李英紅

摘 要：建模是應用數(shù)學建模分析、解決實際問題的數(shù)學思想，在高等數(shù)學教學過程中融入數(shù)學建模思想，有助于學生將實際問題抽象為數(shù)學問題，鍛煉學生綜合運用已知數(shù)學思想和方法的能力。本文在分析學生學習實情的基礎上，探討高等數(shù)學教學過程中融入數(shù)學建模思想的意義，從在數(shù)學概念教學中滲透建模思想、創(chuàng)設建模背景情境、開展項目化建模探究活動、加強模型檢驗和修改四個方面，論述在高等數(shù)學教學過程中融入數(shù)學建模思想的策略，以供相關教育人士參考。

關鍵詞：概念教學；建模思想；高等數(shù)學

中圖分類號：G64? ? ? ? ? 文獻標識碼：A? ? ? ? ? 文章編號：1673-9132（2023）20-0006-03

DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2023.20.002

數(shù)學建模以實際問題為依據建立數(shù)學模型，并求解數(shù)學建模，再以結果為依據解決實際問題。作為一種常見的數(shù)學教學方法，數(shù)學建模思想常被用于高等數(shù)學教學環(huán)節(jié)，能夠幫助學生體驗學習數(shù)學知識的樂趣，感受數(shù)學建模的魅力，簡化學習數(shù)學知識的難度。因此，教師需要結合高等數(shù)學教材內容以及學生的實際學情，以建模的方式引導學生學習，并在實踐練習等環(huán)節(jié)著力滲透建模概念，以便提高學生學習數(shù)學知識的能力。

一、在高等數(shù)學教學中應用數(shù)學建模思想的價值

數(shù)學是工科類大學的一門公共課，高等數(shù)學能夠訓練學生的思維素養(yǎng)，尤其是在當前素質教育的大背景下，如果依舊使用傳統(tǒng)層面的教學模式，并不利于激發(fā)學生學習數(shù)學知識的興趣。而通過既有的數(shù)學教學技術對數(shù)學進行建模，能夠在數(shù)學理論知識與數(shù)學實際問題之間構架一座溝通的橋梁。教師可以將教學的關注點放在課后實驗方面，并在教學過程中融入建模思想，通過建模的方式解決數(shù)學問題。在了解學生真實的學習情況以及分析學生的數(shù)學理論認知能力的前提下，在高等數(shù)學教學中融入數(shù)學建模思想的意義主要有以下三個方面。

（一）有利于激發(fā)學生探究高等數(shù)學的興趣

新時期的高等數(shù)學教學追求調動學生自主學習的熱情。數(shù)學建模思想具有悠久的歷史，涉及的知識面非常廣泛，同時建構模型的過程也極具趣味性，數(shù)學建模能夠激發(fā)學生探究數(shù)學知識的自主意愿。為了便于學生學習，教師可以將涵蓋數(shù)學建模內容的數(shù)學文化資料，如歐幾里得幾何、牛頓萬有引力定律等傳遞給學生，促使學生接觸更多數(shù)學建模的光輝典范。在研究復雜的數(shù)學問題時，教師也可以引導學生聯(lián)系問題背景進行模型假設、建立和求解，促使復雜問題變得簡明易懂，從而同步強化學生探究高等數(shù)學的興趣和信心［1］。

（二）有利于培養(yǎng)學生綜合運用數(shù)學知識技能的能力

學生邁入高等數(shù)學學習階段之后，面對的學習內容日益艱深，非?？简瀸W生整合運用已有知識技能的能力。數(shù)學建模從本質上來說，就是將各種知識以創(chuàng)意性方式相關聯(lián)，以培養(yǎng)學生靈活運用數(shù)學知識的能力，讓學生將學習的關注點從概念性內容轉向解題。如在進行模型假設時，教師可以引導學生根據建模的目的和實際對象的特征，聯(lián)系已有的數(shù)學知識經驗簡化問題，用數(shù)學符號、公式、程序、表格、圖形等對數(shù)學問題作出恰當、合理的模型假設，從而發(fā)展學生綜合運用數(shù)學知識的意識和能力。

（三）有利于促進學生高效解決實際問題

開展高等數(shù)學教學的根本目的是讓學生在解決實際問題的過程中把各種數(shù)學知識技能學以致用，融入數(shù)學建模思想旨在簡化解決實際問題的難度。即使看起來完全不同的問題，實則其內里的數(shù)學模型都是相同或相似的，在高等數(shù)學教學過程中融入數(shù)學建模思想，對促進學生高效解決實際問題大有裨益。如在高等數(shù)學教學中，教師可以根據具體的數(shù)學概念或定理引入相關的建模實例。比如，在講授極值定理時，教師就可以借助磁盤的最大存儲量、優(yōu)化設計會議室等建模實例，幫助學生運用極值定理解決生活中類似的最優(yōu)化問題，讓學生感知建模知識的實用價值，自然能夠增強學生的求知意愿［2］。

二、在高等數(shù)學教學中融入數(shù)學建模思想的策略

（一）數(shù)學建模思想與高等數(shù)學概念的關系

學習數(shù)學知識要求學生具有基本的計算能力，同時應用性強、邏輯性強、抽象性強也是高等數(shù)學的固有特點。學習高等數(shù)學知識需要從理解數(shù)學概念入手，并注意讀懂題意，但是部分學生并沒有讀題思路，難以理解數(shù)學問題。學生要理解后續(xù)專業(yè)課程中遇到的名詞、符號等，尤其是相較于初、高中時期的數(shù)學知識，高等數(shù)學知識的抽象性更強，增加了學生讀題的難度。同時，學生在理解概念時更渴望了解概念在實際問題中的原型，這樣學生認知數(shù)學概念的難度會降低，也能無形中體會數(shù)學知識的內在含義。所以，教師需要將建模思想與數(shù)學概念相結合，建模思想是以數(shù)學思想體現(xiàn)事物本質，在數(shù)學概念形成的過程中融入建模思想，讓學生體驗這個過程，這對幫助學生掌握數(shù)學概念、領會數(shù)學精髓大有裨益。教師可以通過學生熟悉的數(shù)學實際問題或數(shù)學模型吸引學生主動思考，然后引導學生用建模的方式探索數(shù)學概念的形成過程，從而促使學生有效運用建模思維，同時透徹理解數(shù)學概念的來龍去脈。

例如，在講授定積分概念時，教師就可以出示有關定積分概念的建模問題引例：如何求曲邊梯形的面積？提出問題的同時，教師在電子白板上展示曲邊梯形的圖片，學生交流之后正確列出曲邊梯形的面積公式，教師繼續(xù)設問引導：“能否將這個建模問題轉化為一個和式的極限？”學生思考之后認為可行，并求出和式極限值，教師在電子白板上出示對應的函數(shù)圖像，結合圖像講解和式極限值可以稱之為函數(shù)區(qū)間上的定積分。教師出示定積分f（x）dx提問：“這個定積分在函數(shù)圖像上表示什么？”學生回答：“表示x軸上方圖形面積與x軸下方面積之差?！币源诉_到通過建模理解積分概念的目的。為了幫助學生認知概念，教師可以引入第二個學生熟悉的建模問題示例：如何求勻變速直線運動的路程？有了之前的建模鋪墊，學生通過討論很快得出結論：假設函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上有界，在（a，b）中任意插入n個分點，把（a，b）分成n個小區(qū)間，求出每個小區(qū)間的長度，將長度乘以速度就是這個問題的模型。要想得到總路程的精確值，還需要將小區(qū)間無限細化，使小區(qū)間的長度都趨于零。教師認同學生的結論之后，引導學生聯(lián)系建立的模型以及對應的函數(shù)圖像總結、歸納定積分的幾何意義及概念，幫助學生認知函數(shù)的可積條件，進而通過數(shù)學建模理解數(shù)學概念［3］。

（二）創(chuàng)設與建模問題相關的實際背景情境

高等數(shù)學課程看似復雜，但是卻與實際生活密切相關，很多建模問題在現(xiàn)實生活中都能找到應用實例，所以學生關注數(shù)學理論知識的同時，也應該重視知識的來源及其應用。融入數(shù)學建模思想單憑講授概念是無法達成的，教師必須將建模問題與現(xiàn)實生活緊密聯(lián)系起來，讓學生通過生活原型理解建模內涵，促使學生通過實際背景尋找建模問題原型。教師還應該注意結合實際生活背景開展建模，引導學生探討和研究背景內容，并以數(shù)學實例為依據提取數(shù)學模型，以便提高學生的數(shù)學知識總結能力，凸顯數(shù)學建模的教學價值。

在創(chuàng)設實際背景情境時，教師應該根據課程中具體的建模問題，為學生列舉現(xiàn)實生活中的實際例子，搭配展示一些背景資料，引導學生結合實例討論學習，建構對應的數(shù)學模型；還可以啟發(fā)學生聯(lián)系自身的生活體驗，列舉更多的生活實例，教師再因勢利導引入新課程模型，以便達到融合數(shù)學建模思想的最佳效果。如在教學導數(shù)時，導數(shù)模型從本質上來說涉及生活中的變化率問題。教師創(chuàng)設實際背景情境時，就可以在電子白板上展示某地一段時間內房價漲跌的折線統(tǒng)計圖，引導學生觀察折線和數(shù)據的變化，分析規(guī)律列出對應的公式，學生完成之后教師提問：“這個實例屬于什么問題？”學生作答：“變化率問題?！苯處熢賳枺骸罢埓蠹一仡櫳罱涷灪退鶎W知識，指出生活中還有哪些類似的變化率模型？”學生交流之后列舉：物體的自由落體運動，股票、基金在某一段時間內的漲跌情況，溫室效應引起全球變暖等。借助生活問題調動學生學習的積極性，再趁熱打鐵引出變速直線運動的瞬時速度模型，引導學生探討質點在時刻t0的瞬時速度。學生根據模型問題和實際背景，學習用平均變化率刻畫快慢速度的建模方法。這樣通過創(chuàng)設實際背景情境，學生就能真切體會客觀世界中變化快慢不同的現(xiàn)象，有效吸收導數(shù)概念和建模思想［4］。

（三）組織開展項目化建模學習

教師除了以潛移默化的方式給學生滲透數(shù)學建模思想之外，還應該著重鍛煉學生自主建模的能力，促使學生形成用建模思想分析和解決問題的習慣。項目化教學具有較強的自主性，是調動學生自主建模的有效方式，教師應該根據課程的知識點和學生發(fā)展建模能力的需要設計開展項目化建模探究活動，給學生發(fā)布建模項目的內容、目的和要求等，組織學生合作參與建構模型和解決問題，從而強化學生實踐應用數(shù)學建模思想的能力，具體教學策略如下。

設計開展高等數(shù)學項目化建模探究活動時，教師應該根據課程要點為學生出示建模項目的問題、背景資料，促使學生掌握項目對象的各種信息，然后出具建模項目的具體要求，組織學生按照要求合作開展項目化建模探究活動，教師期間要給予必要的點撥和幫扶，促進學生順暢完成建模項目、解決實際問題。如在教學函數(shù)最值時，教師就可以將森林救火問題作為建模項目的探究問題，在電子白板上出示對應的函數(shù)式和函數(shù)圖像，同時提出建模項目的要求：請聯(lián)系建模項目問題的實際背景，在函數(shù)圖像上比較各函數(shù)值，找出函數(shù)閉區(qū)間的最大值和最小值，然后在函數(shù)圖像上標出全部極值可疑點及其函數(shù)值，求出區(qū)間端點處的函數(shù)值，完成模型建立之后再代入函數(shù)式的具體數(shù)據，計算模型的所有參數(shù)。學生參與建模項目探究活動時應該做好建模的準備工作，以數(shù)學語言描述問題背景，學生通過討論簡化函數(shù)式、提煉函數(shù)式的閉區(qū)間之后，對閉區(qū)間的最值作出建模假設、在假設的基礎上，學生求出區(qū)間端點處的函數(shù)值，并把極值可疑點和函數(shù)值添加到函數(shù)圖像上。在這個環(huán)節(jié)中，教師適時提問：“大家是如何確定極值可疑點的呢？”學生作答：“比較區(qū)間端點處的函數(shù)值，其中最大的就是最大值可疑點，反之，最小的是最小值可疑點?！苯又?，學生按照項目要求的指示，把函數(shù)式中的數(shù)值代入函數(shù)圖像模型，計算得出關于數(shù)學模型的所有參數(shù)，并用最終的計算結果解答森林救火問題。這樣通過項目化的數(shù)學建模教學引導方式，能夠為學生營造一個完整的數(shù)學建模過程以及解決實際問題的流程，提高數(shù)學建模思想與高等數(shù)學課程融合的效率［5］。

（四）加強引導學生檢驗和修改數(shù)學模型

高等數(shù)學是一門追求嚴謹性的學科，在數(shù)學建模的過程中，部分數(shù)學模型并不是一次成型的。由于邏輯分析和計算失誤，有些數(shù)學模型會出現(xiàn)與實際情形不吻合的情況，需要進一步校驗和修改。檢驗和修改模型是重要的建模思想，但是卻容易被學生忽視，致使最終的解題結果出錯。因此，在滲透數(shù)學建模思想時，教師必須根據具體的建模探究內容，加強引導學生檢驗和修改數(shù)學模型，提升數(shù)學模型的準確性和適用性，培養(yǎng)學生形成嚴謹、審慎的建模習慣。

教師應該立足具體問題和建?；顒樱趯W生完成模型建立和模型分析之后，指導學生將模型分析結果與實際情形相對照，比較得出模型和客觀實際是否吻合。如果吻合，教師需要啟發(fā)學生用模型計算結果解釋實際含義；如果不吻合，教師應該引導學生繼續(xù)進行邏輯檢驗，從模型假設中找出矛盾，否定模型之后再重復建模過程，以此確保模型正確、合理和適用。

例如，在建立關于人口增長問題的模型時，教師給出一份10年的人口數(shù)據，學生通過探究建立指數(shù)模型，并結合數(shù)據資料得到指數(shù)模型的底數(shù)和冪，初步探知人口增長的函數(shù)關系。在檢驗指數(shù)模型正確性的環(huán)節(jié)，教師引導學生思考：這個指數(shù)模型的函數(shù)關系是否符合人口增長的實際情況？符合程度高不高？如何驗證？學生交流之后反饋：從現(xiàn)有的人口數(shù)據來看，建立的指數(shù)模型符合實際情形。要想知道符合的程度，需要更長時間段的人口數(shù)據進行檢驗。教師順勢再給學生提供一份30年的人口數(shù)據，學生把數(shù)據代入指數(shù)模型進行計算，比較前后的模型計算參數(shù)，得出的誤差非常小，說明該指數(shù)模型和實際情況的吻合度很高，標志著建模成功。這樣通過實施模型檢驗練習，學生的建模思想和嚴謹意識就能得到進一步突破［6］。

三、結語

綜上所述，為了解決數(shù)學問題，教師應該引導學生通過抽象及歸納的方式構建一個數(shù)學結構。通過建模思想簡化學習數(shù)學的難度，促進學生主動思考，有效吸收數(shù)學概念，創(chuàng)設與建模問題相關的實際背景情境，設計項目化的建模探究活動，加強引導學生檢驗和修改數(shù)學模型，促使學生體會數(shù)學建模思想的實用性，提高學生的建模實踐能力。

參考文獻：

［1］ 古麗努爾·里瓦依丁.高等數(shù)學教學中數(shù)學建模思想的融入［J］.產業(yè)與科技論壇，2021（18）：192.

［2］ 王慧，安然.數(shù)學建模思想在高等數(shù)學教學改革中的融入與應用［J］.內江科技，2019（7）：150.

［3］ 秦素平.在高等數(shù)學教學中融入數(shù)學建模思想的探討［J］.智庫時代，2018（46）：215.

［4］ 陳富媛.高等數(shù)學教學中融入數(shù)學建模思想初探［J］.現(xiàn)代職業(yè)教育，2018（4）：38.

［5］ 孫文兵.數(shù)學建模思想融入高等數(shù)學教學中的實施策略［J］.考試周刊，2016（64）：52.

［6］ 劉君.在高等數(shù)學教學中融入數(shù)學建模思想的探討［J］.科技視界，2016（5）：89.

［責任編輯 李永偉］