俞妍

摘 要：化歸思想是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中很重要的思想，教師要善于運用自主探索，動手實踐，合作交流，從而掌握化歸思想的內(nèi)涵.化歸的關(guān)鍵在于在學(xué)生頭腦中構(gòu)建知識框架，讓學(xué)生對已學(xué)的知識融會貫通，從而化未知為已知，化繁為簡，知易求難.

關(guān)鍵詞：自主探索;動手實踐;化歸思想;發(fā)散思維

化歸思想是一種基本且重要的數(shù)學(xué)思想，普遍存在于數(shù)學(xué)解題中，例如將數(shù)學(xué)知識轉(zhuǎn)化為生活中生動形象的活動經(jīng)驗，將陌生的知識轉(zhuǎn)化為已知的熟悉的知識，又或者是將抽象的知識直觀化.“新的數(shù)學(xué)方法和概念，常常比解決數(shù)學(xué)問題本身更重要.”，我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚如是說.而教師要做的就是引導(dǎo)學(xué)生去創(chuàng)造，去實踐，尋求新方法，在豐富多彩的數(shù)學(xué)活動中，體會化歸的意義，掌握化歸的思想方法.我認(rèn)為，化歸的三段論在于：掌握內(nèi)涵、培養(yǎng)意識、付諸實踐.本文將結(jié)合蘇教版七年級下冊“多邊形的內(nèi)角和”的教學(xué)探討如何在教學(xué)中滲透化歸思想.

1 深度解讀，掌握化歸內(nèi)涵

在教學(xué)過程中滲透化歸思想，要求教師自身深度解讀教材，掌握新舊知識的聯(lián)系，構(gòu)建知識體系，明白三點：為何化歸，如何化歸，如何讓學(xué)生主動化歸.

首先對教材進行解讀，本節(jié)課主要有兩個重要的知識點：多邊形的定義以及多邊形內(nèi)角和公式的探究.在學(xué)習(xí)多邊形定義時，先讓學(xué)生回憶三角形定義，類比總結(jié)四邊形定義，自然而然教會學(xué)生用類比、化歸的數(shù)學(xué)思想.當(dāng)學(xué)生遺漏前提條件：在同一平面內(nèi)時，教師要學(xué)會讓學(xué)生動手操作，直觀地用教具展示何為在同一平面內(nèi)，從而強調(diào)，研究平面圖形時，是在同一平面內(nèi)這個前提條件下進行研究的.在學(xué)習(xí)多邊形內(nèi)角和公式之前，先帶領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)三角形內(nèi)角和是多少？如何得到的？讓學(xué)生清楚在小學(xué)里，我們是將一個三角形的三個角剪下來，頂點與頂點重合，邊與邊靠在一起，拼成了一個平角，得出“三角形的內(nèi)角和是180°”的結(jié)論.進一步提出疑問：我們能不能也將四邊形的四個角剪下來，拼拼看是多少度？讓學(xué)生動手操作，形成程序性記憶.另外，還可以通過量一量的方法，讓學(xué)生量出任意四邊形的四個內(nèi)角，把四個角度加起來，驗證四個內(nèi)角和是不是360°.拋出問題：通過量一量，拼一拼的方法只能驗證有限的幾個四邊形的內(nèi)角和是360°，那么是不是所有的四邊形內(nèi)角和都是360°呢？如何來科學(xué)地證明呢？先讓學(xué)生動手操作，自己證明，適時引導(dǎo)：四邊形內(nèi)角和我們不會求，但是三角形內(nèi)角和我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過了，同學(xué)們能不能找出他們之間的聯(lián)系？四邊形能不能分成三角形來計算內(nèi)角和呢？在教師引領(lǐng)學(xué)生用多種方法證明了四邊形內(nèi)角和之后，學(xué)生自主探究五邊形、六邊形內(nèi)角和，教師梳理思路，師生共同歸納總結(jié)出多邊形內(nèi)角和公式.化歸思想引領(lǐng)整堂課的教學(xué)活動，在化歸中獲取新知，也在化歸中學(xué)會探究.

對于七年級的學(xué)生而言，已經(jīng)具備一定的運用化歸思想學(xué)習(xí)、解題的經(jīng)驗，但還沒有形成系統(tǒng)的思維，運用而不自知.例如在學(xué)習(xí)圖形時，是從生活的具體物體中抽象出來的，再例如通過復(fù)習(xí)一元一次方程的概念，類比歸納得到了二元一次方程的概念.學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中已經(jīng)在運用化歸思想了，有了一定的基礎(chǔ)，教師要善于對學(xué)生的方法進行總結(jié)，提出化歸的內(nèi)涵，讓學(xué)生明白化歸思想在數(shù)學(xué)中的普遍性和實用性，認(rèn)識到已經(jīng)多次運用化歸思想解決問題，并且促使其能夠在今后的學(xué)習(xí)中主動去運用化歸思想.

2 巧妙引導(dǎo)，培養(yǎng)化歸意識

數(shù)學(xué)思想不是生拉硬套，在深度解讀教材以及學(xué)情分析之后，教師要合理安排教學(xué)活動，讓學(xué)生在教學(xué)活動中體會并運用化歸思想解決問題.托馬斯·胡德曾言：“一分鐘的思考抵過一小時的嘮叨.”數(shù)學(xué)思想方法的滲透在于將課堂還給學(xué)生，重視學(xué)生的主體地位，使之成為教學(xué)活動的中心，自主探究領(lǐng)會.而教師要做的就是合理安排活動，并引導(dǎo)其有目標(biāo)、有方向地進行探究.

【片段一】

回顧復(fù)習(xí)三角形定義，類比總結(jié)四邊形定義，學(xué)生容易忽略一個前提：在同一平面內(nèi).教師請一位學(xué)生上來一起拼一個四邊形（拿出提前準(zhǔn)備好的四把尺子）.學(xué)生拿兩把尺子擺好，教師拼上另外兩把，放在一個平面內(nèi).教師提問學(xué)生這是不是一個四邊形，接著將尺子向前折起一定角度，提問學(xué)生這還是不是四邊形？從而教師引導(dǎo)：探究平面圖形要在同一平面內(nèi).并請學(xué)生試著總結(jié)出多邊形的定義.

這個過程旨在讓學(xué)生通過動手實踐，以及復(fù)習(xí)舊知，得到多邊形的定義，從宏觀上認(rèn)識多邊形，在學(xué)生腦海中形成關(guān)于圖形與幾何的知識框架.在這里，通過類比、歸納，初步滲透化歸思想，讓學(xué)生有一定的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，了解到需要運用舊知來解決新的問題，用已學(xué)的知識解決未知的問題.

【片段二】

通過復(fù)習(xí)，喚醒學(xué)生的舊知：三角形內(nèi)角和為180°，接著給出幾個四邊形，讓學(xué)生量一量他們的四個內(nèi)角，再將他們加起來，計算出每個四邊形的內(nèi)角和.通過量角器測量，學(xué)生發(fā)現(xiàn)這些四邊形的四個內(nèi)角加起來都是360°，由此得到猜想：四邊形內(nèi)角和為360°.教師提問：同學(xué)們還記得小學(xué)是如何得到三角形內(nèi)角和的嗎？學(xué)生能夠回憶起當(dāng)時剪紙，把三個角剪下來，拼一拼.拼成了一個平角.教師引導(dǎo)學(xué)生模仿這種探究方法，也將四邊形的四個內(nèi)角剪下來，拼在一起，看看能拼成什么角？

學(xué)生在動手操作過程中，發(fā)現(xiàn)四個角剪下來剛好拼成了一個周角，學(xué)生已知周角是360°，從而進一步認(rèn)為四邊形內(nèi)角和就是360°.

這時，教師總結(jié)并引導(dǎo)：分別通過量一量，拼一拼的方法初步證明了這些四邊形的內(nèi)角和是360°，那是不是所有四邊形的內(nèi)角和都是360°呢？接下來老師給出一個任意的四邊形，如圖1所示如何證明一下它的內(nèi)角和是不是360°呢？同學(xué)們思考一下，能不能和已知的幾何圖形的內(nèi)角和聯(lián)系在一起呢？將證明方法寫下來，并與同桌討論，看看誰能想得又快又多.

學(xué)生1：連接AC.

連接AC以后就把四邊形的兩個內(nèi)角∠A和∠C分別分成了∠DAC+∠BAC，以及∠BCA+∠DCA，則四個內(nèi)角加起來就是（∠D+∠DAC+∠DCA）+（∠B+∠BAC+∠BCA）=180°×2=360°.

教師適當(dāng)鼓勵并總結(jié)：很好，這里該生將四邊形ABCD的兩個內(nèi)角∠A和∠C轉(zhuǎn)化為了△ACD和△BCA的內(nèi)角，從而將這個四邊形的內(nèi)角和轉(zhuǎn)化為了兩個三角形的內(nèi)角和.給出如下表格：

教師提問：還有其他的證明方法嗎？學(xué)生2回答：在AB上取一點E，連接DE、CE.（如圖3所示）

該生將四邊形分成了三個三角形.這時，四邊形ABCD的內(nèi)角和等于△ADE、△DEC、△BEC的內(nèi)角和減去∠AEB.

教師總結(jié)：在四邊形的任意一條邊上隨機取一個點，與兩個角連線后進而將其分割為三個三角形，將四邊形的內(nèi)角和問題轉(zhuǎn)化為三個三角形的內(nèi)角和再減去一個平角的問題，得到四邊形內(nèi)角和為180°×3-180°=360°.補充表格：

教師進一步引導(dǎo)：同學(xué)們思考一下，還有沒有別的方法分割？上面分別將四邊形分別分成了兩個、三個三角形，那能不能分成四個三角形？

學(xué)生3：在四邊形內(nèi)部取了一點O，連接AO、BO、CO、DO.

這里他將四邊形ABCD的內(nèi)角和轉(zhuǎn)化為了△AOB、△COD、△AOD、△BOC的內(nèi)角和減去一個周角.

教師總結(jié)：可以看到分成的這四個三角形的內(nèi)角和加起來剛好是四邊形的內(nèi)角和加一個周角，所以只要將這四個三角形的內(nèi)角和加起來再減去一個周角就可以得到四邊形ABCD的內(nèi)角和.完善表格如下：

拋出問題：以上通過多種方法，實際上是不是分別在四邊形的邊上、頂點、內(nèi)部取點，將四邊形分成了若干個三角形？那同學(xué)們思考一下，可否在四邊形的外部取一點，也來試著證明一下四邊形的內(nèi)角和為360°呢？

學(xué)生動手操作并思考過后，教師提問：四邊形的內(nèi)角和是不是△COD、△AOD、△BOC的內(nèi)角和加起來呢？學(xué)生可以知道還要減去∠BAO、∠ABO、∠AOB，而三角和加起來剛好是△AOB的內(nèi)角和.這時就將要求的四邊形ABCD的內(nèi)角和轉(zhuǎn)化為了三個三角形的內(nèi)角和，再減去一個三角形的內(nèi)角和.

接下來教師運用幾何畫板演示分別在四邊形頂點、內(nèi)部、邊上、外部取點的過程，在學(xué)生頭腦中留下一個生動直觀的動態(tài)過程.

以上教學(xué)片斷，注重學(xué)生探索的自主性，由教師引導(dǎo)，學(xué)生以“將四邊形拆分轉(zhuǎn)換成若個三角形來看，將原本不能解決的四邊形內(nèi)角和問題轉(zhuǎn)化成學(xué)過的三角形內(nèi)角和問題”為目標(biāo)探索.在學(xué)生尋找解題方法的過程中，教師僅僅作為一個引路人，總結(jié)者，同時將課堂還給學(xué)生.給予學(xué)生啟發(fā)，讓學(xué)生自主探索學(xué)習(xí)，成為教學(xué)活動的主體和推動者.由此自發(fā)地感受并運用化歸思想，形成程序性記憶，并掌握它.

【片段三】

我們一起探究了四邊形內(nèi)角和，運用多種方法取點，將四邊形內(nèi)角和轉(zhuǎn)化為了三角形內(nèi)角和的問題.那么同學(xué)們能不能用同樣的方法，分割圖形，并由此計算出五邊形、六邊形、n邊形的內(nèi)角和呢？

學(xué)生在畫圖操作過程中，發(fā)現(xiàn)可以將五邊形分割成三個三角形，從而得到五邊形內(nèi)角和為180°×3=540°，同樣地，用分割轉(zhuǎn)化的方法，得到六邊形、七邊形的內(nèi)角和分別為180°×4=720°，以及180°×5=900°，從以上例子中找到規(guī)律：多邊形內(nèi)角和等于（邊數(shù)-2）×180°，因此可以總結(jié)公式：n邊形內(nèi)角和為180°×（n-2）.

鑒于以上關(guān)于四邊形內(nèi)角和的探究活動，學(xué)生已經(jīng)形成了運用化歸思想，將多邊形內(nèi)角和轉(zhuǎn)化為三角形內(nèi)角和問題的思維模式，在自主探究中，容易想到將五邊形、六邊形等多邊形分割成若干個三角形，從而求得多邊形內(nèi)角和.整堂課由化歸聯(lián)結(jié)，讓學(xué)生體會化歸思想的用處，并運用到以后的學(xué)習(xí)中去.

3 野蠻生長，注重化歸實踐

數(shù)學(xué)思想的滲透在于讓學(xué)生自主體驗，讓學(xué)生成為課堂的主人意味著教學(xué)活動可能不能完全按照教師的教學(xué)設(shè)計進行，學(xué)生可能會有一些出乎教師意料的想法，教師不能因為要按照設(shè)計好的活動進行教學(xué)而忽略的學(xué)生的想法，否則學(xué)生會在一次次的忽略中淡化自主探索的精神，變得缺少思考，完全機械地跟著教師走.相反，教師需要強化他們的想法，鼓勵他們勇于探索，讓課堂活起來.

【片段四】

教師對于四邊形內(nèi)角和探究的設(shè)計是：分別在四邊形頂點、邊上、內(nèi)部、外部取點，轉(zhuǎn)化為三角形內(nèi)角和的問題.但是在下去巡視的時候，看到一名平時不愛發(fā)言的女生用了一種教師沒有想到的方法，雖然課堂的時間所剩不多，但教師還是選擇鼓勵那位學(xué)生，讓她上來給大家講一講她的證明方法.教師用鼓勵的話語說道：這位同學(xué)平時不愛說話，很少發(fā)言，但老師看到今天她用了一種與眾不同的方法來證明，老師覺得很好，想讓她來給大家展示一下她的方法，同學(xué)們鼓鼓掌鼓勵鼓勵她.

這位學(xué)生有了一點自信，回答：我延長AD、BC交于E.那么∠ADC=∠E+∠ECD，∠BCD=∠E+∠EDC，這兩個角都是△ECD的外角.這時，教師鼓勵她：很好，你用到了三角形外角的知識，接著怎么做呢？

學(xué)生回答：∠A+∠B+∠ADC+∠BCD

=（∠A+∠B+∠E）+（∠EDC+∠E+∠ECD）

=180°×2

=360°.

教師總結(jié)該生實際上是將一個四邊形的內(nèi)角和轉(zhuǎn)化成兩個三角形的內(nèi)角和.表揚她在無形之中運用了化歸思想，將四邊形的內(nèi)角和轉(zhuǎn)化為了三角形的內(nèi)角和來解決問題.

整堂課從多邊形的概念，到運用多種方法證明四邊形內(nèi)角和為360°，再到類比歸納出多邊形內(nèi)角和公式，以圖形的分割為主線，以化歸的數(shù)學(xué)思想為暗線，串聯(lián)起了整堂課的內(nèi)容，本節(jié)課始終圍繞已知的三角形知識，來探究得到多邊形的知識.本節(jié)課是一堂探究課，定位在于讓學(xué)生發(fā)散思維，多參與，多

討論，教師只是充當(dāng)引導(dǎo)者、總結(jié)者的角色.在活躍的探究氛圍下，學(xué)生積極配合，甚至提出教師沒有想到的方法，教師也沒有為了趕進度而忽略學(xué)生的奇思妙想，做到了讓學(xué)生成為課堂的主人，在學(xué)生動手操作，自主歸納，合作交流中激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣，同時感受、運用化歸等數(shù)學(xué)思想方法，并能體會這些方法的妙處，做到會用、巧用、主動去用.好的課堂是生成的課堂，一堂活力的數(shù)學(xué)課應(yīng)該讓學(xué)生的思想野蠻生長，如此才能在數(shù)學(xué)世界里大放異彩.

化歸思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中有著普遍的運用，教師在滲透化歸思想的過程中要抓住三段論，首先教師要深度解讀教材，熟悉知識框架，掌握化歸內(nèi)涵，接著培養(yǎng)學(xué)生的化歸意識，讓學(xué)生能夠主動想到去運用化歸的思想方法去解決問題，最后付諸實踐.熟練掌握化歸三段論，可以讓教師教學(xué)，以及學(xué)生學(xué)習(xí)、解題事半功倍.

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