江蘇省南京市江寧區(qū)湯山中心小學(xué) 王玉英

復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，可以借助幾何直觀的方式變得簡明扼要，圖文并茂，有助于對解題思路的探索和對結(jié)果的預(yù)測。由于小學(xué)生的形象思維占主導(dǎo)地位，教師在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，可以借助幾何直觀，使學(xué)生對數(shù)學(xué)有一個直觀的認(rèn)識，從而化繁為簡、化抽象為具體。

通過多次觀摩同行關(guān)于乘法口訣的教學(xué)，筆者發(fā)現(xiàn)，大多數(shù)教師遵循“創(chuàng)設(shè)情境—提出問題—列出加法算式—改成乘法算式—創(chuàng)編口訣—背誦口訣”這六個環(huán)節(jié)。大多數(shù)教師在教學(xué)時因擔(dān)心學(xué)生不會編口訣又記不住，將課堂的大量時間用在編口訣、背口訣和用口訣上；而在“經(jīng)歷歸納口訣過程，理解每句口訣意義”上用時不足，甚至以教師的簡單講解代替學(xué)生的個性理解。既然小學(xué)生以形象思維為主導(dǎo)，教師不妨將幾何直觀融入乘法口訣的教學(xué)中，讓學(xué)生親身體驗從實物表征到圖形表征，再到符號表征的過程，在思維層面上構(gòu)建深度課堂。筆者在執(zhí)教“5的乘法口訣”時，進行了一些嘗試，具體如下。

一、利用雙手，開展實物直觀教學(xué)

實物直觀教學(xué)是以實際事物本身為直觀對象的教學(xué)活動?！?的乘法口訣”教學(xué)活動中，涉及5個5個計數(shù)的活動經(jīng)驗。而學(xué)生最熟悉這種經(jīng)驗，因為這與人的手部結(jié)構(gòu)密切相關(guān)。手是天然的學(xué)習(xí)材料，是數(shù)數(shù)時用到最多的工具。因此，筆者首先讓學(xué)生以猜謎語的方式引出實物教具——手，然后借助“手”開啟“5的乘法口訣”教學(xué)。這樣，學(xué)生倍感真實和親切，同時也自然合理，滲透了“數(shù)學(xué)原型來源于生活實際”的思想。

【課堂片段一】

出示猜謎語活動。教師組織學(xué)生一邊用大腦思考，一邊借助人的雙手來數(shù)出兩個5是多少（學(xué)生獨立完成）。教師趁機追問：“假設(shè)有5只手，又有幾根手指呢？”初次4人一組，自由結(jié)合，合作完成。這樣既能培養(yǎng)學(xué)生的合作意識，又使得數(shù)學(xué)幾何直觀呈現(xiàn)出來，學(xué)生的直觀思維被激活。

把具體實物直觀抽象出圖形直觀，以問題“要是沒人合作，手不夠，怎么辦呢”引出并探究驗證“5只手，又有幾根手指”，在學(xué)習(xí)單上，留下了學(xué)生思維的痕跡。

預(yù)設(shè)方案1：在手指上逐個標(biāo)出數(shù)字1，2，…， 直到25，標(biāo)完所有手指，得出結(jié)論。（見圖1）

圖1

預(yù)設(shè)方案2：標(biāo)完第一只手，學(xué)生恍然大悟，“每只手都有5根手指”，可以“按群計數(shù)”，每群有5個數(shù)， 根據(jù)5個5個計數(shù)的經(jīng)驗，數(shù)5次得到25。（見圖2）

圖2

預(yù)設(shè)方案3： 在“按群計數(shù)”的基礎(chǔ)上，發(fā)現(xiàn)“幾個5是幾”的規(guī)律，為下面的圖形表征做好鋪墊。（見圖3）

圖3

思考：做到不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展，不同的思維在課堂上根據(jù)不同學(xué)生的不同思維的呈現(xiàn)方式進行碰撞，并且讓所有的學(xué)生都能了解并吸收基礎(chǔ)知識，使學(xué)生的思維進一步形象化、可視化。

二、畫出圖形，開展幾何直觀教學(xué)

“圖形是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要幫手”，幾何直觀正是利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀對數(shù)學(xué)問題進行表征，能迅速抓住問題中的主要矛盾，充分凸顯問題的本質(zhì)，使原本模糊不清的關(guān)系變得豁然開朗、層次分明。借助幾何直觀解決問題時，教師通常先將研究對象抽象為圖形，再把對象之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化成圖形之間的關(guān)系，從而把原問題轉(zhuǎn)化成關(guān)于圖形的數(shù)量或位置關(guān)系的問題。因此，在該環(huán)節(jié)的教學(xué)中，教師首先將“手指”抽象成“小豎棒”，“一個手掌有5根手指” 表征為“5根小豎棒”并打成“一包”，進一步抽象為“一條線段”，“5只手，有幾根手指”轉(zhuǎn)化為“一條線段長度為5，5條線段長度為多少”。在問題的多元表征和轉(zhuǎn)化過程中，教師有意放慢速度，不僅能讓學(xué)生“經(jīng)歷歸納口訣過程”，還能感受幾何圖形的簡約美。

【課堂片段二】

教師根據(jù)學(xué)生的觀察和想象力抽象出手指的圖形表示，從而使學(xué)生達(dá)到從形象直觀到抽象直觀的進階。

呈現(xiàn)：

（1）用豎線段表示手指。（見圖4）

圖4

（2）一段橫線段表示5個手指分散線段的組成。打成一個“包”。（見圖5）

圖5

（3）一段橫線段表示5個手指連續(xù)線段的組成。

這些線段沒有連在一起，它們之間有空隙，那就“擠掉”空隙，讓線段“手拉手”。（見圖6）

圖6

思考：由散點到線段，再到數(shù)軸，經(jīng)歷這三個思維階梯呈現(xiàn)。點到線的思維進階，分散到連續(xù)的思維提升，使學(xué)習(xí)內(nèi)容由淺表走向深層。

根據(jù)線段條數(shù)和總長度的關(guān)系，逐步突破難點，抽象出“5的乘法”內(nèi)容。（見圖7）

圖7

三、列出算式，開展數(shù)形結(jié)合教學(xué)

數(shù)形結(jié)合是將抽象的數(shù)學(xué)語言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形相結(jié)合，包含“以形助數(shù)”（借助于形的生動、直觀性，闡明數(shù)與數(shù)之間的聯(lián)系）和“以數(shù)輔形”（借助于數(shù)的精確、嚴(yán)密，闡明形的某些屬性）兩個方面的數(shù)學(xué)思想方法。在上述手指圖和線段圖教學(xué)活動中，學(xué)生已經(jīng)獲得“形”的直觀感覺，能夠通過“數(shù)”與“形”之間的對應(yīng)和轉(zhuǎn)換來解決數(shù)學(xué)問題。接下來，學(xué)生要將這種直觀感覺轉(zhuǎn)化成精確的數(shù)量關(guān)系——加法算式和乘法算式，并編制口訣。口訣記憶時，學(xué)生不僅可以借用數(shù)的變化規(guī)律來記憶，而且可以聯(lián)想到對應(yīng)的圖形，做到以“數(shù)”化“形”、以“形”變“數(shù)”互化，實現(xiàn)“數(shù)”“形”有效結(jié)合。

圖形有很多種，除了線段， 還有符號，如圓圈、 三角形、五角星。教師可以讓學(xué)生用自己喜歡的圖形表示出1個5、2個5到5個5。有了圖形，學(xué)生可以列出對應(yīng)加法和乘法算式并編出口訣歌。教師根據(jù)探究單完善教學(xué)思維呈現(xiàn)。（見表1）

表1 加法和乘法算式、口訣探究單

學(xué)生自主探究，教師巡視，收集典型作品， 組織學(xué)生反饋。

思考：表1中同時出現(xiàn)圖形和數(shù)量關(guān)系，目的是讓學(xué)生體會“形使數(shù)更直觀，數(shù)使形更入微”。另外，表1中第一列全部空白，目的是鼓勵學(xué)生在數(shù)量關(guān)系和數(shù)學(xué)信息不變的前提下，采用多種方式畫圖。學(xué)生反饋時，教師首先評價各種圖形表征的優(yōu)缺點，找到簡單的表征方法，讓學(xué)生感受圖形的簡約美。然后，師生共同探索表中規(guī)律，從而體會5的乘法意義及使用乘法的簡潔性和口訣的趣味性。

四、運用幾何直觀解題，提升課堂教學(xué)深度

審題是合理、有效解題的第一步，也是最為關(guān)鍵的一步。而小學(xué)生由于年齡小、認(rèn)識水平有限，在審題時往往會出現(xiàn)偏差，無法把握題目的關(guān)鍵。究其根本，是學(xué)生不理解題意。在教學(xué)中，教師如果能引導(dǎo)學(xué)生借助幾何直觀對題意進行圖形化表征（如畫示意圖、畫線段圖、畫符號圖等），就能幫助學(xué)生深刻理解題意，促進學(xué)生對問題的本質(zhì)理解。抓住了問題的本質(zhì)，自然就能形成問題解決的思路。在此教學(xué)環(huán)節(jié)中，教師精心選編了若干問題。通過解決這些問題，學(xué)生不僅能鞏固“5的乘法口訣”，還能將幾何直觀思想融入解題過程，增強運用幾何直觀進行解題的自覺性。

問題1：跳5次， 能跳到幾？邊畫邊說， 再寫出乘法算式。（見圖8）

圖8

問題2：小兔子沿著繃直的繩子往前跳， 每次跳5分米， 跳了4次，先畫出線段圖，再計算一共跳了多遠(yuǎn)。

問題3：（線式排隊）小朋友們排隊，小明的前面有 4人，后面有 5人，這一隊共有多少人？

解法一：圖形表征，按位置累加。（見圖9）

圖9

加法算式：4+5+1=10。

解法二：圖形建構(gòu)，按群累乘。（見圖10）

圖10

乘法算式：5×2=10 或2×5=10。

問題4：玩轉(zhuǎn)格子圖。

出示“10×10”方格紙。

（1）畫出口訣 “四乘五” 和 “五乘五”，它們是哪種平面圖形？

（2）“2×5”和“3×5” 的長方形合并在一起變成什么圖形？“5×5”分割出“2×5”的長方形， 剩下的部分是什么樣的長方形？

（3）（變式）男生2名，女生3名，每人發(fā)5顆糖，共需幾顆糖？有25顆糖， 先分給2名男生，每人5顆，剩下的糖再分給3名女生，每人能分多少顆糖？（提示：方格紙“橫向格子”表示男/女生人數(shù)，“縱向格子”表示每人分發(fā)的糖數(shù)，將糖數(shù)和正方形個數(shù)一一對應(yīng)起來。）

思考：問題1~3 體現(xiàn)“按類累加”和“按群累乘”的思想；問題4 要求學(xué)生在“長”“寬”兩個維度上操作多個正方形，突出乘法口訣與長方形、正方形之間的關(guān)系，讓學(xué)生體會乘法計算與圖形所占方格的多少（面積）也存在關(guān)系。另外，這些圖形的合并與分割，為后續(xù)乘法分配律的教學(xué)建構(gòu)了符號模型，積累了相關(guān)活動經(jīng)驗。這4個問題的精心設(shè)計也是在“雙減”背景下的分層深度課堂練習(xí)題，凸顯層次和深度。思維是指在頭腦中思考知識，是無形的。它是智力的核心，是考察一個人智力高低的主要標(biāo)志之一。上述問題是按照由易到難編排的，當(dāng)學(xué)生借助圖形依次解決這些問題時，其思維就由圖形的初步表征（圖導(dǎo)）走向圖形的深層建構(gòu)（圖構(gòu)）。從“圖導(dǎo)”走向“圖構(gòu)”，凸顯出學(xué)生思維的飛躍、創(chuàng)造的跨越。

五、結(jié)語

幾何直觀是一種方法和思想，它不僅能幫助我們發(fā)現(xiàn)、描述所研究的問題，還能幫助我們尋求解決問題的思路，幫助我們對所得到的結(jié)果進行應(yīng)用。圖形是幾何直觀的重要載體和有效抓手。因此，在課堂教學(xué)中，教師要發(fā)揮好圖形的引思功能，指導(dǎo)學(xué)生看圖、讀圖、解圖、畫圖、構(gòu)圖。把幾何直觀融入教學(xué)，構(gòu)建學(xué)生思維逐漸發(fā)展的深度課堂，更能提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。教學(xué)中融入幾何直觀，構(gòu)建學(xué)生思維逐漸成長的深度課堂，改善學(xué)生的課堂學(xué)習(xí)，能使小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)過程順應(yīng)學(xué)生的思維成長規(guī)律，更加科學(xué)而立體地促進學(xué)生的思維發(fā)展。