陳瑞華

【摘 要】在澄清知識本質(zhì)的基礎(chǔ)上，基于教學目標細化，從畫圖、列表、遞推推理三個角度對三節(jié)“計數(shù)方法”課進行解決問題策略的學習進階比較研究，理解教材編排的意圖，提出進一步完善教學的建議。

【關(guān)鍵詞】計數(shù)方法 解題策略 學習進階

“計數(shù)方法”的學習內(nèi)容與我們的日常生活密切相關(guān)，小學數(shù)學中涉及“計數(shù)方法”的學習內(nèi)容有哪些？它解決問題的策略有哪些？筆者擬借鑒國際教育領(lǐng)域中先進的“學習進階”理論，對北師大版小學數(shù)學教材的相關(guān)內(nèi)容進行系統(tǒng)的研究，為進一步優(yōu)化教學提出合理的建議。

一、教材簡介

在北師大版小學數(shù)學教材中，涉及“計數(shù)方法”的課有三節(jié)：三年級上冊“搭配中的學問”，四年級上冊“數(shù)圖形的學問”和六年級上冊“比賽場次”，它們同屬“數(shù)學好玩”板塊，都是“綜合與實踐”領(lǐng)域的學習內(nèi)容。

（一）三年級上冊“搭配中的學問”簡介

教材創(chuàng)設(shè)了搭配服裝、營養(yǎng)配餐、去動物園的路線三個具有現(xiàn)實意義的情境，先通過擺一擺、說一說經(jīng)歷有序思考的實踐活動，進而引導(dǎo)學生用圖、符號表示對象，用連線表示搭配進行有序思考。在此基礎(chǔ)上用圖、符號、連線方法解決營養(yǎng)配餐問題，進而用符號、連線解決去動物園的路線問題。在實際教學中，學生通常能用加法或乘法表示列舉的結(jié)果，通過比較三個問題的共性，對解決搭配問題的數(shù)學模型有所感悟。

（二）四年級上冊“數(shù)學圖形的學問”簡介

教材先引導(dǎo)學生把“鼴鼠鉆洞”的實際情境抽象成線段和其上的點，通過有序思考解決問題，并用加法表示結(jié)果。菜地旅行引導(dǎo)學生用點表示站點，線段表示路線，借助圖形直觀引導(dǎo)學生通過有序思考數(shù)線段解決單程票的問題。通過站點數(shù)遞增的練習、遞推策略的運用幫助學生感悟數(shù)圖形中蘊含的規(guī)律。

（三）六年級上冊“比賽場次”簡介

教材呈現(xiàn)10個學生兩兩比賽的場次安排問題，引導(dǎo)學生通過畫圖、列表、連線的方法尋找規(guī)律，體會“從簡單情形開始尋找規(guī)律”解決問題的必要性，進而利用這一策略解決問題；借助遞推策略感悟蘊含其中的規(guī)律；運用“從簡單情形開始尋找規(guī)律”的策略解決聯(lián)絡(luò)方式問題。

二、教學內(nèi)容的知識背景分析

（一）教學內(nèi)容的知識背景概述

“計數(shù)方法”的基礎(chǔ)是所謂的“計數(shù)原理”，包括加法原理和乘法原理。加法原理是分類計數(shù)，乘法原理是分步計數(shù)。

排列組合是組合學最基本的概念，所謂排列，就是指從給定的n個元素中取出m個元素進行排序，計算公式：，是乘法原 理的直接應(yīng)用。組合則是指從給定的n個元素中取出指定m個元素，不考慮排序，計算公式：。即先計算排列，再除掉重復(fù)計數(shù)。

（二）教學內(nèi)容的知識背景分析

1.“搭配中的學問”與“乘法原理”

“搭配中的學問”本質(zhì)上是“乘法原理”。以教材搭配服飾為例，第一步選帽子，有2種選法；第二步選褲子，有3種選法，一共有2×3種方法，也可以用加法或乘法表示搭配結(jié)果，即3+3、2+2+2或2×3，但教材中這樣的列式是基于加法和乘法的運算意義的，并沒有進行“加法原理”“乘法原理”抽象。

2.“數(shù)圖形的學問”與“排列”

“鼴鼠鉆洞”問題與通常的“數(shù)線段”問題有著本質(zhì)的不同。“數(shù)線段”問題本質(zhì)上是排列問題，如線段上有5個點（包含兩端），兩個點確定一條線段，先定一個點有5種方法，再定一個點有4種方法，一共有5×4種方法，即20條線段，由于同一條線段被重復(fù)計數(shù)，所以實際有20÷2=10條線段?！褒B鼠鉆洞”問題雖然也可以用5×4÷2計算，5×4是“往返路線”的種數(shù)，“除以2”的原因是問題只要求考慮“單程”計數(shù)，但教材中在處理這個問題時只用了有序列舉找規(guī)律，沒有進行“排列”的意義與方法抽象。

3.“比賽場次”與“組合”

“比賽場次”本質(zhì)是“組合問題”，即從一個集合中取兩個元素組合。但教材呈現(xiàn)的處理方式上是用了有序列舉的方法尋找規(guī)律，基于有序列舉的方式讓學生進行感受遞推的方法，體會“從簡單的情形尋找規(guī)律”解決問題的策略，并沒有進行“組合”的意義與方法抽象。

三、解決問題策略的學習進階

三節(jié)課中涉及的主要解題的策略包括畫圖、列表格遞推推理。

（一）畫圖策略的學習進階分析

三節(jié)課中畫圖策略的基本出發(fā)點是用點表示集合中的元素，用線表示元素間的關(guān)系。

在“搭配中的學問”中，學生運用不同的圖形或字母來表示帽子和褲子、用連線表示搭配的方法解決問題；在解決去動物園的路線問題時，也用到了連線畫圖的方式來解決問題。

在“數(shù)圖形的學問”中，相對于前一課兩個集合間的畫圖連線解決問題，本課在一個集合的元素間畫圖連線解決問題——按出發(fā)點的不同來計數(shù)，相對來說更容易混淆，也更難一些。

在“比賽場次”中學生的畫圖策略比較多樣，包括線段圖、連線圖等。

綜合來看，三個課時在畫圖這一策略方面存在著明顯的學習進階，從只用一種畫圖的策略到運用多種畫圖的策略，是有一定的進階上升的。

（二）列表策略的學習進階分析

在“搭配中的學問”內(nèi)容中，教材沒有應(yīng)用列表的策略來解決問題。

在“數(shù)圖形的學問”中，教材也沒有應(yīng)用列表的策略解決問題。

但通過列表解決問題的策略在教材中還是有所體現(xiàn)的，如三年級下冊的“有趣的推理”中就有相關(guān)的內(nèi)容（見圖1）。

“比賽場次”中教材呈現(xiàn)的列表策略就比較多樣，既可以在表格中利用示意圖的方式尋找規(guī)律，也可以在表格中利用連線圖的方式尋找規(guī)律，還可以在表格中用數(shù)線段圖的方式來尋找規(guī)律。利用從簡單情形開始，尋找一般的規(guī)律，充分體會遞推的必要性。

綜合來看，三個課時在列表這一策略上的進階安排是有所不足的。

（三）“遞推推理”策略的學習進階分析

遞推是序列計算中的一種常用算法，是基于前一項的推理答案，結(jié)合下一步的推理，得到新的序列答案的過程?！按钆渲械膶W問”并沒有出現(xiàn)遞推推理，下面著重分析后兩節(jié)課。

1.“數(shù)圖形的學問”的遞推推理進階分析

本課學習是學生第一次接觸遞推推理。教材是在練習中出現(xiàn)遞推方法的提示的（見圖2）。通過操作，學生發(fā)現(xiàn)只要添加新加的這個站點跟原有站點的票數(shù)就可以了。

從遞推推理的動手操作到算式表示和意義解釋是學習的進階。在解釋算式意義的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學生尋找站點數(shù)與加法中加數(shù)的關(guān)系，進而對這種關(guān)系進行意義解釋：每增加一個站點，增加的票數(shù)就是站點總數(shù)減1，因為新站點與自身不需要票，所以要減1，可利用這種關(guān)系列式解決問題。

2.“比賽場次”的遞推推理進階分析

本課的遞推推理是借助“退”的策略引出的：解決10個學生比賽場次問題比較復(fù)雜，所以要“從簡單的開始”思考問題，尋找規(guī)律解決問題。遞推推理的展開利用了列表、數(shù)線段、連線等多種策略，每增加一人比賽，用一個點或增加表格的行和列表示，并用不同顏色的符號標示出來，便于學生清晰地看出遞推推理的過程，找出遞推推理后一項與前一項的關(guān)系。不同于“數(shù)圖形的學問”中加數(shù)依次遞減的加法，本課采用了加數(shù)依次遞增的加法算式，更切合遞推推理的特點，意義解釋也更為合理。

綜合兩個課時的教材研究，從“數(shù)圖形的學問”直接呈現(xiàn)，到“比賽場次”中基于“退”的策略的自主運用，從單一策略到多種策略，從遞減算式到遞增算式，是一個明顯的進階過程。但是，遞推推理從“教”到“用”，間隔兩年，后續(xù)學習顯然難以喚醒以往經(jīng)驗，教師就要聯(lián)系學生的生活實際展開教學。

四、縱向研究的教學啟示與建議

（一）主要解題策略的教學啟示與建議

在“搭配的學問”中，教材呈現(xiàn)的解題策略是畫圖和連線，缺少列表的解題策略，建議增加列表的解題策略，讓學生更好地體會乘法原理在搭配問題中的應(yīng)用。例如，在解決去動物園的路線問題時可以呈現(xiàn)這樣的解決方法：從學校到少年宮有A、B兩條路，從少年宮到動物園有C、D、E三條路，第一步可以從“列”選，有2種選擇，如先選A，第二步選“行”，有3種選擇，再選B，重復(fù)第二步（見表1）。當然也可以先行后列。這樣設(shè)計更利于學生感悟乘法原理。

在“數(shù)圖形的學問”中，教材中呈現(xiàn)的也只有一種解題策略——畫線段圖，實際上也可以應(yīng)用列表的策略來解決問題。例如，在一條線段上有A、B、C、D共4個端點，問：一共有多少條線段？由于兩個端點決定一條線段，可以列出表2。有序列舉分兩步：先選一個端點，再選一個端點，A與B組合了，B就不用跟A組合了，由此出現(xiàn)了遞減的現(xiàn)象。

從“比賽場次”目前的教學來看，很少有學生采用列表的策略，如果有了前面兩節(jié)課教學改進的鋪墊，采用這一策略的學生人數(shù)比例可能會增加。

（二）“遞推推理”的教學啟示與建議

“搭配的學問”在教材中并沒有遞推推理的內(nèi)容，建議安排增加一頂帽子或增加一條褲子讓學生思考更多的搭配方式，通過推理找到增加后的搭配數(shù)量與增加前的數(shù)之間的關(guān)系，滲透遞推推理的思想。

“數(shù)圖形的學問”的遞推推理是在增加站點的過程中實現(xiàn)的，缺乏線段增加條數(shù)與端點個數(shù)的關(guān)系總結(jié)，教師如果能加強算式的意義解釋，可以幫助學生更好地發(fā)現(xiàn)與解釋規(guī)律。

針對“比賽場次”，教材中呈現(xiàn)了更加完善的遞推推理，但是學生在解決問題時一般不用這種推理方式，更多的是關(guān)注問題本身的答案，運用以往的經(jīng)驗孤立地解決問題。引入遞推推理需要更多地發(fā)揮教師的主導(dǎo)及提示引領(lǐng)作用。

五、需要進一步研究的問題

在小學階段，“計數(shù)方法”雖有所體現(xiàn)，但學生主要是基于示意圖、列表格、連線的解題策略的有序列舉積累活動經(jīng)驗，然后運用加法或乘法的意義列式計算，對加法原理和乘法原理以及排列和組合思想方法的體驗不深。為此，筆者以為需要進一步加強下列問題的研究：（1）如何基于有序列舉，根據(jù)“計數(shù)原理”和排列組合的基本概念展開更加結(jié)構(gòu)化的教學，使學生更好地積累結(jié)構(gòu)化的活動經(jīng)驗？（2）排列組合的思想方法是否需要在小學階段滲透？在教學中應(yīng)該滲透到哪一步？如何滲透？