許家釗

［摘? 要］ 為了發(fā)揮數(shù)學(xué)的學(xué)科特點，落實學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，教師要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷信息提取、分析、處理、整合、推斷等過程，以此提升學(xué)生數(shù)學(xué)分析和數(shù)學(xué)運算的能力；要放手讓學(xué)生進(jìn)行解題探究和解題拓展，讓學(xué)生在探究和拓展中抽象出共性，促進(jìn)數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模能力的提升；要平衡直覺想象和邏輯推理的關(guān)系，使其相互促進(jìn)，協(xié)調(diào)發(fā)展. 教師只有將“教”與“學(xué)”有機(jī)地結(jié)合在一起，才能實現(xiàn)自身的教學(xué)水平和學(xué)生的學(xué)習(xí)能力全面提升.

［關(guān)鍵詞］ 思維過程；核心素養(yǎng)；教學(xué)水平；學(xué)習(xí)能力

高三第一輪復(fù)習(xí)后，學(xué)生的“雙基”得到了穩(wěn)固提升，二輪復(fù)習(xí)正是由知識向能力轉(zhuǎn)化的黃金期. 在本輪例題教學(xué)中，教師應(yīng)關(guān)注學(xué)生的思維過程，關(guān)注解答思維的自然生成，通過有的放矢的引導(dǎo)有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng). 不過，在現(xiàn)實課堂教學(xué)中，為了實現(xiàn)“多講”“多練”，部分教師常常忽略學(xué)生的思維過程，例題講解以自身經(jīng)驗和標(biāo)準(zhǔn)答案為主，這樣的例題教學(xué)顯然難以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，實現(xiàn)解題能力的提升. 為了改變這一現(xiàn)狀，提升二輪復(fù)習(xí)的教學(xué)品質(zhì)和學(xué)習(xí)質(zhì)量，落實數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，筆者提出了幾點教學(xué)策略，僅供參考.

注重數(shù)據(jù)分析，優(yōu)化數(shù)學(xué)運算

數(shù)據(jù)分析和數(shù)學(xué)運算是學(xué)生應(yīng)具備的基本能力，它的強弱直接關(guān)系著解題效率. 眾所周知，高考試題綜合性強，信息量大，內(nèi)涵豐富，若想成功解決問題就要先從大量數(shù)據(jù)中提取出有價值的信息，繼而通過信息分析、處理、整合、推斷，形成解題思路. 但學(xué)生的數(shù)據(jù)分析和數(shù)學(xué)運算能力并不是一朝一夕養(yǎng)成的，也不是靠灌輸就能提升的，它往往需要一個漫長過程. 在教學(xué)中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生親身經(jīng)歷信息甄別、篩選、重組等過程，呈現(xiàn)學(xué)生的思維過程，從而通過巧妙的引導(dǎo)幫助學(xué)生沖破表層所設(shè)置的“迷霧”，厘清問題的來龍去脈，形成準(zhǔn)確的解題思路.

（1）求橢圓C的方程；

（2）設(shè)點P是E上的動點，且位于第一象限，E在點P處的切線l與C相交于不同的兩點A，B，線段AB的中點為D，直線OD與過點P且垂直于x軸的直線相交于點M，求證：點M在定直線上.

從學(xué)生的解答反饋來看，學(xué)生都能順利地求得橢圓C的方程為x2+4y2=1. 對于第（2）問，大多數(shù)學(xué)生感覺題設(shè)信息復(fù)雜，不知該從何下手. 為了幫助學(xué)生重拾解題信心，教師沒有直接給出解題過程，而是與學(xué)生共同分析，引導(dǎo)他們自主發(fā)現(xiàn)解題的突破口.

師：第（2）問涉及哪些幾何條件？

生1：動點P在拋物線E上，直線l是E在點P處的切線.

生2：直線l交C所得的線段AB的中點為D.

師：接下來思考一下，這些條件與哪些知識相關(guān)？

生4：用導(dǎo)數(shù)的幾何意義來研究過動點P的切線l.

生5：由切線l與橢圓C相交，應(yīng)用方程組、韋達(dá)定理求直線OD的方程.

師：很好. 不過除了應(yīng)用方程的思路外，是否還有其他思路？（學(xué)生陷入沉思）

生6：若能求出切線方程，應(yīng)該還可以運用垂徑定理求解.

師：大家分析得非常有道理，誰來簡述一下求解思路及過程呢？（教師預(yù)留充足的時間讓學(xué)生思考求解）

以上解法自然，思路清晰，既展現(xiàn)了數(shù)據(jù)分析的“成果”，又體現(xiàn)了學(xué)生的運算素養(yǎng).

師：思考一下，若適當(dāng)組合條件，能否找到其他的解答方案呢？（讓學(xué)生獨自思考）

生8：已知點D為弦AB的中點，是否可以應(yīng)用“點差法”計算呢？

解后反思 數(shù)據(jù)分析與數(shù)學(xué)運算密不可分，前者重在指引，后者重在落實，是實現(xiàn)由“理解”到“實踐”的嘗試與發(fā)現(xiàn)的過程. 通過數(shù)據(jù)分析所提取的信息可能有不同的組合方式，因此會形成不同的解題思路，產(chǎn)生不同的運算過程. 為了優(yōu)化運算過程，學(xué)生要綜合考量，對比利用不同思路解答問題的難易程度，并預(yù)判解題過程中需要突破的難點及算法的優(yōu)劣，從而合理布局，找到解題的最優(yōu)途徑，以此達(dá)到優(yōu)化運算過程，提升運算效率的效果. 例1是解析幾何運算的典范，雖然從代數(shù)角度分析更易于形成解答思路，但是運算過程煩瑣；若結(jié)合幾何特征，通過點差優(yōu)化，則更易實現(xiàn)目標(biāo). 在二輪復(fù)習(xí)中，教師應(yīng)嘗試引導(dǎo)學(xué)生從不同角度重組數(shù)據(jù)，這樣不僅可以優(yōu)化運算過程，而且能夠培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性，有助于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

關(guān)注數(shù)學(xué)抽象，深化數(shù)學(xué)建模

數(shù)學(xué)抽象是一個棄異求同的過程，即舍棄那些非本質(zhì)屬性和非本質(zhì)特征，抽取共同的本質(zhì)屬性和本質(zhì)特征，既體現(xiàn)了化特殊到一般的思維過程，又呈現(xiàn)了透過現(xiàn)象發(fā)現(xiàn)本質(zhì)的思維品質(zhì). 在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生普遍感覺數(shù)學(xué)概念、定理、公式等內(nèi)容是抽象的，是難以理解和記憶的，究其原因是數(shù)學(xué)概念、定理等大多是從大量信息中獲取、概括、抽象出的一般性結(jié)論，其所呈現(xiàn)的都是問題的本質(zhì)屬性. 在解題過程中，學(xué)生只有抓住問題的本質(zhì)，才能以不變應(yīng)萬變，找到普適性的數(shù)學(xué)思想和方法，以此提升自身的解題能力. 仔細(xì)分析數(shù)學(xué)抽象過程不難發(fā)現(xiàn)，其中含有數(shù)學(xué)建模的過程. 數(shù)學(xué)建模是重要的數(shù)學(xué)思想方法，它舍棄了對象除空間形式和數(shù)量關(guān)系外的各種性質(zhì)，保留了數(shù)學(xué)的本質(zhì)內(nèi)容，是對實際問題的高度抽象. 想要發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，教學(xué)中教師就要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力.

師：思考一下，例2的實質(zhì)是一個什么問題呢？

生9：是一個極值點偏移問題.

師：此類問題也是高考的一個重要考點. 這里的“偏移”是相對什么而言的？（學(xué)生深思）

生10：相對函數(shù)的極值點而言.

師：很好，因函數(shù)極值點左右小范圍內(nèi)的“增速”不同，使得函數(shù)圖象的對稱性被打破，是一種特殊的非對稱圖象. 如何用代數(shù)語言來表述呢？

師：很好，這樣從數(shù)與形兩個方面揭示了極植點偏移問題的特點，接下來我們?nèi)绾吻蠼饽兀?/p>

師：很好，經(jīng)過以上分析，相信大家的解答思路已經(jīng)基本形成，請大家嘗試用不同的方法完成證明.

師：分析以上求解過程，你能總結(jié)歸納出解決此類問題的策略嗎？

師：很好，其最終目的都是通過變形構(gòu)造函數(shù)，將雙變量函數(shù)換元轉(zhuǎn)化為單變量函數(shù)，建構(gòu)出齊次式.

解后反思 以上教學(xué)中，教師鼓勵學(xué)生從不同角度去分析，應(yīng)用不同策略求解，其目的不是簡單地呈現(xiàn)多種解法，而是盡可能地呈現(xiàn)學(xué)生的思維過程，展現(xiàn)不同解法的自然生成過程，將不同的解法內(nèi)化至原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，以此幫助學(xué)生積累解題經(jīng)驗，優(yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu). 同時，在解題過程中，通過對比分析、總結(jié)歸納，讓學(xué)生抽象問題共性，發(fā)現(xiàn)解題通法，如上述的極值點偏移問題，利用“消參—減元—構(gòu)造”這一共性通法求解. 借助這一數(shù)學(xué)模型，學(xué)生可以快速形成解題策略，提升解題效率.

利用直觀想象，強化邏輯推理

直觀想象、邏輯推理是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要組成部分，兩者既有獨立性，又相互交融，解題時缺一不可. 直觀想象是以知識、經(jīng)驗為依托的一種創(chuàng)新思維，其表現(xiàn)著“熟能生巧”的學(xué)習(xí)理念，是知識遷移的重要體現(xiàn)，是對所研究的數(shù)學(xué)對象的直接感知和認(rèn)識. 不過，直觀想象所獲得的猜想并不能成為最終的結(jié)論，必須有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评砗驼撟C過程. 若在解題過程中僅有直觀想象而沒有嚴(yán)謹(jǐn)論證，則這樣的解題過程是不完整的，難以體現(xiàn)直觀想象的價值. 在解題過程中，學(xué)生不應(yīng)停留在簡單的感性認(rèn)知階段，應(yīng)追求理性論證，做到每步都有理有據(jù).

例3 若函數(shù)f（x）=x2（x－2）2－ax－1+a有4個零點，則a的取值范圍為________.

師：研究函數(shù)零點問題涉及很多思路，如函數(shù)方程、等價轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等. 對于例3，你認(rèn)為用哪種思路求解更方便呢？

生14：本題若直接用解方程的思路求解，運算可能會比較復(fù)雜，不妨將其轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象交點個數(shù)的問題. 我認(rèn)為此題用數(shù)形結(jié)合的方法求解更合適.

師：分析得很有道理，大家思考一下，具體如何求解呢？（題目較復(fù)雜，教師預(yù)留充足的時間讓學(xué)生思考）

解后反思 對于同一問題，思考的方向不同，選擇的解題方法也有所不同，至于用哪種方法才會使解題過程最簡，需要直觀想象的指引. 如例3是關(guān)于函數(shù)零點個數(shù)的問題，解決此類問題往往有不同的思路，對于“如何選”需要學(xué)生借助已有經(jīng)驗先科學(xué)判斷，再通過邏輯推理進(jìn)一步驗證. 此類問題涉及轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想，包含構(gòu)圖能力、識圖能力、用圖能力，對思維的嚴(yán)謹(jǐn)性、靈活性有較高的要求，只有當(dāng)學(xué)生具備一定的綜合素養(yǎng)，才能“突破重圍”，順利解題.

核心素養(yǎng)的六大組成要素既獨立，又相互交融、相互影響，教學(xué)中教師切勿顧此失彼. 在高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中，例題教學(xué)是必不可少的，因此如何應(yīng)用典型例題來培養(yǎng)和落實學(xué)生的核心素養(yǎng)是值得教師深思的問題. “以師為主”的數(shù)學(xué)課堂是在教師的精心預(yù)設(shè)下進(jìn)行的，很多看似自然生成的過程，實則是教師“灌輸”的結(jié)果，雖然實現(xiàn)了教師所追求的“大容量、高速度”，卻沒有讓學(xué)生的學(xué)習(xí)能力得到明顯的提升，其教學(xué)是低效的. 因此，教師要變“以師為主”的教學(xué)方式為“以生為本”，要學(xué)會放手，讓學(xué)生自主探尋解題之道. 但只會解題肯定是不夠的，更重要的是能讓學(xué)生理解問題的本質(zhì)，挖掘出解決問題的通法，即學(xué)生不僅知其然，還知其所以然.

總之，在高三二輪復(fù)習(xí)中，教師要將解題主動權(quán)交給學(xué)生，充分調(diào)動學(xué)生的主觀能動性，關(guān)注數(shù)學(xué)課堂的自然生成. 同時，教師要為學(xué)生營造一個自由的、開放的學(xué)習(xí)空間，鼓勵學(xué)生多互動交流，展現(xiàn)解題過程，以此助力學(xué)生積累經(jīng)驗，完善認(rèn)知體系，提升學(xué)習(xí)效率.