劉夢哲

摘要：以美英早期85種幾何教科書為研究對象，考察二面角在數(shù)學內(nèi)部和數(shù)學外部的應用，對其演變過程進行分析、歸納和總結(jié)，并給出教學啟示.

關(guān)鍵詞：美英早期幾何教科書；二面角的應用；演變過程；教學啟示

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》指出，數(shù)學是自然科學的重要基礎(chǔ)，并且在社會科學中發(fā)揮越來越大的作用，數(shù)學的應用已滲透到現(xiàn)代社會及人們?nèi)粘Ｉ畹母鱾€方面.在學習數(shù)學和應用數(shù)學的過程中，學生能發(fā)展數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算、數(shù)據(jù)分析等數(shù)學學科核心素養(yǎng).［1］可以說，數(shù)學應用能力已然成為基礎(chǔ)教育階段數(shù)學教學的重要內(nèi)容和目的.

二面角是立體幾何中的一個重要內(nèi)容，它是空間圖形中突出的量化指標，是空間圖形位置關(guān)系的具體體現(xiàn)［2］.二面角及其平面角之間的一一對應關(guān)系架起了平面幾何與立體幾何之間的橋梁，對于學生后續(xù)探索柱、錐、臺等基本立體圖形的面面關(guān)系起到了十分重要的作用.事實上，二面角在數(shù)學內(nèi)部及外部都有著廣泛的應用，在數(shù)學內(nèi)部中，二面角及其平面角的定義不僅用于證明點、線、面之間的關(guān)系，還使得平面角中的諸多性質(zhì)在二面角中同樣適用，而在現(xiàn)實生活中，二面角常被應用于工程、建筑及測量等領(lǐng)域，為人們的生產(chǎn)生活帶來了極大的便利.

已有教學設(shè)計中，教師多關(guān)注數(shù)學內(nèi)部的計算問題，即計算簡單幾何體中兩平面的夾角［3-4］.事實上，數(shù)學應用不等于數(shù)學解題，更重要的是將其與日常生活中的許多問題建立聯(lián)系.鑒于此，本文對19—20世紀美英幾何教科書進行考察，試圖尋找有關(guān)二面角應用的素材，為教師教學提供有益參考.

1早期教科書的選取

本文選取1819—1958年間出版的85種美英早期幾何教科書作為研究對象，以20年為一個時間段進行劃分，其出版時間分布情況如圖1所示.其中，對于同一作者再版的教科書，若內(nèi)容無顯著變化，則選取最早的版本，若內(nèi)容有顯著變化，則將其視為不同的教科書.

關(guān)于二面角應用的內(nèi)容大多直接出現(xiàn)在二面角及其平面角的定義之后，早期教科書中涉及數(shù)學內(nèi)部的應用多是以命題的方式進行呈現(xiàn)，而涉及實際生活中的應用多來自“空間中的直線和平面”“平面角和多面角”等章節(jié)的練習題中.

2數(shù)學內(nèi)部的應用

二面角及其平面角的定義不僅簡化了空間中面面關(guān)系的證明和計算，同時也將平面角的相關(guān)性質(zhì)進一步推廣延伸到二面角中.美英早期幾何教科書中關(guān)于二面角在數(shù)學上的應用問題可以分為面面垂直問題、距離問題、性質(zhì)類問題和其它問題四類.

2.1面面垂直問題

例1證明命題“如果一條直線垂直于一個平面，則任意一個過這條直線的平面都垂直于另一平面.”［5］如圖2，已知直線AB垂直于平面MN，則任意一個過直線AB的平面都垂直于平面MN.

設(shè)平面PQ過直線AB，且與平面MN交于直線CD.在面MN中作AE⊥CD，又因為AB⊥CD，所以∠BAE是二面角N-CD-Q的平面角.又因為AB⊥AE，所以面PQ⊥面MN.

例2證明命題“如果兩平面互相垂直，一條直線位于一個平面中且垂直于兩平面的交線，則這條直線與另一個平面垂直.”［6］如圖3，若面PQ⊥面MN且兩平面交于直線DQ，直線AB面PQ內(nèi)且AB⊥DQ，則AB⊥面MN.

過點B在平面MN內(nèi)作BC⊥DQ，因為AB⊥DQ，所以∠ABC是二面角P-DQ-N的平面角，因為面PQ⊥面MN，于是∠ABC=90°.由AB⊥DQ及AB⊥BC，則AB⊥面MN.

2.2距離問題

例3證明命題“二面角平分面上任意一點到兩平面的距離相等.”［7］如圖4，假設(shè)點P是二面角C-AB-D的平分面AM上一點，則點P到平面AC、BD的距離相等.

過點P作PE⊥面AC、PF⊥面BD，垂足為E、F.通過PE和PF作一平面交面AC于直線OE、交面BD于直線OF，于是AB⊥面PEF.因為AB⊥OE、AB⊥OP及AB⊥OF，則∠EOP、∠POF分別為二面角C-AB-M、M-AB-D的平面角.又因為∠EOP=∠POF、∠PEO=∠PFO=90°及OP為公共邊，所以△PEO≌△PFO，則PE=PF.

例4基于例3，如果PF=EF，則二面角C-AB-D的度數(shù)是多少；如果PF=OF，則二面角C-AB-D的度數(shù)又是多少.［8］

如圖4，因為PF=EF，則PF=PE=EF，由△PEF是等邊三角形，于是∠EPF=60°，則∠EOF=120°，即二面角C-AB-D的度數(shù)是120°.因為PF=OF，則△PFO是等腰直角三角形，故∠POF=45°，于是∠EOF=2∠POF=90°，即二面角C-AB-D的度數(shù)是90°.

2.3性質(zhì)類問題

因為二面角的度數(shù)等于其平面角的度數(shù)，因此，許多平面上角的性質(zhì)對于二面角同樣適用.表1給出了二面角的許多性質(zhì).對于表1中二面角的性質(zhì)，將二面角轉(zhuǎn)化為二面角的平面角即可完成證明，由此也出現(xiàn)了一系列的計算問題.

若兩平面相交，則對頂二面角相等.［6］

例5兩個平行平面MN和PQ被第三個平面RS所截，使得其中一個二面角的度數(shù)為27°15′30″，請尋找其它二面角的度數(shù).［11］

例6指出圖5中的相鄰二面角、對頂二面角以及兩個互補的二面角.［12］

2.4其他問題

例7是否存在一條直線KL，使得KL垂直于二面角O-AM-N的兩平面.［13］

如圖6，過點K在平面OM中作KA⊥AM，過點L在平面MN中作LA⊥AM，于是∠KAL是二面角O-AM-N的平面角.如果KL⊥面MN、KL⊥面MO，則在△AKL中有兩個直角，這顯然與事實不符，所以不存在一條直線同時垂直于二面角的兩平面.

例8證明命題“從二面角內(nèi)任何一點作兩平面的垂線，兩條垂線所夾的角等于這個二面角的補角.”［14］如圖7，過二面角M-NB-Q內(nèi)一點P，作PE⊥面MN、PF⊥面NQ，垂足分別為E、F.由例3中的證明可知AE⊥NB、AF⊥NB，則∠EAF為二面角M-NB-Q的平面角.在四邊形PEAF中，因為∠PEA=∠PFA=90°，而四邊形內(nèi)角和為360°，所以∠EAF+∠EPF=180°.

3生活中的應用

二面角的概念在實際生活中有諸多的應用，其不僅能與日常生活中許多常見的事物建立起聯(lián)系，還在工程、建筑等領(lǐng)域有著即為廣泛的應用.在85種幾何教科書中，涉及二面角在現(xiàn)實生活中的應用問題包括定義類問題、建筑問題、工程問題、操作問題四類.

3.1定義類問題

套上實際生活的外衣，本質(zhì)上依然運用二面角及其平面角的定義，可以在許多二面角的實物中找到其平面角.

例9表明打開書頁之間的二面角是通過兩頁上相對文字線之間的平面角進行測量.［12］

例10說明一扇門打開時，所經(jīng)過的二面角是通過門底邊緣運動時所經(jīng)過的平面角來測量的.［12］

例11如圖8，在旋轉(zhuǎn)門中找出①直二面角、②鄰接二面角、③互補二面角、④垂直于兩相交平面的第三個平面、⑤三個平面的公共點，其中每個平面都與另外兩個平面相交.［15］

3.2建筑問題

例12屋頂長為60英寸、寬為40英寸且與水平方向成45°角，如果太陽直射屋頂，找出屋頂陰影在地面上的區(qū)域.［5］

如圖9（a），因為太陽直射屋頂，所以屋頂陰影的長與屋頂相同，仍然是60英寸.對于屋頂陰影的寬，圖9（b）是屋頂?shù)臋M截面，延長CB交DA的延長線于點E，過點B作BF∥ED，交CD于點F.因為∠CED=∠CBF=45°及CB=40，所以BF=AD=20√2，于是屋頂陰影在地面上的區(qū)域是一個長為60英寸，寬為20√2英寸的矩形.

例13凸窗的相鄰兩面所夾二面角的度數(shù)是多少，凸窗由三個相等的直立平面部分組成，它們的底部包含一個正八邊形的三個邊.［12］因為凸窗的橫截面是一個包含三條邊的正八邊形，而正八邊形的每一個內(nèi)角均為135°，因此凸窗相鄰兩面的二面角度數(shù)是135°.

3.3工程問題

例14如果給一根鉛垂線和木工方尺，如何確定地板水平？如果給一個水平尺或水平儀，又如何確定地板水平.［16-17］使用鉛垂線可以用來檢驗平面與水平面垂直，當墻壁與水平面垂直后，運用木工方尺的一邊緊貼墻壁，其直角緊貼墻壁和地板的棱，若木工方尺的另一邊能緊貼地板，由例1的結(jié)論可知地板水平.若利用水平尺或水平儀，觀察水平儀兩次則可以確定地板是否水平，此時水平儀擺放的位置不平行.

例15木匠如何通過斜角規(guī)和量角器來確定房間相鄰兩面墻的度數(shù).［18］利用二面角的平面角的定義用鐵絲貼緊墻面，鐵絲折成的角度等于房間相鄰兩面墻的度數(shù).

3.4操作問題

例16將一張厚紙或硬紙板按圖中所示的方式切割和折疊，制作一個測量二面角的儀器（圖10）.

例17如圖11，有一個長方體鐵塊，如果將鐵絲像ABC那樣繞長方體的棱彎曲，使得∠ABC=90°，則會以何種方式彎曲鐵絲；如果繞邊緣傾斜地彎曲一根鐵絲，例如DEF，可以將它彎曲到什么角度；如果將鐵絲傾斜彎曲，就像GHI，可以將它彎曲到什么角度.

與之相類似的問題還包括：如果過二面角棱上任意一點在兩平面內(nèi)作直線，則兩直線所成平面角的度數(shù)可以從0到兩個直角，請使用房間墻壁的角落或盒子的棱予以解釋.

4二面角應用的演變

以20年為一個時間段，圖12給出了二面角應用的時間段分布情況.由圖看出，二面角在數(shù)學上的應用一直被教科書編者所青睞，在1819年開始的140年中，超過半數(shù)的教科書均有所涉及.與此同時，19世紀中葉以后，有越來越多的教科書不僅包含二面角在數(shù)學上的應用，還會加入其在實際生活方面的應用.

19世紀末20世紀初，隨著科學技術(shù)的迅猛發(fā)展，由于當時的數(shù)學課程已不能適應科學和生活需要，也不能適應數(shù)學自身發(fā)展的需要，于是“克萊因—貝利運動”悄然興起.英國數(shù)學家貝利提出“數(shù)學教育應該面向大眾”“數(shù)學教育必須重視應用”的改革指導思想；德國數(shù)學家克萊因認為，數(shù)學教育的意義、內(nèi)容、教材、方法等，必須緊跟時代步伐，結(jié)合近代數(shù)學和教育學的新進展，不斷進行改革，他提出的改革方針是：順應學生心理發(fā)展的規(guī)律，選取和排列教材；融合數(shù)學各分科，密切數(shù)學與其他學科的關(guān)系；不過分強調(diào)數(shù)學的形式訓練，應當強調(diào)實用方面，以便充分發(fā)展學生對自然和社會的各種現(xiàn)象進行數(shù)學觀察的能力；以函數(shù)概念和直觀幾何作為數(shù)學教學的核心.

此后，在1908年12月，美國數(shù)學和國家科學教師聯(lián)合會批準任命一個由15人組成的國家委員會（以下簡稱“十五人委員會”）負責幾何教學大綱的修訂.在十五人委員會關(guān)于幾何大綱的最終報告中指出：立體幾何扮演著越來越重要的角色，其為實際測量提供了一個相當廣泛的領(lǐng)域.因此，十五人委員會將學習立體幾何的目標總結(jié)為：強調(diào)并延續(xù)平面幾何的價值；提出立體幾何在測量領(lǐng)域的合理應用范圍；培養(yǎng)空間想象能力.在這兩次數(shù)學教育改革的推動下，數(shù)學課程逐步轉(zhuǎn)向注重數(shù)學的實用性和生活性，由此，20世紀以來，越來越多的幾何教科書編者會在教科書中加入關(guān)于二面角在實際生活中應用的內(nèi)容.

5結(jié)論與啟示

綜上所述，歷史上出現(xiàn)了二面角的諸多應用，其既可以用于幾何證明、計算二面角度數(shù)等數(shù)學問題之中，又可以用于測量墻體的垂直度、計算相鄰墻體夾角等生活問題之中，這些素材為今日二面角應用的教學提供了諸多啟示.

第一，以“境”培養(yǎng)學生學習數(shù)學的興趣.興趣是最好的老師，也是學生各種創(chuàng)造力、求知欲的原動力.應試教育讓許多學生覺得數(shù)學是索然無味的，而新課改背景的數(shù)學教學則要極力改變這一現(xiàn)狀.從二面角應用的教學來看，應用不能僅僅停留在簡單幾何體的計算之上，而應以學生周圍的事物為載體，例如門窗、電腦開合等，并伴隨動手操作，這樣才可以稱得上一種“有效應用”.學生涉境體味，在親身經(jīng)歷中不僅加深了對于二面角及其平面角概念的理解和記憶，更重要的是學生成為了學習的主人，提高了數(shù)學學習效率和學習的興趣.

第二，以“觀”培養(yǎng)學生的數(shù)學應用意識.想要培養(yǎng)學生的應用意識，首先則應加強教師的應用意識.在日常生活中，教師應努力成為一名細心的“觀察者”，于是教師將會驚奇地發(fā)現(xiàn)現(xiàn)實生產(chǎn)和生活中的諸多問題都與數(shù)學有關(guān)，把數(shù)學和周圍的世界緊密聯(lián)系在一起，將賦予數(shù)學新的內(nèi)涵和使命.與此同時，教師也要引導學生善于觀察，鼓勵學生提出問題并運用所學知識解決問題.因此，教師可以給學生布置“尋找身邊的二面角并進行測量”等問題，這樣做不僅給予學生自主學習的空間，還有助于讓學生體驗數(shù)學在解決實際問題中的價值和作用，增強數(shù)學應用意識.

第三，以“做”加強學生的數(shù)學應用能力.學數(shù)學就是為了用數(shù)學，這是學習數(shù)學的最終目的，而學生應用能力的培養(yǎng)正是在解決一個個數(shù)學問題中得以發(fā)展和提高.這就要求我們的課堂更加注重理論聯(lián)系實際，加強學生的數(shù)學操作活動.因此，教師可以給學生設(shè)置數(shù)學現(xiàn)實應用的情景，比如讓學生以小組為單位，分別測量門、窗、墻壁之間的夾角，學生之間集思廣益，將二面角及其平面角的定義運用于實際測量，在整個活動中不僅培養(yǎng)了學生的數(shù)學眼光和數(shù)學素養(yǎng)，還讓學生體驗到數(shù)學的魅力和價值，最終提高學生的數(shù)學應用能力.

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