方子豪，陳瀟一，孫佳倫

（1.湖北工業(yè)大學(xué)電氣與電子工程學(xué)院，湖北武漢 430068；2.國網(wǎng)陜西省電力公司，陜西西安 710048；3.三峽大學(xué)電氣與新能源學(xué)院，湖北宜昌 443000）

0 引言

由于變壓器的絕緣破壞引起的局部放電（Partial Discharge，PD）故障，對于輸配電網(wǎng)絡(luò)的安全穩(wěn)定運行具有重要的影響，因此針對變壓器的PD故障定位點進行精確診斷是當前的一項重要的研究課題[1-5]。

在當前比較流行的定位點診斷方法中，主要是聲發(fā)射傳感器（Acoustic Emission Sensors，AES）法[1-2]與超高頻法[3-4]（Ultra-High-Frequency，UHF）2 種方法。UHF 的優(yōu)點是靈敏性能好，且具有很好的抗干擾性能，但是該方法要求提前將傳感器布置在變壓器內(nèi)部，以避免外殼的電磁屏蔽，因此給該方法的廣泛使用帶來了較大的局限性。AES 法則不同，傳感器可布置在變壓器外殼上，因此受到了廣泛的歡迎[6-8]。

AES 法的主要原理是利用聲波到達不同的傳感器的時間不同，根據(jù)不同的傳感器建立不同的定位方程，然后聯(lián)立方程進行求解，以得到PD 故障定位點的坐標[9-11]。然而，由于傳感器在使用過程中不可避免的帶有測量誤差以及系統(tǒng)中不可避免的系統(tǒng)噪聲干擾，因此采用AES 法得到的數(shù)據(jù)嚴格來講不可能都是精確無誤的，同時在實際使用的時候，為了防止個別傳感器的失效，傳感器的布置總是會多于實際需要的個數(shù)，以滿足冗余的要求[9-11]。由于精確無誤的值在實際中是不可能得到的，為此采用AES 法進行PD 故障定位點的診斷過程，實際上是一個屬于PD 故障定位點最佳估計的問題，該問題在本質(zhì)上與在電力系統(tǒng)狀態(tài)估計（State Estimation，SE）中，通過利用數(shù)據(jù)采集與監(jiān)視控制（Supervisory Control and Data Acquisition，SCADA）系統(tǒng)、高級量測體系（Advanced Metering Infrastructure，AMI）等量測系統(tǒng)，采集量測數(shù)據(jù)以獲取系統(tǒng)最真實的SE 結(jié)果是相同的[12-16]。

為此，本文針對采用AES 法測量PD 故障定位點，同時考慮多個冗余AES 及其測量誤差，提出了基于指數(shù)目標函數(shù)優(yōu)化的變壓器局部放電故障定位點最佳估計方法。首先，該方法借鑒狀態(tài)估計中的量測方程概念，構(gòu)造PD 故障定位點量測方程；然后，針對多個冗余AES 定位點量測方程，以指數(shù)型誤差最小構(gòu)造目標函數(shù)，并采用牛頓法迭代求解，得到變壓器PD 故障定位點的最佳估計值；最后，基于仿真實驗對本文所提方法的有效性進行驗證。

1 變壓器PD故障定位理論

1.1 AES法定位原理

根據(jù)聲波到達不同傳感器的時間，建立不同的傳感器定位方程，在三維坐標系中，以聲波到達參考傳感器（1 號傳感器）的時間作為參考基準，聲波達到第i（i＝2，3，…，m）個傳感器與參考傳感器的時間之差為τi1，則為定位PD 故障點，狀態(tài)變量共4個，分別為PD 故障定位的(x,y,z)坐標值以及PD 故障源聲信號至參考傳感器所用的時間t。為了方程可解，PD 故障源聲信號至參考至少需采用4 個AES 傳感器，才可建立方程進行求解。假設(shè)變壓器PD 源的坐標為P(x,y,z)，AES 傳感器的個數(shù)為m個（m>4），其坐標為Si(xi,yi,zi)，由此可建立AES 法的定位方程如下[10-13]：

式中：t為PD 故障源聲信號至參考傳感器所用的時間；v為聲波速度。

1.2 定位量測方程

由于傳感器在使用過程中不可避免地帶有測量誤差以及系統(tǒng)中不可避免的系統(tǒng)噪聲干擾，為此本文定義以下定位量測方程[14-15]：

式中：Z為量測量；h(X)為量測方程；X為狀態(tài)量，X=[x,y,z,t] ；ε為假設(shè)服從Gauss 分布的量測誤差。

Z可通過構(gòu)造以作為偽量測，具體表達式為：

式中：Zi為第i（i＝2，3，…，m）個偽量測；

h(X)具體表達式為：

通過定義和構(gòu)造，本文創(chuàng)造性地將高電壓與絕緣領(lǐng)域的AES 法進行PD 故障定位點的診斷問題研究，轉(zhuǎn)換為根據(jù)已知偽量測和量測方程，利用系統(tǒng)的冗余傳感器數(shù)據(jù)，考慮測量時間誤差，求解系統(tǒng)最佳定位點狀態(tài)量的估計結(jié)果問題。

2 PD 最佳定位點指數(shù)目標優(yōu)化估計模型

在考慮多個冗余AES 及其測量誤差基礎(chǔ)上，本文借鑒SE 領(lǐng)域的量測和量測方程概念，構(gòu)造了偽量測Z和量測方程h(X)。在SE 領(lǐng)域，為處理多個冗余量測、量測誤差以及可能的壞數(shù)據(jù)，建立優(yōu)化模型并求解，以得到最接近真值的估計值。由于在實際中，毫無誤差的精確真值是不可能獲得的，因此估計并不意味著不精確，恰恰是在優(yōu)化模型下尋找到的最接近真值的值。

為此，本文在將高電壓與絕緣領(lǐng)域的AES 法進行PD 故障定位點的診斷問題轉(zhuǎn)化為SE 問題后，建立PD 故障定位指數(shù)目標優(yōu)化模型，首先將量測殘差指數(shù)化，以殘差的指數(shù)形式之和J為優(yōu)化目標，所建模型為：

式中：下標i表示第i個量測；wi為權(quán)重，AES 測量精度越高，權(quán)重越大，對估計結(jié)果的貢獻越大；ri為示殘差；σ為量測標準差；j為AES 重復(fù)測量個數(shù)。

為了增大量測冗余度，每個AES 可測量多次，得到多個量測值。

本文建立的指數(shù)目標優(yōu)化估計模型的優(yōu)點在于目標函數(shù)連續(xù)可微，利于求解，且殘差指數(shù)化后，對于量測誤差大甚至可能的壞數(shù)據(jù)，其在模型中對最終估計結(jié)果的影響更小，抑制了大誤差和壞數(shù)據(jù)的干擾。

令：

式中：rwi為正則化殘差，其作用在于可將不同類型的物理量歸一到同一個尺度上，以便于比較；fi(X)為殘差的指數(shù)形式。

則指數(shù)目標優(yōu)化模型可轉(zhuǎn)化為：

為說明誤差大的量測及壞數(shù)據(jù)對權(quán)重的影響，繪制fi(rwi)與rwi關(guān)系如圖1 所示。

圖1 fi(rwi)與rwi 關(guān)系曲線Fig.1 Relation curve Between fi(rwi) and rwi

由圖1 可知，rwi的絕對值越大，說明其誤差越大甚至可能是壞數(shù)據(jù)，fi(rwi)就越小，對優(yōu)化目標的貢獻就越小，對估計結(jié)果的影響也就越??；反之，rwi的絕對值越小，說明該量測的精度就越高，fi(rwi)就越大，對優(yōu)化目標的貢獻就越大，對估計結(jié)果的影響也就越大，越有利于得到更精確的估計結(jié)果。故而本文模型可以削弱和抑制AES 量測誤差甚至是壞數(shù)據(jù)的影響，得到最佳的PD 故障定位點估計結(jié)果。

3 PD 最佳定位點指數(shù)目標優(yōu)化估計算法

為求解PD 最佳定位點指數(shù)目標優(yōu)化模型，采用Newton 法迭代進行求解，先求目標函數(shù)的1 階偏導(dǎo)數(shù)為：

式中：H為量測方程h(X)對狀態(tài)量X的（k×m）×n維的Jacobian 矩陣；F(X)為對角陣；Fii(X)為F(X)第i個對角元。

對式（10）一階偏導(dǎo)?J/?X再求一次偏導(dǎo)，可得目標函數(shù)二階偏導(dǎo)式為：

式中：I為單位陣；Q為目標函數(shù)2 階偏導(dǎo)陣。

Newton 法迭代PD 最佳定位點狀態(tài)量的修正量計算式為：

式中：k為迭代次數(shù)。

狀態(tài)量修正表達式為：

收斂條件設(shè)為：

式中：γ為收斂閾值。

通過指數(shù)目標優(yōu)化估計算法，對PD 最佳定位點指數(shù)目標優(yōu)化模型進行計算，收斂后即可獲取PD 故障最佳定位點的估計值，其詳細計算步驟如下：

1）先用高斯賽德爾法迭代2 次，獲取指數(shù)目標優(yōu)化估計的Newton 法狀態(tài)量初值X(k)，設(shè)置最大迭代次數(shù)kmax、收斂精度γ和量測固定權(quán)重wi，設(shè)置迭代次數(shù)k=0。

2）根據(jù)X(k)，基于計算式（10）與式（11）中PD最佳定位點指數(shù)目標優(yōu)化模型的1 階、2 階偏導(dǎo)陣。

3）基于計算式（12），計算修正量ΔX(k)。

4）若max(|ΔX(k+1)|)<γ，則算法收斂轉(zhuǎn)步驟6）。否則，更新狀態(tài)量：X(k+1)=X(k)+ΔX(k)，轉(zhuǎn)步驟5）。

5）令k=k+1，轉(zhuǎn)步驟（2）。

6）輸出計算結(jié)果。

PD 最佳定位點指數(shù)目標優(yōu)化算法如圖2 所示。

圖2 PD最佳定位點指數(shù)目標優(yōu)化算法Fig.2 Exponential target optimization algorithm of PD optimal locating point

4 算例仿真與分析

4.1 基礎(chǔ)數(shù)據(jù)與仿真條件

為對本文所提基于指數(shù)目標函數(shù)優(yōu)化的變壓器局部放電故障定位點最佳估計方法的有效性進行驗證，在150 cm×100 cm×120 cm 大小的變壓器內(nèi)設(shè)置PD 故障點，其真實坐標為P（80，55，60）cm。本文采用的AES 設(shè)備數(shù)為10 個，具體坐標為S1（15，0，15）cm，S2（10，80，20）cm，S3（120，80，10）cm，S4（130，10，15）cm，S5（25，20，110）cm，S6（15，110，110）cm，S7（120，80，110）cm，S8（130，20，110）cm，S9（90，30，100）cm，S10（110，40，80）cm，每個AES重復(fù)測量3 次，在變壓器油中聲波速度大小為1 500 m/s。

以S1（15，0，15）cm 位置的AES 作為參考傳感器，為模擬產(chǎn)生AES 的量測數(shù)據(jù)，在聲波到達第i個傳感器與參考傳感器的時間之差τi1真值基礎(chǔ)上，疊加均值為0、標準差為0.2%的高斯噪聲，以作為AES 的隨機量測數(shù)據(jù)。

為驗證本文所提方法可有效抵御量測誤差以及可能的壞數(shù)據(jù)的對估計結(jié)果的影響，獲取最接近真實PD 故障的最佳定位點，在量測為真值、考慮量測誤差但無壞數(shù)據(jù)和考慮量測誤差且有壞數(shù)據(jù)3種情況下，分別采用以下3 種方法分別進行仿真分析：（1）普通AES 定位法；（2）基于K-means 聚類的AES 法；（3）本文所提方法。壞數(shù)據(jù)的設(shè)置為假設(shè)8號S8（130，20，110）cm 位置的AES 損壞，測量數(shù)據(jù)嚴重失真，誤差為50%。

利用下列指標對各種方法所得結(jié)果進行評價，如式（15）—式（19）所示：

式中：ΔR為PD 故障定位點估計誤差；xact,yact,zact為PD 故障定位點真值；xe,ye,ze為PD 故障定位點估計值；Δx為PD 故障定位點x軸估計誤差；Δy為PD 故障定位點y軸估計誤差；Δz為PD 故障定位點z軸估計誤差；Dmax為PD 故障定位點x，y，z軸最大估計誤差。

4.2 仿真結(jié)果與分析

在量測為真值、考慮量測誤差但無壞數(shù)據(jù)和考慮量測誤差且有壞數(shù)據(jù)3 種情況下，普通AES 定位法、基于K-means 聚類的AES 法和本文所提方法的仿真結(jié)果如表1—表3 所示。

表1 真值量測下PD故障定位點計算結(jié)果Table 1 Calculation results of PD fault location under true value measurement cm

表2 考慮量測誤差但無壞數(shù)據(jù)下PD故障定位點計算結(jié)果Table 2 Calculation results of PD fault location considering measurement error but no bad data cm

表3 考慮量測誤差且有壞數(shù)據(jù)下PD故障定位點計算結(jié)果Table 3 PD fault location calculation results considering measurement error and bad data cm

由表1 可知，在量測為真值的情況下，PD 故障點真值坐標為（80，55，60）cm，3 種方法的PD 故障定位點結(jié)果均為（80.00，55.00，60.00）cm，Δx，Δy，Δz，Dmax和ΔR指標均為0.00 cm，說明3 種方法在真值量測下均可獲得精確的PD 故障定位點結(jié)果。然而，在實際中真值量測無法真實獲取，由于不可避免的噪聲干擾在一定程度上都帶有誤差甚至是壞數(shù)據(jù)，因此真值量測是一種理想情況，在實際中并不存在。

由表2 可知，在考慮量測誤差但無壞數(shù)據(jù)的情況下，3 種方法的PD 故障定位點結(jié)果分別為（81.03，53.98，61.21）cm，（80.87，54.23，60.83）cm 和（80.21，55.27，60.32）cm。方法（1）普通AES 定位法的Δx，Δy，Δz，Dmax和ΔR指標分別為1.03 cm，1.02 cm，1.21 cm，1.21 cm 和1.89 cm；方法（2）基于K-means 聚類的AES 法的Δx，Δy，Δz，Dmax和ΔR指標分別為0.87 cm，0.77 cm，0.83 cm，0.87 cm 和1.43 cm；方法（3）本文所提方法的Δx，Δy，Δz，Dmax和ΔR指標分別為0.21 cm，0.27 cm，0.32 cm，0.32 cm 和0.49 cm。由此可知，在有量測誤差時，3種方法的PD 故障定位點結(jié)果與真實值PD 點均有所誤差，但本文由于將該定位點計算問題轉(zhuǎn)化為定位點SE 問題，有效的濾除了量測誤差的影響，估計指標最好，估計結(jié)果最精確。

由表3 可知，在考慮量測誤差且有壞數(shù)據(jù)的情況下，3 種方法的PD 故障定位點結(jié)果分別為（82.35，52.87，62.31）cm，（81.87，56.32，61.54）cm 和（80.37，55.31，60.42）cm。方法（1）普通AES 定位法的Δx，Δy，Δz，Dmax和ΔR指標分別為2.35 cm、2.23 cm、2.31 cm、2.35 cm 和3.98 cm；方法（2）基于K-means 聚類的AES 法的Δx，Δy，Δz，Dmax和ΔR指標分別為1.87 cm、1.32 cm、1.54 cm、1.87 cm 和2.76 cm；方法（3）本文所提方法的Δx，Δy，Δz，Dmax和ΔR指標分別為0.37 cm、0.31 cm、0.42 cm、0.42 cm 和0.69 cm。與表2 相比，在有量測誤差且有壞數(shù)據(jù)時，方法（1）的PD 故障定位點結(jié)果與真實值PD 點的誤差將顯著增大，主要原因在于普通AES 法不具有抵御壞數(shù)據(jù)的能力。方法（2）的PD故障定位點結(jié)果與真實值PD 點的誤差增大較多，主要原因在于相比普通AES 法基于K-means 聚類能在一定程度上稀釋壞數(shù)據(jù)的影響，但無法完全避免。方法（3）的PD 故障定位點結(jié)果與真實值PD 點的誤差基本不變，主要原因在于本文將PD 故障定位點計算問題轉(zhuǎn)化為SE 問題后，建立指數(shù)目標最優(yōu)模型并進行求解，不但能夠有效濾除量測誤差，且對壞數(shù)據(jù)有良好的抵御能力，壞數(shù)據(jù)對優(yōu)化模型的貢獻度非常低，對估計結(jié)果影響非常小，從而有效的保證了估計結(jié)果的精度不受影響。

5 結(jié)論

本文針對采用AES 法測量PD 故障定位點，同時考慮多個冗余AES 及其測量誤差，提出了基于指數(shù)目標函數(shù)優(yōu)化的變壓器局部放電故障定位點最佳估計方法。該方法具有以下特點：

1）借鑒SE 理論，定義了偽量測和構(gòu)造了PD 故障定位點量測方程，創(chuàng)造性地將高電壓與絕緣領(lǐng)域的AES 法進行PD 故障定位點的診斷問題，轉(zhuǎn)換為根據(jù)已知偽量測和量測方程求解PD 最佳定位點的SE 優(yōu)化問題。

2）針對多個冗余AES 定位點量測方程，以殘差指數(shù)形式構(gòu)造指數(shù)目標函數(shù)優(yōu)化模型，并采用牛頓法迭代求解，該方法能夠有效的濾除量測誤差和抵御壞數(shù)據(jù)的影響。

通過仿真實驗對本文所提方基于指數(shù)目標函數(shù)優(yōu)化的變壓器局部放電故障定位點最佳估計方法進行驗證，結(jié)果表明本文所提方法可以高精度的定位變壓器PD 故障點，有效的進行變壓器PD 故障定位點的診斷。