門桐宇 王桂麗 郭凌霄

摘 要 核心素養(yǎng)是我國新一輪基礎(chǔ)教育課程改革的基本理念。本文以“含參數(shù)不等式恒成立問題”為例，通過回顧展望、問題引領(lǐng)、變式探究、反思深化等四個(gè)環(huán)節(jié)實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)，促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)發(fā)展，并提出促進(jìn)深度學(xué)習(xí)的教學(xué)策略：聚焦課標(biāo)，把握關(guān)鍵教學(xué)內(nèi)容，深度挖掘數(shù)學(xué)思想；啟發(fā)問題引領(lǐng)，變式問題層層遞進(jìn)，促使學(xué)生深度思考，體會(huì)數(shù)學(xué)思想方法；引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思學(xué)習(xí)，布置啟發(fā)性作業(yè)；營(yíng)造民主、平等、合作的學(xué)習(xí)氛圍，培育學(xué)生大膽設(shè)想、合理質(zhì)疑的心理環(huán)境。

關(guān)鍵詞 深度學(xué)習(xí) 教學(xué)策略 數(shù)學(xué)思想 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 含參數(shù)不等式恒成立問題

作者簡(jiǎn)介：門桐宇（1996—），女，遼寧朝陽人，北京景山學(xué)校二級(jí)教師，碩士，研究方向：數(shù)學(xué)教育；王桂麗（1969—），女，遼寧朝陽人，朝陽市第九中學(xué)教師，大學(xué)本科，研究方向：理科教學(xué)；郭凌霄（1995—），女，山東濱州人，北京景山學(xué)校二級(jí)教師，碩士，研究方向：數(shù)學(xué)教育。

基金項(xiàng)目：本文系北京市東城區(qū)“十四五”時(shí)期教育科學(xué)規(guī)劃2022年度課題“基于情境的高中生數(shù)學(xué)問題提出能力的年級(jí)差異研究”（課題編號(hào)：DCYB2022032）的階段性研究成果。

核心素養(yǎng)是我國新一輪基礎(chǔ)教育課程改革的基本理念。發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)既需要教育理論研究，又需要教學(xué)實(shí)踐跟進(jìn)。將理論研究與實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)共同作用于課堂教學(xué)，才能夠更好地促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)發(fā)展。深度學(xué)習(xí)是學(xué)習(xí)者認(rèn)知、思維、情感、價(jià)值觀全面參與、全身心投入的活動(dòng)，是相比于有意義學(xué)習(xí)、探究學(xué)習(xí)等更高程度的一種學(xué)習(xí)方式。深度學(xué)習(xí)強(qiáng)調(diào)“在教師的指導(dǎo)下，學(xué)生圍繞具有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)主題，全身心投入、積極參與、體驗(yàn)成功、獲得發(fā)展的有意義的學(xué)習(xí)過程”[1]。在這個(gè)過程中，學(xué)生積極主動(dòng)地參與到學(xué)習(xí)活動(dòng)中，逐漸掌握學(xué)科的核心知識(shí)與結(jié)構(gòu)，把握知識(shí)的本質(zhì)，認(rèn)識(shí)蘊(yùn)含的思想方法，形成積極的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)、正確的價(jià)值觀念，成為基礎(chǔ)扎實(shí)又極具獨(dú)立性、創(chuàng)新性、批判性的學(xué)習(xí)者。深度學(xué)習(xí)是學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)的重要途徑[2-4]。教與學(xué)的一致性表明，學(xué)生真正意義上的深度學(xué)習(xí)，需要建立在教師的深度指導(dǎo)和引導(dǎo)的基礎(chǔ)上[5]。為達(dá)成學(xué)生的深度學(xué)習(xí)，教師的課堂教學(xué)應(yīng)具有明確的教學(xué)目標(biāo)，能夠及時(shí)發(fā)現(xiàn)學(xué)生問題并進(jìn)行調(diào)整，營(yíng)造民主、平等、合作、探究的學(xué)習(xí)氛圍[1]。

導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)問題的重要工具，利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)、不等式問題是高中數(shù)學(xué)教學(xué)難點(diǎn)之一?！昂瑓?shù)不等式恒成立問題”是導(dǎo)數(shù)研究專題之一，是深度學(xué)習(xí)理論實(shí)踐的良好載體，同時(shí)也是深化思想、形成能力、發(fā)展核心素養(yǎng)的良好載體。故本文以含參數(shù)不等式恒成立問題為例，探討如何在導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用中讓學(xué)生經(jīng)歷深度學(xué)習(xí)，逐步形成高階思維，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

一、基于深度學(xué)習(xí)的教學(xué)實(shí)踐

（一）教材分析與內(nèi)容理解

“含參數(shù)不等式恒成立問題”內(nèi)容安排在人教版普通高中教科書《數(shù)學(xué)》（選擇性必修·第二冊(cè)）第五章“一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用”之后，一方面深化利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)問題的思想和方法，另一方面圍繞代數(shù)論證的主線，深入理解數(shù)形結(jié)合思想在導(dǎo)數(shù)解題中的價(jià)值。課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)導(dǎo)數(shù)應(yīng)用部分的要求是能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求某些函數(shù)的極值、最值，體會(huì)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性極值、最值之間的關(guān)系等。

對(duì)于含參數(shù)不等式問題通常有兩個(gè)理解角度：（1）從數(shù)的角度，若參數(shù)能夠分離，則轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題處理；若參數(shù)不能夠分離，或者分離后剩下形式過于復(fù)雜，則適當(dāng)整理不等式，通過對(duì)參數(shù)的取值范圍進(jìn)行分類討論求解。（2）從形的角度，不等式反映兩個(gè)函數(shù)圖象關(guān)系，參數(shù)使得函數(shù)圖象是動(dòng)態(tài)變化的，這需要尋找臨界位置、利用圖象的變化規(guī)律等進(jìn)行合理“猜想”，然后討論求解。解決這類問題所涉及的“函數(shù)與方程”“化歸與轉(zhuǎn)化” “分類討論”“數(shù)形結(jié)合”等數(shù)學(xué)思想方法對(duì)鍛煉學(xué)生的綜合解題能力、培養(yǎng)思維的靈活性和創(chuàng)造性都有著很大的幫助。

（二）學(xué)生情況

學(xué)生已經(jīng)系統(tǒng)地學(xué)習(xí)了函數(shù)的圖象與性質(zhì)及導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)，對(duì)于導(dǎo)數(shù)的概念和幾何意義等有了一定理解認(rèn)識(shí)。學(xué)生已經(jīng)了解解決恒成立問題的思想和方法；能夠利用導(dǎo)數(shù)相關(guān)知識(shí)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值以及最值等，有利用導(dǎo)數(shù)探索函數(shù)圖象性質(zhì)的意識(shí)；可以解決一些有關(guān)函數(shù)問題。學(xué)生已經(jīng)具備一定分類討論意識(shí)、轉(zhuǎn)化意識(shí)和數(shù)形結(jié)合意識(shí)，具備一定的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力、邏輯推理能力，但思維的靈活性有待提升。

（三）教學(xué)目標(biāo)

1.通過利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性和最值的過程，初步掌握含參數(shù)不等式恒成立問題的特征。

2.通過利用導(dǎo)數(shù)研究含參不等式恒成立問題，感受等價(jià)轉(zhuǎn)化的意義，培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想，提升運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)解決函數(shù)問題的能力。

3.通過經(jīng)歷問題的探究過程，提升思維的靈活性和嚴(yán)密性，發(fā)展直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算及邏輯推理等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。

（四）教學(xué)過程

環(huán)節(jié)一：回顧展望—溫顧知新，引發(fā)思考

問題1：學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)前，如何研究函數(shù)問題的？

[生]根據(jù)定義研究函數(shù)單調(diào)性和奇偶性；根據(jù)不等式研究函數(shù)最大值和最小值；或者數(shù)形結(jié)合研究函數(shù)的性質(zhì)。

[師]學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)之后，函數(shù)的研究發(fā)生了哪些變化？

[生]對(duì)于比較復(fù)雜的函數(shù)，可以利用求導(dǎo)得到單調(diào)性、極值、最值，還有函數(shù)增長(zhǎng)的速度都可以通過導(dǎo)數(shù)得到，畫出函數(shù)的簡(jiǎn)圖。

[師]通過導(dǎo)數(shù)可以解決單調(diào)性、極值、最值、切線等問題，進(jìn)而明確函數(shù)的性質(zhì)，解決問題。另外，導(dǎo)數(shù)可以解決一些方程、不等式等問題，這使得研究函數(shù)問題的范圍得以拓寬。本節(jié)課聚焦一類問題進(jìn)行研究。

設(shè)計(jì)意圖：回顧舊知，通過設(shè)置啟發(fā)性問題促使學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)問題方面的價(jià)值。并明確本節(jié)課的主題：利用導(dǎo)數(shù)解決一類函數(shù)問題。

環(huán)節(jié)二：?jiǎn)栴}引領(lǐng)—問題引例，明確方向；提出問題，大膽猜想

例題：求函數(shù)[y=ex-x]的單調(diào)區(qū)間和最值。

問題1：若最小值為1，對(duì)應(yīng)什么樣的不等關(guān)系？如何從圖象上理解？

[生][?x∈R]，[ex-x≥1]，由不等式可以反映圖象之間的位置關(guān)系，函數(shù)[y=ex-x]的圖象恒在[y=1]的圖象上方，如圖2所示。

問題2：對(duì)不等式進(jìn)行等價(jià)變形，得到什么形式？如何從圖象角度理解不等關(guān)系？

[生][?x∈R]，[ex≥x+1]，若從形的角度理解，即[y=ex]圖象恒在[y=x+1]圖象的上方，且存在交點(diǎn)。

問題3：動(dòng)手畫一畫圖象，還能發(fā)現(xiàn)什么？

[生]自主作圖，經(jīng)過計(jì)算可發(fā)現(xiàn)，[y=x+1]恰為[y=ex]在點(diǎn)（0，1）處的切線方程，也即[y=x+1]圖象為[y=ex]圖象的一條切線，如圖3所示。

設(shè)計(jì)意圖：引例旨在讓學(xué)生回顧利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的基本思路，問題2引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)過等價(jià)變形，不等式兩側(cè)變?yōu)槭煜さ暮瘮?shù)，若從圖象角度理解不等式，則可將問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象之間的上下位關(guān)系。問題3讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)圖象特殊性：相切。三個(gè)追問旨在讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)不等式與圖象之間的關(guān)聯(lián)，讓學(xué)生感受數(shù)與形之間的關(guān)聯(lián)，積累從形的角度理解代數(shù)問題的基本經(jīng)驗(yàn)，在面對(duì)函數(shù)問題時(shí)有新視角。同時(shí)得到不等關(guān)系：[?x∈R]，[ex≥x+1]，為后續(xù)變式問題做鋪墊。

[師]經(jīng)過上述討論發(fā)現(xiàn)，不等式與圖象之間存在關(guān)聯(lián)。若讓直線“動(dòng)”起來，如上下平移，與曲線會(huì)形成什么樣的位置關(guān)系？又會(huì)得到怎樣的不等關(guān)系？

問題4：添加參數(shù)可以刻畫運(yùn)動(dòng)變化。描述直線[y=x+1]的上下平移可在截距位置上添加參數(shù)，變?yōu)閇y=x+a]，此時(shí)會(huì)得到一些位置關(guān)系。你能用數(shù)學(xué)語言描述這些位置關(guān)系嗎？能結(jié)合此前習(xí)題，提出一些可解的數(shù)學(xué)問題嗎？

[生]若直線向下平移，則恒在曲線下方；若向上平移，則與曲線有兩交點(diǎn)。

[師]通過上述問題討論，可以做如下拓展、思考：

（1）相等關(guān)系類：若[y=ex]與[y=x+a]圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，求[a]取值范圍；求證：當(dāng)[a>1]時(shí)，方程[ex=x+a]或[ex-x=a]有兩個(gè)實(shí)根等。

（2）不等關(guān)系類：若[?x∈R]，[ex≥x+a]恒成立，求[a]取值范圍等含參數(shù)不等式類問題；

（3）拓展類：提出改變參數(shù)的位置；

[生1]參數(shù)還可以加在直線斜率處，此時(shí)直線繞一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，可得到與[y=ex]圖像的位置關(guān)系。

[生2]固定直線，將參數(shù)加在[ex]前，此時(shí)指數(shù)函數(shù)圖象進(jìn)行伸縮變換，可得到與定直線間的位置關(guān)系。

[生3]變?yōu)閇y=eax]。

[師]通過變換參數(shù)位置，得到本節(jié)課重點(diǎn)研究的三個(gè)含參數(shù)不等式問題。

設(shè)計(jì)意圖：通過形的變化感知數(shù)的改變。學(xué)生經(jīng)歷數(shù)與形的不斷轉(zhuǎn)化，深化方程、零點(diǎn)、不等式問題的圖象表示，感受數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想；發(fā)現(xiàn)問題并用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行描述，發(fā)展學(xué)生的思維靈活性，積累用數(shù)學(xué)語言描述問題的基本經(jīng)驗(yàn)；學(xué)生自主提出本節(jié)課需要解決的三個(gè)問題，明確本節(jié)課的目標(biāo)，讓學(xué)生有了參與感，使得課堂氣氛活躍，有利于學(xué)生深度參與到課堂中。

環(huán)節(jié)三：變式探究—解決問題，感受思想

在教師引導(dǎo)下，學(xué)生提出了很多可解的數(shù)學(xué)問題。本節(jié)課聚焦含參數(shù)不等式恒成立問題，選擇參數(shù)分別添加在直線截距、直線斜率、曲線前，探究分別從圖象與代數(shù)兩個(gè)角度解決問題的方法。選擇三個(gè)變式的原因如下：首先從圖象上分別對(duì)應(yīng)平移、旋轉(zhuǎn)與伸縮變化，在難度上由低到高；其次在代數(shù)求解過程涵蓋了含參數(shù)不等式恒成立的幾種常見處理方法，故選擇這三類問題作為后續(xù)的研究對(duì)象。

[生1]從形的角度觀察不等式，是一條定直線與一條動(dòng)曲線圖象的上下關(guān)系，而曲線可以看成是指數(shù)函數(shù)圖象經(jīng)過伸縮變換得到。當(dāng)[a<1]時(shí)，顯然圖象與直線存在交點(diǎn)，故參數(shù)取值范圍為[a≥1]，如圖5所示。

[生2]代數(shù)論證可以對(duì)[a]的取值進(jìn)行分類討論：

設(shè)計(jì)意圖：變式1、2難度相對(duì)較低，有了引例與問題提出活動(dòng)的鋪墊，學(xué)生可以從形的角度直接利用幾何直觀獲得結(jié)論；若從代數(shù)角度證明，可以分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為已知函數(shù)最值問題求解，或者對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論得到結(jié)果。感受含參數(shù)不等式恒成立問題的一般研究思路，體會(huì)分類討論、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，發(fā)展直觀想象、邏輯推理等數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

設(shè)計(jì)意圖：變式3的解決與此前問題解決不同，其難點(diǎn)在于解集并非區(qū)間，而只有一個(gè)數(shù)，如果直接代數(shù)論證，則需要說明當(dāng)且僅當(dāng)[a=1]時(shí)結(jié)論成立，其他情況下均不成立，這種逆向思維對(duì)學(xué)生要求較高；這時(shí)如果結(jié)合圖象分析，通過幾何直觀直接發(fā)現(xiàn)結(jié)論，則后續(xù)的證明會(huì)有一定的方向。讓學(xué)生感受含參數(shù)不等式恒成立問題的基本處理辦法，體會(huì)方法的選擇會(huì)因題而異。深化圖象在研究函數(shù)問題中的重要作用，體會(huì)“先猜后證”的方法，感受分類討論、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法，發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、邏輯推理等數(shù)學(xué)素養(yǎng)。本題是對(duì)一道模擬題進(jìn)行等價(jià)變形之后得到，改編目的是方便串聯(lián)幾個(gè)變式問題。解決后出示原題，意圖在于向?qū)W生傳達(dá)先對(duì)題目進(jìn)行等價(jià)變形，可以適當(dāng)簡(jiǎn)化問題。

環(huán)節(jié)四：反思深化—總結(jié)深化，提升思想

通過前面學(xué)習(xí)，同學(xué)們對(duì)含參數(shù)不等式恒成立問題有了一定的了解，結(jié)合下面練習(xí)進(jìn)行思考。

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)的重要標(biāo)志之一在于能否進(jìn)行總結(jié)與反思。教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容與學(xué)習(xí)過程進(jìn)行總結(jié)與反思，一方面回顧運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決含參數(shù)不等式問題的思想和方法，從整體上建構(gòu)知識(shí)體系，感受數(shù)學(xué)思想方法；另一方面回顧在學(xué)習(xí)過程中出現(xiàn)的問題，強(qiáng)化解決方法。

三、促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)的教學(xué)策略

（一）聚焦課標(biāo)，把握關(guān)鍵教學(xué)內(nèi)容，深度挖掘數(shù)學(xué)思想

深度學(xué)習(xí)是不局限于表層的學(xué)習(xí)，促進(jìn)深度學(xué)習(xí)的教學(xué)也需要向內(nèi)挖掘，更接近教學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，從而達(dá)成促進(jìn)學(xué)生高階思維形成的目的。這就需要教師以課程標(biāo)準(zhǔn)為依據(jù)，對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行深度分析，包括對(duì)關(guān)鍵教學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)理解與數(shù)學(xué)思想方法的深度挖掘。數(shù)學(xué)思想方法被認(rèn)為是對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容和所用方法的本質(zhì)理解[6]，學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想方法有助于對(duì)知識(shí)本質(zhì)的理解和遷移，有助于學(xué)生逐步發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，形成高階思維。

（二）啟發(fā)問題引領(lǐng)，變式問題層層遞進(jìn)，促使學(xué)生深度思考，體會(huì)數(shù)學(xué)思想方法

變式問題以問題串的形式呈現(xiàn)，伴隨啟發(fā)性問題引領(lǐng)，會(huì)使得學(xué)習(xí)內(nèi)容層層遞進(jìn)，結(jié)構(gòu)完整，主線清晰，易于學(xué)生構(gòu)建自己的知識(shí)框架，形成清晰的邏輯體系，有助于學(xué)生深度學(xué)習(xí)的發(fā)生。本課時(shí)用一個(gè)引例，三個(gè)變式問題串聯(lián)而成，部分問題還可作為學(xué)習(xí)任務(wù)呈現(xiàn)，使得學(xué)生在交流合作中深度參與進(jìn)課堂。同時(shí)，三個(gè)變式問題涵蓋含參數(shù)不等式恒成立問題的幾種主要處理辦法，會(huì)使得形成的知識(shí)與思想方法系統(tǒng)化，有助于知識(shí)與方法的遷移[7]，形成高階思維能力，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，從而達(dá)到深度學(xué)習(xí)的目的。

（三）引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思學(xué)習(xí)，布置啟發(fā)性作業(yè)

深度學(xué)習(xí)的意義之一在于學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)的方法。學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)的一個(gè)重要標(biāo)志體現(xiàn)在完成學(xué)習(xí)任務(wù)后學(xué)生是否可以自主地進(jìn)行總結(jié)與反思。這不僅包括對(duì)知識(shí)內(nèi)容、思想方法的整合，還包括對(duì)自己在問題解決過程中表現(xiàn)的回顧與反思。本課時(shí)在活動(dòng)后安排整理與回顧環(huán)節(jié)，學(xué)生對(duì)本節(jié)課的知識(shí)與方法及在解題中出現(xiàn)的錯(cuò)誤進(jìn)行反思，從而達(dá)到深刻理解的目的。本節(jié)課的作業(yè)由同類型不等式同構(gòu)得到，由學(xué)生自己提出并完成。

（四）營(yíng)造民主、平等、合作的學(xué)習(xí)氛圍，培育學(xué)生大膽設(shè)想、合理質(zhì)疑的心理環(huán)境

深度學(xué)習(xí)需要學(xué)生的主動(dòng)參與。教師要潛移默化地培養(yǎng)學(xué)生敢于質(zhì)疑、勤于對(duì)話交流、善于反思總結(jié)的品質(zhì)。通過啟發(fā)性問題，激發(fā)學(xué)生質(zhì)疑驅(qū)動(dòng)力，促進(jìn)學(xué)生問題解決的欲望，促使學(xué)生深入到學(xué)習(xí)環(huán)境中去；通過問題提出環(huán)節(jié)，讓學(xué)生大膽設(shè)想，合理質(zhì)疑。最后選擇幾個(gè)問題作為接下來研究的對(duì)象，讓學(xué)生感受到擁有“話語權(quán)”，師生間交流更加自由順暢，提升學(xué)生的課堂參與度。

[參 考 文 獻(xiàn)]

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[2]崔友興.基于核心素養(yǎng)培育的深度學(xué)習(xí)[J].課程·教材·教法，2019，39（2）：66-71.

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[7]肖凌戇.從數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)走向數(shù)學(xué)深度教學(xué)：以“圓錐曲線探索性問題”為例[J].數(shù)學(xué)通訊，2020（24）：7-11.

（責(zé)任編輯：姜顯光）