榮仲　劉愛蓮

［摘? 要］ 文章嘗試通過(guò)對(duì)一道教材中課后習(xí)題進(jìn)行充分挖掘，以期廣大師生在教學(xué)與學(xué)習(xí)中能夠重視回歸課本、挖掘教材，通過(guò)“一題多解，多解歸一”理解數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)，通過(guò)“衍生類比，一題多變”提高教學(xué)與學(xué)習(xí)效率，幫助學(xué)生擺脫“題海”.

［關(guān)鍵詞］ 回歸課本；挖掘教材；知識(shí)遷移

高考命題的一個(gè)重要規(guī)律是：高考試題在課本中都能找到試題源點(diǎn). 由于高考命題的一個(gè)不變的原則是“源于課本，又高于課本”，因此在教學(xué)與學(xué)習(xí)中，師生必須重視課本知識(shí)的回顧、整理、挖掘. 本文以新人教A版必修第二冊(cè)中的一道課后向量習(xí)題作為載體回歸課本、挖掘教材，目的是讓廣大師生學(xué)會(huì)立足教材，用心領(lǐng)會(huì)教材的精髓，挖掘出例習(xí)題設(shè)計(jì)的內(nèi)在教育價(jià)值，重新認(rèn)識(shí)課本知識(shí)，進(jìn)而充分運(yùn)用、挖掘、延伸、改造，有效提高教學(xué)與學(xué)習(xí)的效率，實(shí)現(xiàn)知識(shí)整合、解法遷移，提升學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力.

回歸課本，溫故知新

課本中的例習(xí)題都是經(jīng)過(guò)編者反復(fù)論證、精心設(shè)計(jì)的，具有典型的范例作用，蘊(yùn)含著基本的解題思想和解法，具有很高的教學(xué)價(jià)值，教師教學(xué)與學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)都要注意回歸課本，溫故知新.

案例 （新人教A版必修第二冊(cè)第24頁(yè)“拓廣探索”第24題）如圖1所示，在☉C中，是不是只需知道☉C的半徑或弦AB的長(zhǎng)度，就可以求·的值？

根據(jù)向量數(shù)量積的定義，需要用向量的長(zhǎng)度來(lái)表示余弦，顯然構(gòu)造直角三角形即可，因此取弦AB的中點(diǎn)M，或者由圓心O向弦AB作垂線，則·=

2. 筆者認(rèn)為，不僅該習(xí)題的結(jié)論具有挖掘價(jià)值，而且該習(xí)題本身亦如此：與的數(shù)量積是多少？

一題多解，多解歸一

從近些年高考的內(nèi)容來(lái)看，高考注重考查學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識(shí)的深度和廣度，試題源于課本而高于課本. 因此，在日常教學(xué)中，尤其在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中，用好課本、用活課本，深入挖掘它們的知識(shí)點(diǎn)，顯得尤為重要. 筆者對(duì)例1中出現(xiàn)的邊與弦構(gòu)成的向量的數(shù)量積做了如下改編，在讀者面前展示“一題多解，多解歸一”.

評(píng)析 變式2是鄰邊的情況，由余弦定理可得與例5一樣的條件——已知三角形三邊，結(jié)合常用的面積關(guān)系可得內(nèi)切圓的半徑；接下來(lái)是“構(gòu)造垂直，分解向量”的操作方式——找切線垂直，分解向量，達(dá)到觸類旁通的效果.變式3是對(duì)邊的情況，可見外心、內(nèi)心均在此結(jié)構(gòu)中（留給讀者自己體會(huì)），即處理三角形頂點(diǎn)和外心、內(nèi)心構(gòu)成的向量與三角形的邊向量的數(shù)量積，處理的本質(zhì)都是“構(gòu)造垂直，分解向量”. 對(duì)于變式4，筆者更欣賞解法2和解法3，它們利用三角形垂心的性質(zhì)得到一些夾角的關(guān)系和一些向量的垂直關(guān)系，充分體現(xiàn)了“構(gòu)造垂直，分解向量”便于計(jì)算的作用.

本文從一類特殊向量數(shù)量積的表示及應(yīng)用談述課本中的習(xí)題潛力無(wú)限，廣大師生在教學(xué)與學(xué)習(xí)時(shí)一定要回歸課本，不要輕視課本，要提高思維深度去認(rèn)識(shí)課本.筆者對(duì)一道課后練習(xí)題的挖掘，也充分再現(xiàn)了“一題多解、多變”練思維，“多題、多解歸一”悟本質(zhì)的思想. 期望通過(guò)本文，讀者能夠所有感悟，找到正確的“回歸課本，挖掘教材”的方式. 在教學(xué)與學(xué)習(xí)時(shí)要注重回歸課本，夯實(shí)基礎(chǔ)，要吃透課本，用活課本，尤其對(duì)課本中典型的例習(xí)題要加以延伸、拓廣、變形、發(fā)散，做到舉一反三、觸類旁通. 充分利用課本例習(xí)題的價(jià)值（推廣結(jié)論，探究解法，構(gòu)建知識(shí)模塊，提煉通性通法），培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和應(yīng)變能力，提高學(xué)生的解題能力，回避“題海戰(zhàn)術(shù)”，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率.

作者簡(jiǎn)介：榮仲（1982—），本科學(xué)歷，中學(xué)高級(jí)教師，重慶市數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)競(jìng)賽委員會(huì)委員，中學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克一級(jí)教練員，重慶市高中數(shù)學(xué)青年教師優(yōu)質(zhì)課競(jìng)賽一等獎(jiǎng).