發(fā)展學生的思維，提升學生的能力.

[關(guān)鍵詞] 關(guān)注學生;數(shù)學基礎;思維能力

筆者在一次校內(nèi)公開課上，有幸聆聽了校內(nèi)優(yōu)秀教師關(guān)于“橢圓的方程”的復習教學，現(xiàn)呈現(xiàn)教學過程，并談幾點自己對高三復習教學的一些粗淺認識，請同行給予批評和指正！

教學實錄

1. 課前展示，發(fā)現(xiàn)問題

師：橢圓是高考的重要考點，之前重點學習過，也做過大量的練習，今天我們再重新回顧一下這部分內(nèi)容.

師：現(xiàn)在我們一起來探究一下課前小測中的幾個問題. （教師用PPT展示題1）

題1：點B，C的坐標為（3，0），（-3，0），點P到B，C兩點的距離之和為10，求點P的軌跡方程.

師：說一說你是如何求解的，遇到了哪些問題.

生1：我是用代數(shù)法求解的，設點P（x，y），依據(jù)題意得+=10，接下來移項、平方、化簡，但是越算越復雜，最終沒有求得答案.

生2：我也是用代數(shù)法求解的，通過兩次平方可以得到答案. 第一次平方后整理得=5+x，再次平方后整理得+=1. （很多人點頭贊同）

師：看來很多同學應用的都是代數(shù)法，可見大家有著超強的計算能力. 不過，代數(shù)法雖然思路簡單，但是運算過于復雜，你們是否還有其他的解決方案呢？

生3：我是利用橢圓的定義直接求解的，根據(jù)橢圓的定義并結(jié)合題設信息可知a=5，c=3，故橢圓的方程為+=1. （生3的解法給出后，其他學生恍然大悟）

師：太棒了，這樣利用橢圓的定義直接得出了答案，既節(jié)省了時間又有效避免了復雜運算可能產(chǎn)生的錯解.

師：誰來說一說橢圓的定義？（問題給出后，很多學生積極舉手，但教師選了一個未舉手的學生回答，該生準確地說出了橢圓的定義）

師：看來大家對橢圓的定義了如指掌. 橢圓定義在解題時有著重要作用，大家不僅要熟背定義，而且還要學會靈活應用. 現(xiàn)在思考一下，若將“點P到B，C兩點的距離之和為10”改為“點P到B，C兩點的距離之和為6”，此時點P的軌跡方程是什么呢？

生4：同上面一樣，是橢圓，a=3，c=3. 噢，不對. （問題給出后，學生不假思索地套用原來的解法）

師：說一說剛剛錯在哪里？

生4：我剛剛忽略了定值要大于兩點之間的距離.

師：大家再想一下，如果不用定義來求解，以上方程是否還有其他的化簡方法呢？（學生沉思）

師：確實有一定難度，之前我們常用的方法是“移項、平方”. 仔細觀察和這兩個無理式，你是否能用整體的方法來解決呢？（教師引導學生嘗試從整體出發(fā)去思考問題，便于找到化簡的突破口）

生5：可令=m，=n，根據(jù)題意得m+n=10. 又m2-n2=12x，得m=5+x，n=5-x，即=5+x，這樣兩邊平方后化簡即可求出點P的軌跡方程.

師：很好，這樣只平方一次即可求解，減少了運算量. 大家認真觀察一下，“”表達的是什么含義呢？

生6：橢圓上的點到左焦點的距離.

師：m=a+x呢？

生7：哦，我知道了，這個就是焦半徑.

師：很好，大家還記得之前我們是如何得到焦半徑的嗎？

生齊聲答：利用橢圓的第二定義. （接下來教師又指定學生敘述橢圓的第二定義）

師：很好！對于題1大家還有什么問題嗎？（學生搖頭表示沒有問題后，教師開始引導學生探究下面的問題）

師：接下來我們看題2. （教師用PPT給出題2）

題2：已知橢圓C的中心為坐標原點，橢圓C的長軸長為6，短軸長為4，求橢圓的標準方程.

師：大家看一下，這樣求解對嗎？（教師展示解題過程）

由已知得a=3，b=2，所以橢圓的標準方程為+=1.

生8：這樣求解不全面，根據(jù)已知我們知道橢圓的中心在坐標原點，但是并未指定橢圓的焦點在哪個軸上.若焦點在x軸上，則橢圓的標準方程為+=1;若焦點在y軸上，則橢圓的標準方程為+=1.

師：很好，結(jié)合題2說一說求橢圓方程有幾步.

生9：我認為有三步：①判斷橢圓焦點的位置;②求出a，b的值;③寫出橢圓方程.

師：說得很好，有些問題看似簡單，但可能存在陷阱，解題前應仔細審題，明晰步驟，這樣才能做到“會而對”.

師：接下來我們再看一下題3. （教師繼續(xù)用PPT展示題3）

題3：若方程+=1表示橢圓，求m的取值范圍.

師：我是這樣解決題3的：m-2>0，

6-m>0，于是得m∈（2，6）.

生10：不對，忽略了條件“m-2≠6-m，即m≠4”. 如果m=4，它就不是橢圓了，而是圓x2+y2=2.

師：很好，如果把題3“變一變”，該方程是否可以轉(zhuǎn)化為雙曲線方程呢？

生11：若滿足（m-2）（6-m）<0，則此方程表示雙曲線.

師：很好，請再詳細說一下.

生11：若m-2>0，

6-m<0，則它是焦點在x軸上的雙曲線;若m-2<0，

6-m>0，則它是焦點在y軸上的雙曲線.

師：很好. 圓錐曲線有很多相似或相關(guān)的知識點，學習時可以嘗試“變一變”，這樣不僅可以變成一個新的問題，還可以使知識點之間的區(qū)別與聯(lián)系變得更加清晰.

師：我們看一下最后一個問題. （教師用PPT給出題4）

題4：設P為橢圓+=1上一點，其橫坐標為2，則點P到橢圓左焦點F的距離PF=______，點P到橢圓右焦點F的距離PF=______.

師：誰來簡單地展示一下求解過程？（教師鼓勵學生板演，以展示思維過程）

生12：根據(jù)已知可得a=5，b=3，c=4，故左焦點F（-4，0），右焦點F（4，0）. 設P（2，y），將其代入橢圓方程得y=×9. 根據(jù)兩點距離公式可得PF==，同理可得PF=.

師：這個就是最終答案了嗎？

生13：可以繼續(xù)化簡，得PF=，PF=.

師：很好，不過有必要兩個都這樣計算嗎？

生14：實際上只要算出一個就可以了，例如算出PF=，則PF=2a-PF=.

生15：還可以根據(jù)橢圓的第二定義來計算，橢圓的右準線方程x=，設P到右準線的距離為d，則=e，這樣易求得PF=. 算出PF后，根據(jù)橢圓的第一定義即可求出PF.

師：對于同一個問題，我們應積極思考有沒有多種常規(guī)的方法來解決它. 這樣通過一題多解可以鍛煉我們的數(shù)學思維，提升我們的解題能力.

師：大家再思考一下，在什么情況下可以應用橢圓的定義來求解類似的問題？

當求解完問題后，教師又引導學生進行總結(jié)歸納，借助練習幫助學生回顧基礎知識和基本技能，將橢圓的定義、標準方程等知識點巧妙地融入練習，有效地避免了簡單回顧所帶來的枯燥感，使復習課堂生機勃勃.

2. 歸納總結(jié)，夯實基礎

通過以上四個題目，橢圓的定義、方程的形式以及求橢圓方程的基本方法已呈現(xiàn)，為了使知識更加系統(tǒng)化、完整化，教師給出表格讓學生填寫，內(nèi)容有標準方程、定義，頂點坐標、焦點坐標、離心率等，幫助學生通過歸納總結(jié)夯實基礎，為接下來的拓展提升奠定基礎.

3. 例題教學，拓展提升

前面的課前小測已經(jīng)幫助學生夯實了“雙基”，在例題教學階段有必要通過一些巧妙的拓展來豐富學生的解題經(jīng)驗，提高學生的解題技能.

題5：已知橢圓的中心在坐標原點，其長軸長為6，且經(jīng)過點（，），求橢圓的標準方程.

該題較為簡單，與題2相似，因此學生根據(jù)題2的解答步驟求解，即確定焦點位置后，將已知條件代入橢圓方程，求得當焦點在x軸上時，橢圓方程為+=1;當焦點在y軸上時，橢圓方程為+=1.

變式：已知橢圓C的左焦點為F（-1，0），且點P

1，

在橢圓C上，求橢圓C的標準方程.

求解本題時，教師鼓勵學生利用不同方法來完成，有的學生用待定系數(shù)法，有的學生用定義法. 不管用哪種方法，教師都讓學生板演，這樣既豐富了學生的解題經(jīng)驗，又規(guī)范了學生的解題過程，提升了學生的解題能力. 當學生完成變式的求解后，教師又提出了一個問題：“題5能否用定義法求解？”以此借助題5誘發(fā)學生深度思考定義法. 在交流中，有的學生認為變式中有“焦點”這個條件，而題5中沒有，因此題5不能用這種方法（定義法）求解;也有學生認為，結(jié)合題1的解答經(jīng)驗，可以用定義法求解，過程如下：若焦點在x軸上，設焦點為（-c，0），（c，0），根據(jù)已知可得6=+. 令m=，n=，則m2-n2=4c. 又m+n=6，得m-n=c，解得c=，于是橢圓C的標準方程為+=1. 若焦點在y軸上，可以用同樣的方法求解. 通過合作交流，學生再一次認識了典型解法.

接下來教師又列舉了其他實例，從而借助一題多解活躍了學生的數(shù)學思維，提升了學生的解題信心.

教學反思

從以上教學過程可以看出，通過“練”幫助學生鞏固了基礎知識，鍛煉了基本技能，有效培養(yǎng)了學生的“雙基”;同時教師“以生為本”，充分展現(xiàn)了學生的思維過程，借助“錯解”和“多解”豐富了學生的解題經(jīng)驗，提升了學生的思維能力，培養(yǎng)了學生的解題信心;另外，在教學中，教師將整體思想、分類討論思想、方程思想等重要的思想方法滲透其中，有助于學生更好地認識數(shù)學本質(zhì)，提升數(shù)學素養(yǎng).

現(xiàn)結(jié)合以上教學過程，筆者談幾點關(guān)于高三復習教學的認識.

1. 重情境，輕記憶

在本課教學前，教師給學生安排了課前小測，四個問題各有不同的教學目的，從不同角度檢測了學生對基礎知識的掌握情況. 從課前小測反饋來看，大多數(shù)學生只是單純地從習題的角度出發(fā)，思考如何解題，并未關(guān)注各習題之間的遞進關(guān)系，可見學生完整的認知體系并未建構(gòu)完成. 同時，通過前期的基礎檢測，教師更好地了解了學生，如知道了哪些知識點是學生已經(jīng)掌握了的，哪些知識點是學生似懂非懂的，哪些知識點是學生通過合作交流可以自我完善的，哪些知識點是需要教師重點講解的……只有知學生之所需，才能使教學更有效. 另外，教學中教師重點呈現(xiàn)學生的解題過程，幫助學生進一步建構(gòu)橢圓的知識脈絡，同時引導學生及時進行總結(jié)歸納，從而將知識與技能串成線、織成網(wǎng)，有效避免了簡單記憶和機械式訓練所帶來的瞬時效應.

2. 重整合，棄題海

在高三復習教學中，部分教師常常貪多、求全，使得課堂容量過大，造成學生學習難以深入，不知道為什么學，要學到什么程度，只是單純地為了解題而解題，但“題海無邊”.學生只有知道了學的內(nèi)容、掌握了學的方法、了解了學的目的，才能學有所獲、有所發(fā)展，教師前期制定的教學目標才能圓滿實現(xiàn). 因此，教學中教師不能貪多，要避免機械重復，通過試題精挑細選讓學生更全面、更牢固地掌握“雙基”.

在教學中，教師展示題5讓學生利用定義法和待定系數(shù)法這兩種典型的解題方法來求解，從而讓學生理解通法在解題中的重要價值. 接下來，教師又通過變式和多解引導學生尋求最佳方案，以獲得夯實基礎、優(yōu)化思維的教學效果. 另外，解題中蘊含著豐富的數(shù)學思想方法. 通過一道習題不僅強化了學生對橢圓方程的理解和把握，而且鍛煉了學生的數(shù)學思維，提升了學生的數(shù)學應用能力.

3. 重體驗，輕灌輸

在高中數(shù)學教學中，尤其在公開課教學中，部分教師為了達到某種效果只關(guān)注對教學有利的生成性資源，而對那些不利于自己教學計劃實施的生成性資源常常視而不見，這樣使得學生難以真正地融入課堂，顯然不利于教學目標的實現(xiàn). 而在本節(jié)課教學中，教師以學生為主導，充分展示了學生的思維過程，通過板演、糾錯、反思等教學活動調(diào)動了學生參與教學的積極性，讓學生在交流展示中更好地內(nèi)化了知識.

例如，在教學中，教師不僅不怕學生犯錯，而且還展示了學生的錯解過程，從而通過糾錯幫助學生理解概念，完善認知體系. 錯誤是學習過程中普遍存在的，因此在教學過程中教師要給學生一定的空間來展示錯誤，通過示錯、找錯、議錯等過程發(fā)現(xiàn)學生的認知缺陷，借助有效的修補幫助學生釋錯、改錯，以此達到完善學生認知體系、優(yōu)化學生思維品質(zhì)、磨煉學生意志的效果.

又如，在解題教學中，學生用待定系數(shù)法完成題5的求解后，教師將其變式，鼓勵學生用不同的方法去求解. 求解后，教師追問道：“題5能否用定義法求解？”基于問題學生展開了激烈的探究，其探究重點主要是題設中橢圓的焦點位置. 最終學生通過設焦點，用定義法求得了橢圓的標準方程. 這樣通過變式不僅豐富了學生的解題方法，而且通過對題5的再探究，挖掘出了問題的本質(zhì)特征，從而讓學生擁有了“會一題，通一類”的能力.

總之，在高三復習課堂中，不僅要關(guān)注學生“雙基”的落實，也要關(guān)注學生的發(fā)展. 在教學中，教師要把握好教學方向，制定好教學計劃，從而有效避免教學中的盲目性和隨機性，讓學生知道“學什么”“為何學”“如何學”，以此培養(yǎng)學生優(yōu)良的學習品質(zhì)，發(fā)揮數(shù)學的教育功能.