黃偉杰

［摘? 要］ 數(shù)學運算既是數(shù)學教學傳統(tǒng)，同時在新高考背景下又蘊含著新的內(nèi)涵，在當下的數(shù)學教學當中必須予以高度重視. 在新高考背景下，要想培養(yǎng)學生的數(shù)學運算能力，教師有必要學懂悟透新高考精神，知道新高考對于數(shù)學運算能力的培養(yǎng)來說意味著什么；同時也必須在日常的教學當中，通過具體的教學實踐，總結(jié)出一套行之有效的數(shù)學運算能力培養(yǎng)策略. 數(shù)學運算不只是數(shù)學運算法則的運用，其背后有著復雜的心理過程，數(shù)學運算實質(zhì)上是學生運用數(shù)學語言表征內(nèi)在思維的過程.

［關(guān)鍵詞］ 新高考精神；學懂悟透；數(shù)學運算能力

當高中數(shù)學開啟新高考模式后，越來越多的省份采用了新高考模式. 這種變化對于高中數(shù)學而言，意味著新的變化與挑戰(zhàn). 作為高中數(shù)學教師，應(yīng)當認識到這種變化是在核心素養(yǎng)的背景下發(fā)生的，通過各個學科教學來發(fā)展學生的核心素養(yǎng)，通過數(shù)學學科教學來發(fā)展學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng)，讓學生經(jīng)歷數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、數(shù)學運算、直觀想象以及數(shù)據(jù)分析的過程，以讓這些數(shù)學學科核心素養(yǎng)要素能夠順利落地，成為當前高中數(shù)學教學的主要任務(wù)之一.

對于這些數(shù)學學科核心素養(yǎng)的組成要素，教師有必要進行個體分析與整體分析. 就數(shù)學運算這一要素而言，筆者注意到這既是數(shù)學教學傳統(tǒng)，同時在新高考背景下又蘊含著新的內(nèi)涵，因此在當下的數(shù)學教學中必須予以高度重視. 在新高考背景下，要想培養(yǎng)學生的數(shù)學運算能力，教師有必要學懂悟透新高考精神，知道新高考對于數(shù)學運算能力的培養(yǎng)來說意味著什么；同時也必須在日常教學當中，通過具體的教學實踐，總結(jié)出一套行之有效的數(shù)學運算能力培養(yǎng)策略.

就新高考精神而言，其實站在數(shù)學學科教學的角度來看，可以發(fā)現(xiàn)其核心就是通過題目優(yōu)化，讓學生的數(shù)學運算有一個更加具體的情境，而在這樣的情境當中，學生的數(shù)學運算能力就可以得到很好的培養(yǎng). 當然，并不是說學生經(jīng)歷了數(shù)學運算過程，學生的數(shù)學運算能力就一定能夠得到培養(yǎng)，其原因在于如果不掌握良好的策略，如果不能強調(diào)學生在數(shù)學運算過程中的主體地位，那么學生所經(jīng)歷的數(shù)學運算過程可能就只是一個低水平的重復過程，學生的數(shù)學運算能力也就無法得到可持續(xù)發(fā)展. 這自然不利于數(shù)學運算素養(yǎng)的落地，也不利于整個數(shù)學學科核心素養(yǎng)的培育. 基于這樣的思考，筆者認為可以采用比較研究的方法，對傳統(tǒng)的數(shù)學運算與新高考背景下的數(shù)學運算進行比較與辨析，從而形成準確的理解，并且探究得出有效的數(shù)學運算能力培養(yǎng)策略.

學生視角下的數(shù)學運算的理解及辨析

站在學生的角度去看傳統(tǒng)的數(shù)學運算，具有非常重要的現(xiàn)實意義. 這是因為當下的數(shù)學教學強調(diào)以學生為本，而數(shù)學運算能力說到底是學生自己的能力，只有站在學生的角度去看數(shù)學運算，才知道他們對數(shù)學運算以及對數(shù)學運算能力有著怎樣的理解與態(tài)度. 在日常數(shù)學學習中，遇到難題學生常常會說“這道題不會算”；做錯了題，則會說“題目算錯了”. 從線性邏輯的角度來看，如果能杜絕運算錯誤，那么許多學生的數(shù)學成績肯定會有很大的進步. 這是一個基本正確的判斷，之所以說是基本正確，是因為杜絕了運算錯誤后，確實可以提升學生的數(shù)學成績. 問題在于學生的運算錯誤有著各種各樣的原因，很多時候一些看似簡單的錯誤的背后，實際上蘊含著學生數(shù)學運算的缺陷. 所以筆者認為，認識高中生的數(shù)學運算能力，需要站在學生的角度去尋找制約學生數(shù)學運算能力提升的因素. 通過觀察研究與梳理，筆者得出兩點基本認識：

其一，數(shù)學運算不只是數(shù)學運算法則的運用，其背后有著復雜的心理過程.

其實不少教師都存在著這樣一種認識：數(shù)學運算就是利用數(shù)學運算法則，對可運算的對象進行加工. 應(yīng)當說，這樣的理解只是對數(shù)學運算表面現(xiàn)象的認識，實際上真正的數(shù)學運算，是一個復雜的心理過程，在具體的題目當中，學生需要通過自己的主觀判斷，尋找出參與數(shù)學運算的對象，然后進一步尋找、選擇并確定數(shù)學運算法則；在借助數(shù)學運算法則進行運算的時候，學生還要通過認知乃至元認知判斷自己的數(shù)學運算過程，以確保數(shù)據(jù)運算過程與結(jié)果是正確的.

其二，數(shù)學運算實質(zhì)上是學生運用數(shù)學語言表征內(nèi)在思維的過程.

數(shù)學運算最終呈現(xiàn)出來的結(jié)果，是用數(shù)學語言來表達的. 無論是學生自己還是教師，又或者是其他的評價者，都是通過學生數(shù)學語言運用的結(jié)果來判斷其數(shù)學運算能力的. 從信息加工的角度來看，這里有一個信息加工與輸出的過程，需要學生用準確的數(shù)學語言來描述自己的數(shù)學運算思維，只有當這兩者形成完整的匹配關(guān)系時，數(shù)學運算的結(jié)果才能真正表征數(shù)學運算的過程. 舉一個例子：

當學生遇到這道題目時，首先反映這是比較兩個正切值大小的題目，于是在大腦當中就會調(diào)用與正切值相關(guān)的知識，并且還有比較正切值大小的方法——這是數(shù)學運算最核心的環(huán)節(jié)之一，這樣才能保證學生在第一時間內(nèi)能夠下手去解決題目. 就本道題目而言，其實更多涉及正切函數(shù)的基本性質(zhì)，也就是說學生必須知道，要將正切值轉(zhuǎn)化為正切函數(shù)，然后利用正切函數(shù)的單調(diào)性來解題，只有這樣才能完成一個準確的解題過程. 本題具體的運算過程如下：

通過上面的分析以及具體的例子可以發(fā)現(xiàn)，站在學生的角度，去理解數(shù)學運算過程中的思維運用，能夠比較準確地把握學生的數(shù)學運算心理. 而如果真正達成了這一目標，那么就可以在具體的實踐當中尋找出具有極強針對性的數(shù)學運算能力培養(yǎng)策略.

新高考引導下的數(shù)學運算能力培養(yǎng)策略

綜合上述分析，在繼承傳統(tǒng)數(shù)學運算能力良好教學方法的基礎(chǔ)上，立足對學生數(shù)學運算心理的把握，進而通過具體的教學實踐去探究數(shù)學運算能力培養(yǎng)策略，并且在此過程中貫穿新高考精神，就是數(shù)學運算能力培養(yǎng)策略的理論基礎(chǔ). 而具體到教學實踐中，這一策略的理論基礎(chǔ)還可以演繹為具體的操作策略：教師研究學生的數(shù)學運算實際情況，結(jié)合新高考的要求尤其是數(shù)學運算的要求，精心選擇能夠培養(yǎng)學生數(shù)學運算能力的題目，然后讓學生獨立體驗數(shù)學運算過程，初步形成關(guān)于數(shù)學運算的認識；隨后通過合作學習、有意義的講授等方式，提升學生關(guān)于數(shù)學運算的認識，并且在后續(xù)訓練當中將這些認識進一步轉(zhuǎn)化成數(shù)學運算能力. 應(yīng)當說，對于當下的高中生而言，這樣的數(shù)學運算能力培養(yǎng)策略既具有理論上的正確性，又具有實踐上的可行性，經(jīng)得起理論與實踐的檢驗. 下面仍然通過一道題目的數(shù)學運算及教學，來闡述這一策略的價值.

例題2 在同一平面直角坐標系中，函數(shù)y=f（x）和y=g（x）的圖象關(guān)于直線y=x對稱． 現(xiàn)將y=g（x）的圖象沿x軸向左平移2個單位，再沿y軸向上平移1個單位，所得圖象是由兩條線段組成的折線（如圖1所示），則函數(shù)y=f（x）的表達式為（? ）

從數(shù)學運算能力培養(yǎng)的角度來看，這道題目對于學生來說，價值在于學生能夠認識到一道題目可以同時綜合哪些知識點，而這些知識點又可以進行哪些組合與運用，這些組合與運用又能夠從哪些角度提升自己的數(shù)學運算能力. 很顯然本題當中，兩個函數(shù)“關(guān)于直線y=x對稱”，蘊含著基本函數(shù)與圖象中心對稱的相關(guān)知識，這也就意味著學生解題時，必須調(diào)用這些知識參與數(shù)學運算. 與此同時，本題還涉及圖象平移，而圖象平移又對應(yīng)著函數(shù)當中相關(guān)的量值發(fā)生變化，學生能否認識到這一點，也是提升數(shù)學運算能力的一個重要契機.

因此對于這類題目的數(shù)學運算，教師應(yīng)當著力引導學生去思考并判斷. 比如學生獨立解題的時候，教師要觀察學生的解題過程，看看學生在數(shù)學運算的過程中有哪些可圈可點的地方，又有哪些值得注意的地方；在隨后組織學生進行合作學習以及點撥的時候，就要結(jié)合自己對這個環(huán)節(jié)的判斷，進而有針對性地進行指導.

筆者教學時觀察發(fā)現(xiàn)有些學生最初無法下手，很顯然出現(xiàn)這種問題的原因在于學生沒有尋找到正確的解題思路——本質(zhì)上就是學生沒有尋找到正確的數(shù)學運算的知識，或者說不能夠?qū)⒆约核鶅涞闹R與題目中的信息相結(jié)合. 那么幫助學生突破這一點的時候，就可以引導學生進一步閱讀題目中的信息，然后將自己認為有用的信息做個記號（從學習心理學的角度來看，實際上就是這些信息必須引起“注意”），同時再度審視自己認為不重要的信息（這是為了防止數(shù)學運算時，有用的信息不被注意）. 通常情況下學生有了這些自主努力以及自我提醒，在數(shù)學運算時就會更加顯著地自我認識——這是數(shù)學運算能力培養(yǎng)的核心，可以說只有當學生在數(shù)學運算的過程中有著強烈的、類似元認知的心理過程時，學生對數(shù)學運算的體驗才是深刻的，學生的數(shù)學運算能力培養(yǎng)也才是最有效的.

當然必須注意到的是，這個時候?qū)W生對數(shù)學運算的認識還是略顯粗糙的，教師應(yīng)當在學生產(chǎn)生這一心理后精當點評與引導，使學生模糊的認識變得清晰，讓學生的思維更具邏輯性. 只有做到這一點，才能將數(shù)學運算“潛力”變成真正的數(shù)學運算“實力”.

比如例題2的教學，筆者引導時，就特別強調(diào)從題目中的平移進行突破——這里所說的強調(diào)就是面向?qū)W生的強調(diào)，要讓學生認識到這道題目之所以看起來具有一定的難度，是因為其中存在著“平移”這一動態(tài)變化. 注意到這一變化，就能把握數(shù)學運算的核心，所以筆者引導學生認識到，只要將圖象沿y軸向下平移1個單位，再沿x軸向右平移2個單位，就可以得到如圖2所示的圖象，

事實證明，通過上述點撥，很多學生都有恍然大悟之感，他們瞬間感覺到自己對這道題目通透理解，而當學生有了這一感覺后，就意味著他們的數(shù)學運算能力得到了切實有效的培養(yǎng)和提升.

基于學生核心素養(yǎng)的數(shù)學運算能力前瞻

運算能力是思維能力和運算技能的結(jié)合，是高考考查的重點. 在新高考的背景下，數(shù)學運算能力的培養(yǎng)，無疑是高中數(shù)學教學的重中之重. 教師認識到這一重要性的同時，能夠有一套行之有效的數(shù)學運算能力培養(yǎng)策略，顯然是最為迫在眉睫的事情. 根據(jù)筆者的實踐經(jīng)驗，感覺其中最重要的就是在正確理解新高考模式下，在吃透新高考精神的前提下，確定正確的關(guān)于數(shù)學運算能力培養(yǎng)的方向.

要知道數(shù)學運算的培養(yǎng)，雖然是指向能力培養(yǎng)的，但如果忽視了對數(shù)學運算的理解，這種能力培養(yǎng)的方向與路徑都有可能發(fā)生錯誤. 筆者認為，新高考伴隨著數(shù)學學科核心素養(yǎng)，同時來到高中數(shù)學課堂上，本質(zhì)上想通過日常的課堂教學，讓學生形成更好的數(shù)學學習體驗. 就拿數(shù)學運算來說，數(shù)學運算不是簡單的數(shù)值計算，數(shù)學運算能力的培養(yǎng)也不是重復解題就能實現(xiàn)的. 讓學生在數(shù)學運算的過程中，學會從整體角度把握有關(guān)的信息，學會新舊知識的有效結(jié)合，然后通過嚴密的邏輯推理，從已知信息走向等待解答的問題，并在此過程中形成冷靜思考、嚴密運算的意識與能力，這才是數(shù)學運算能力培養(yǎng)的落腳點.

筆者認為，學生是數(shù)學運算的主體，應(yīng)當讓學生在數(shù)學運算的過程中充分表現(xiàn)，應(yīng)當努力發(fā)現(xiàn)學生在運算過程中的閃光點，然后適當放大. 比如例題2的解決，就有學生想到可用特殊點來檢驗自己的判斷，實際上這就是關(guān)于數(shù)學運算的一個重要收獲. 類似于此的閃光點可以成為學生數(shù)學運算能力提升的臺階.