葛小麗

摘 要：人教版八年級(jí)教材在分式方程學(xué)習(xí)的最后，安排了一類“特殊”的分式方程的應(yīng)用問題，這類應(yīng)用問題中除了要設(shè)出的未知數(shù)x之外，還含有其它的字母表示一些已知數(shù).這類問題在探究規(guī)律或其它學(xué)科（如物理）的公式探究與運(yùn)用中也比較常見，將問題與變式“留白式”呈現(xiàn)，能夠培養(yǎng)學(xué)生的概括能力，促進(jìn)學(xué)生深刻理解并掌握這類問題的解題策略.

關(guān)鍵詞：分式方程應(yīng)用題；留白式呈現(xiàn)；概括能力

教師在備課時(shí)需要先深刻理解教學(xué)內(nèi)容，隨后才是設(shè)計(jì)教學(xué)過程與教學(xué)活動(dòng)，包括選編或改編必要的練習(xí)進(jìn)行鞏固、反饋.那么，對(duì)于習(xí)題課教學(xué)，我們?cè)趥湔n時(shí)應(yīng)該如何理解教材上的例題呢？怎樣提升例題的教學(xué)效益？在最近一次南通市初中數(shù)學(xué)教研活動(dòng)中，筆者有機(jī)會(huì)執(zhí)教“分式方程的應(yīng)用問題”習(xí)題課，對(duì)一道教材例題的教學(xué)有了更加深入的思考，本文筆談對(duì)這道例題的深刻理解，并給出教學(xué)設(shè)計(jì)，提供案例研討.

1 對(duì)教學(xué)內(nèi)容的深刻理解

例1 某次列車平均提速vkm/h.用相同的時(shí)間，列車提速前行駛skm，提速后比提速前多行駛50km，提速前列車平均速度是多少？

深刻理解：這道例題以列車提速為背景，速度、時(shí)間、路程之間的基本關(guān)系并不是學(xué)生的理解難點(diǎn)，等量關(guān)系可由問題中“相同的時(shí)間”獲得.當(dāng)設(shè)提速前速度為xkm/h，可列出方程sx＝s+50x+v，這里得到分式方程，其真正難點(diǎn)在于例題中使用字母v，s表示已確定的值，需要將其視為已知數(shù)，最終的求解結(jié)果用含這些字母的式子來表示.在之前的分式方程及解法學(xué)習(xí)中，學(xué)生并沒有遇到過這類分式方程.所以，教學(xué)時(shí)引導(dǎo)學(xué)生初步感受并學(xué)會(huì)“主元意識(shí)”非常關(guān)鍵.事實(shí)上，在七年級(jí)學(xué)習(xí)一元一次方程的解法時(shí)，也曾遇到形如“nx＝l2，其中n，l為已知數(shù)”的一元一次方程，在開展含字母作為已知數(shù)的分式方程解法教學(xué)時(shí)，可以將七年級(jí)曾遇到過的含有字母作為已知數(shù)的一元一次方程作為舊知引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)回顧，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)內(nèi)容在七、八年級(jí)的前后一致.此外，在研究很多規(guī)律（公式）問題（包括其它學(xué)科，如物理）時(shí)，學(xué)生也接觸過不少用字母表示已知數(shù)的等式或方程，可見提高這類問題的解題教學(xué)質(zhì)量是很重要的.

2 解題教學(xué)設(shè)計(jì)

2.1 復(fù)習(xí)舊知

解下列方程：

（1） nx-l2＝0（其中n，l為已知數(shù)）；

（2） 300x＝300+50x+30.

2.2 例題練評(píng)

例2 某次列車平均提速30km/h.用相同的時(shí)間，列車提速前行駛300km，提速后比提速前多行駛50km，提速前列車平均速度是多少？

【設(shè)計(jì)意圖】這是基于上文提到的“教材例題”而改編的鋪墊式問題，呈現(xiàn)例題時(shí)可以使用PPT的“漸次呈現(xiàn)”動(dòng)畫功能，即例題中的“30，300，50”先“留白”，在學(xué)生發(fā)現(xiàn)“數(shù)據(jù)不全”時(shí)，教師再漸次給出3個(gè)數(shù)據(jù)，而這些數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)著“復(fù)習(xí)舊知”中的方程（2），讓學(xué)生分析題意、設(shè)出未知數(shù)、列出“方程（2） ”，可以節(jié)約出“重復(fù)”解方程的時(shí)間.

【變式1】某次列車平均提速vkm/h.用相同的時(shí)間，列車提速前行駛skm，提速后比提速前多行駛50km，提速前列車平均速度是多少？

【設(shè)計(jì)意圖】“變式1”對(duì)應(yīng)著“教材例題”，將“例題”的“留白”再換成字母v，s，保留數(shù)據(jù)“50”，圍繞“變式1”進(jìn)行解題過程的講評(píng)，包括結(jié)合實(shí)際意義，強(qiáng)調(diào)一些表示已知數(shù)的字母的取值范圍；還有，因?yàn)榱谐龅氖欠质椒匠?，要?qiáng)調(diào)學(xué)生有檢驗(yàn)的意識(shí).

【變式2】某次列車平均提速vkm/h.用相同的時(shí)間，列車提速前行駛skm，提速后比提速前多行駛akm，提速后列車平均速度是多少？

【設(shè)計(jì)意圖】“變式2”再次“一般化”，將“例題”的“留白”再換成字母v，s，a，“變式2”可以直接看出答案，不需要再給出完整過程.從例題、變式1再到變式2，體現(xiàn)了由特殊到一般，讓學(xué)生體會(huì)到表達(dá)問題時(shí)，用字母不僅可以表示未知的（數(shù)）量，還可以表示已知數(shù)（量）.并且讓學(xué)生知道在今后在其它學(xué)科也會(huì)經(jīng)常遇到這種含有字母表示已知數(shù)的方程或公式，如果學(xué)生已具有其它學(xué)科中的相關(guān)經(jīng)歷，可以安排學(xué)生交流他們?cè)谄渌鼘W(xué)科中遇到的類似問題.

2.3 同類練習(xí)

同類練習(xí)：兩個(gè)小組同時(shí)開始攀登一座hm高的山，第一組攀登速度是第二組的a倍，并比第二組早tmin到達(dá)頂峰，則兩組的攀登速度各是多少？

【設(shè)計(jì)意圖】這道同類練習(xí)的情境由上面的列車提速問題，改為兩個(gè)小組登山；等量關(guān)系由之前的“相同的時(shí)間”也變成了兩組到達(dá)頂峰用時(shí)相差“tmin”.這些都是學(xué)生在審題時(shí)需要辨明的.列出的分式方程中仍然含有一些表示已知數(shù)的字母.在求解這類分式方程之后還需要結(jié)合實(shí)際意義進(jìn)行必要的檢驗(yàn).

2.4 小結(jié)回顧

小結(jié)問題1：本課中哪種類型的分式方程給你留下了較深的印象？解這類分式方程，你積累了怎樣的經(jīng)驗(yàn)？

小結(jié)問題2：列分式方程解應(yīng)用題有哪些關(guān)鍵步驟？在小組內(nèi)結(jié)合具體例子說說你們的理解.

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生在以上兩個(gè)“小結(jié)問題”的引導(dǎo)下更加精準(zhǔn)、高效地進(jìn)行回顧小結(jié)，避免使用一些“空泛”的小結(jié)問題（如這節(jié)課你學(xué)到了什么？這節(jié)課你感悟到了什么思想方法？）.

布置作業(yè)：一輛汽車以akm/h的速度由A地駛往B地，然后再以bkm/h的速度返回，求汽車往返A(chǔ)，B兩地的平均速度.

【設(shè)計(jì)意圖】可設(shè)汽車往返兩地的平均速度為xkm/h，A，B兩地之間的路程為Skm，列出方程2Sx＝Sa+Sb，解出x＝2aba+b.解題的關(guān)鍵在于不但要設(shè)出未知數(shù)x，還需要設(shè)出兩地之間的距離S，但這里的S“設(shè)而不求”（當(dāng)然，也有學(xué)生將A，B兩地之間的路程視為“單位1”），在解關(guān)于x的分式方程時(shí)，可以“約掉”S，從而用含a，b的式子表示未知數(shù)x.學(xué)生的練習(xí)情況可有效反饋本課教學(xué)目標(biāo)是否達(dá)成.

3 教學(xué)立意的進(jìn)一步闡釋

3.1 “留白式”出示學(xué)習(xí)內(nèi)容，激發(fā)學(xué)生探索未知的興趣

教師在備課時(shí)應(yīng)根據(jù)課型、教學(xué)內(nèi)容、學(xué)生情況等因素對(duì)課堂留白進(jìn)行預(yù)設(shè).^［1］上文課例中，并沒有提前印發(fā)“導(dǎo)學(xué)案”，而是將一些題組與變式以PPT動(dòng)畫留白的方式漸次呈現(xiàn)，讓學(xué)生對(duì)本課將要學(xué)習(xí)的內(nèi)容充滿期待，激發(fā)他們探索未知的興趣.事實(shí)上，如果提前將本課所學(xué)內(nèi)容（主要是習(xí)題）全部印制在“導(dǎo)學(xué)案”上，學(xué)生在拿到“導(dǎo)學(xué)案”后，就會(huì)出現(xiàn)不少優(yōu)秀學(xué)生在這節(jié)課中常常“埋頭做題”，如果教師不安排他們講解或上臺(tái)板演，他們往往只是“自我練習(xí)”，偶爾抬頭核對(duì)一下自己的答案與教師講評(píng)結(jié)果是否一致.而“留白式”出示教學(xué)內(nèi)容，使得全體學(xué)生都在研究結(jié)束一個(gè)問題之后，對(duì)后續(xù)問題充滿想象和期待.

3.2 從特殊到一般呈現(xiàn)題組，促進(jìn)學(xué)生概括出解題策略

涂榮豹指出，解題學(xué)習(xí)中某些解題策略可以通過經(jīng)驗(yàn)式概括而獲得，共同特征是解決這類問題的具有一般意義的規(guī)律.^［2］上文課例聚焦主題，關(guān)注一類含有字母表示已知數(shù)的分式方程，這類分式方程的模型可以出現(xiàn)在很多現(xiàn)實(shí)生活中，為了提供解法鋪墊，教學(xué)設(shè)計(jì)的邏輯是“從特殊到一般”呈現(xiàn)題組.從教學(xué)效果來看，學(xué)生對(duì)研究本課內(nèi)容充滿興趣，所學(xué)內(nèi)容掌握得也很好.順便指出，我們并沒有在教學(xué)設(shè)計(jì)或PPT課件中標(biāo)明“從特殊到一般”之類標(biāo)簽式備注，因?yàn)樽非篌w現(xiàn)或滲透數(shù)學(xué)思想與方法的解題教學(xué)，并不都需要以“貼標(biāo)簽”的方式出示，而是在整節(jié)課的學(xué)程推進(jìn)中體現(xiàn)《紅樓夢(mèng)》的藝術(shù)特色——草蛇灰線、伏脈千里.本質(zhì)上說，數(shù)學(xué)思想方法是一種“隱性知識(shí)”，也應(yīng)該以“潤(rùn)物無聲”的“暗線”進(jìn)行布局或預(yù)設(shè).

參考文獻(xiàn)：

［1］ 蔡甜甜，劉國(guó)祥，寧連華.數(shù)學(xué)課堂留白藝術(shù)的理論探析與實(shí)踐反思［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào).2018，12（6）：29-32.

［2］ 涂榮豹.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的概括［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2004，13（1）：17-22.