夏玉梅 魯依玲 寧連華

摘 要：2022年新高考數(shù)學(xué)Ⅰ卷第22題是一道全面考查學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)、能力、思想、素養(yǎng)，立意深刻的函數(shù)導(dǎo)數(shù)題。梳理其解法特點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)學(xué)生的錯(cuò)誤主要表現(xiàn)為函數(shù)概念要素把握不清，二級(jí)結(jié)論緣由不加說明，數(shù)學(xué)運(yùn)算能力比較薄弱，文字、圖形語言轉(zhuǎn)化困難，分類、化歸思想掌握不佳，應(yīng)變創(chuàng)造能力匱乏。對(duì)此，提出進(jìn)一步關(guān)注素養(yǎng)提升的教學(xué)建議：注重基本概念，感悟形成過程；關(guān)注運(yùn)算階段，提升運(yùn)算能力；明確三種語言，體悟轉(zhuǎn)化價(jià)值；把握教學(xué)環(huán)節(jié)，滲透數(shù)學(xué)思想；學(xué)會(huì)抽絲剝繭，實(shí)現(xiàn)“多題一解”。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)高考；函數(shù)導(dǎo)數(shù)題；核心素養(yǎng)

審視近幾年的新高考數(shù)學(xué)試卷，不難發(fā)現(xiàn)：一方面，函數(shù)導(dǎo)數(shù)題的地位愈發(fā)重要，基本上都作為壓軸題出現(xiàn)，承擔(dān)著區(qū)分、選拔的重要作用；另一方面，函數(shù)導(dǎo)數(shù)題的呈現(xiàn)方式靈活，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、方程、不等式、邏輯等知識(shí)的能力，既涉及對(duì)通性通法的理解與掌握，更兼顧對(duì)思維的靈活性和創(chuàng)新性的考查，比較全面地考查了學(xué)生的必備知識(shí)、關(guān)鍵能力和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)［1］。

毋庸置疑，函數(shù)導(dǎo)數(shù)題在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中占有舉足輕重的地位。但是，從師生對(duì)該類題的體會(huì)與反饋中可以發(fā)現(xiàn)：即使平時(shí)大量“刷題”，掌握了一定的“模式”或“套路”，仍然會(huì)有很多學(xué)生談虎色變，容易出現(xiàn)“做不好、想不清、算不準(zhǔn)、變不當(dāng)、寫不精”的現(xiàn)象。本文立足于《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡(jiǎn)稱“課標(biāo)”）的學(xué)習(xí)要求，結(jié)合學(xué)生的答題反饋，深入分析2022年新高考數(shù)學(xué)Ⅰ卷第22題（函數(shù)導(dǎo)數(shù)題）的考查意圖、解法特點(diǎn)及典型錯(cuò)誤，并提出相應(yīng)的教學(xué)建議。

一、 立意剖析

2022年新高考數(shù)學(xué)Ⅰ卷第22題如下：

已知函數(shù)f（x）=ex-ax和g（x）=ax-lnx有相同的最小值。

（1） 求a；

（2） 證明：存在直線y=b，與兩條曲線y=f（x）和y=g（x）共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，并且從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列。

（一） 學(xué)科知識(shí)視角——驗(yàn)基礎(chǔ)

課標(biāo)指出：函數(shù)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)最基本的概念，是貫穿高中數(shù)學(xué)課程的主線。［2］本題主要考查函數(shù)的相關(guān)知識(shí)，考查的知識(shí)點(diǎn)主要分布在必修課程函數(shù)主題的“函數(shù)概念與性質(zhì)”單元和選擇性必修課程函數(shù)主題的“一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用”單元中，對(duì)應(yīng)的內(nèi)容要求主要包括“了解構(gòu)成函數(shù)的要素，能求簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域；借助函數(shù)圖像會(huì)用符號(hào)語言表達(dá)函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值，理解它們的作用和實(shí)際意義”［3］和“能利用給出的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則，求簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；對(duì)于多項(xiàng)式函數(shù)，能求不超過三次的多項(xiàng)式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；能利用導(dǎo)數(shù)求某些函數(shù)的極大值、極小值以及給定閉區(qū)間上不超過三次的多項(xiàng)式函數(shù)的最大值、最小值”［4］。

除此之外，本題還巧妙地將等差數(shù)列、不等式等相關(guān)知識(shí)加以融合，在知識(shí)點(diǎn)交匯處命題，落實(shí)對(duì)學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)的整體考查。

（二） 數(shù)學(xué)能力視角——查本領(lǐng)

課標(biāo)提出了發(fā)展“四能”（發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的能力）的學(xué)習(xí)目標(biāo)。本題主要考查了學(xué)生分析和解決問題的能力，也涉及對(duì)學(xué)生的推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力和應(yīng)變創(chuàng)造能力的考查。

本題以函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)為載體，注重“能力為重”的命題立意，立足于分析和解決問題的全過程，引發(fā)學(xué)生深度思考。題目以相同的最小值為切入點(diǎn)，讓學(xué)生更容易聯(lián)想到利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，幫助學(xué)生搭建分析問題的橋梁，啟發(fā)學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維分析問題，用數(shù)學(xué)的方法解決問題。解題全過程始終貫穿著對(duì)推理論證能力的檢視；尋找直線y=b與曲線y=f（x）、y=g（x）的三個(gè)不同交點(diǎn)的過程又體現(xiàn)了對(duì)空間想象能力的考查；將方程解的唯一性轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點(diǎn)問題、判斷函數(shù)G（x）=f（x）-g（x）的導(dǎo)數(shù)符號(hào)的過程，又需要學(xué)生具備靈活變通的創(chuàng)新能力。

（三） 學(xué)科素養(yǎng)視角——悟思想

課標(biāo)提出了高中數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)，分別是數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析，并強(qiáng)調(diào)學(xué)科核心素養(yǎng)是育人價(jià)值的集中體現(xiàn)。［5］本題在數(shù)學(xué)知識(shí)背景下，以數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等多方面學(xué)科核心素養(yǎng)為落腳點(diǎn)。解題全過程以邏輯推理為考查主線；在利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)最值的過程中，需要學(xué)生熟練掌握計(jì)算導(dǎo)數(shù)的方法，靈活轉(zhuǎn)換函數(shù)單調(diào)性的文字語言和圖形語言，并正確判斷函數(shù)的單調(diào)性，涉及對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算等的考查。

總的來說，本題“入口”寬、“出口”窄。命題考查全面，立意深刻，有較大的區(qū)分度，體現(xiàn)了較好的選拔功能。

二、 解法探究

（一） 第（1）小問的解法特點(diǎn)

此問主要考查學(xué)生對(duì)函數(shù)最小值的求解，涉及函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、單調(diào)性、零點(diǎn)等基本知識(shí)，蘊(yùn)含分類討論、化歸等數(shù)學(xué)思想，著重體現(xiàn)對(duì)邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)的考查。

解題的關(guān)鍵之一是，把握思考的方向，抓住“f（x）有最小值”這一條件對(duì)a進(jìn)行分類討論。通過求導(dǎo)，可判斷出：若a≤0，則f（x）沒有最小值。因此，只需要對(duì)a＞0的情況做進(jìn)一步分析。

（四） 文字、圖形語言轉(zhuǎn)化困難

在本題解答中，部分學(xué)生過分依賴圖形，以圖形來代替證明，不能準(zhǔn)確地將圖形轉(zhuǎn)化為文字語言。例如，在求解f（x）和g（x）最小值的過程中，描述函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，只呈現(xiàn)圖形語言，缺乏文字語言的表達(dá)，導(dǎo)致解題過程不規(guī)范。

（五） 分類、化歸思想掌握不佳

在第（1）問解答中，通過題目條件求a的值時(shí)，大部分學(xué)生不討論a≤0的情形，直接得出結(jié)果，導(dǎo)致解答過程不嚴(yán)謹(jǐn)。另外，相當(dāng)一部分學(xué)生在討論方程解的唯一性的過程中，難以將其轉(zhuǎn)化為容易解決的函數(shù)零點(diǎn)問題，導(dǎo)致解題過程復(fù)雜，運(yùn)算結(jié)果錯(cuò)誤。

（六） 應(yīng)變創(chuàng)造能力匱乏

在討論方程a-alna=1+lna解的唯一性的過程中，有的學(xué)生能夠?qū)⑵滢D(zhuǎn)化為函數(shù)零點(diǎn)問題，但由于對(duì)式子結(jié)構(gòu)特征的洞察力不夠，應(yīng)變創(chuàng)造能力匱乏，往往構(gòu)造的函數(shù)比較復(fù)雜，導(dǎo)致解題過程復(fù)雜，運(yùn)算結(jié)果錯(cuò)誤。

四、 教學(xué)建議

高考題有一定的價(jià)值導(dǎo)向，需要深挖細(xì)掘、正本清源，從而實(shí)現(xiàn)“為教學(xué)服務(wù)”的宗旨?；谝陨蠈?duì)本題多方面的分析，建議數(shù)學(xué)教學(xué)進(jìn)一步關(guān)注素養(yǎng)的提升，做好以下幾個(gè)方面。

（一） 注重基本概念，感悟形成過程

不少學(xué)生對(duì)函數(shù)的定義域要素把握不準(zhǔn)，對(duì)函數(shù)的單調(diào)性知識(shí)掌握不牢?？梢姡瑢W(xué)生缺乏對(duì)基本概念的深度理解。這就需要教師在教學(xué)中，講清基本概念的內(nèi)涵，講明基本概念的發(fā)生、發(fā)展過程，講好與基本概念強(qiáng)相關(guān)的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。

教師不妨通過創(chuàng)設(shè)情境、引導(dǎo)參與、組織小組討論等多種方式帶領(lǐng)學(xué)生揭示數(shù)學(xué)過程，引導(dǎo)學(xué)生感悟問題、探索問題、解決問題、深化問題，幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)融會(huì)貫通。除此之外，教師還應(yīng)時(shí)常監(jiān)控學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)，對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)情況作出及時(shí)、正確的評(píng)價(jià)，在學(xué)生易出錯(cuò)、易困惑處指點(diǎn)迷津。

（二） 關(guān)注運(yùn)算階段，提升運(yùn)算能力

數(shù)學(xué)運(yùn)算是指在明晰運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng)。它是解決數(shù)學(xué)問題的基本手段，主要表現(xiàn)為理解運(yùn)算對(duì)象、掌握運(yùn)算法則、探究運(yùn)算思路和求得運(yùn)算結(jié)果四個(gè)方面。［7］

學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算時(shí)，會(huì)經(jīng)歷分析運(yùn)算對(duì)象、選擇運(yùn)算法則、形成運(yùn)算過程、得出運(yùn)算結(jié)果四個(gè)階段。在這四個(gè)階段中，教師要始終作為學(xué)生學(xué)習(xí)的引路人。在分析運(yùn)算對(duì)象時(shí)，教師要清晰地講解分析的過程，避免學(xué)生出現(xiàn)“知其然而不知其所以然”的現(xiàn)象，幫助學(xué)生理清脈絡(luò)，真正做到會(huì)分析、能分析。在選擇運(yùn)算法則時(shí)，一方面，教師應(yīng)加強(qiáng)運(yùn)算法則的說明與講解，避免學(xué)生出現(xiàn)“對(duì)公式混淆或遺忘”的現(xiàn)象，幫助學(xué)生從自身認(rèn)知結(jié)構(gòu)中提取恰當(dāng)?shù)膬?nèi)容進(jìn)行相應(yīng)的運(yùn)算；另一方面，教師應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力，引導(dǎo)學(xué)生突破常規(guī)，打開思維，鼓勵(lì)學(xué)生從多角度、多層次進(jìn)行大膽嘗試，合理變式，尋求多種解決問題的方法。在形成運(yùn)算過程時(shí)，雜亂的演算過程有時(shí)會(huì)造成不必要的錯(cuò)誤，如看錯(cuò)算式、結(jié)果等，這歸根結(jié)底是由沒有規(guī)范作答引起的。俗話說“不積跬步無以至千里，不積小流無以成江?！保鞔鸬囊?guī)范程度體現(xiàn)在學(xué)生平時(shí)的作業(yè)和試卷中。因此，教師要在批改的過程中，找出學(xué)生無法規(guī)范解答的原因，對(duì)癥下藥，培養(yǎng)學(xué)生規(guī)范解答的能力。此外，在平時(shí)的教學(xué)中，教師應(yīng)秉持“身正為范”的理念，進(jìn)行規(guī)范解答示例，幫助學(xué)生養(yǎng)成規(guī)范解答的習(xí)慣。在得出運(yùn)算結(jié)果時(shí)，教師要提醒學(xué)生注意化簡(jiǎn)。

（三） 明確三種語言，體悟轉(zhuǎn)化價(jià)值

數(shù)學(xué)語言是數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)表達(dá)和數(shù)學(xué)交流的工具。根據(jù)其外部特征，可以分為三種：文字語言、圖形語言、符號(hào)語言。三種語言形式互為補(bǔ)充。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，文字語言通俗易懂，更接近我們?cè)诂F(xiàn)實(shí)生活中使用的自然語言；圖形語言從視覺角度更直觀地幫助我們理解問題；符號(hào)語言能夠簡(jiǎn)化問題，克服自然語言的某些含糊不清之處。三種語言的相互轉(zhuǎn)化有助于加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，進(jìn)一步完善學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)體系。而在本題的解答中，部分學(xué)生出現(xiàn)了過分依賴圖形，以圖形代替證明，不能準(zhǔn)確地將圖形語言轉(zhuǎn)化為文字（符號(hào)）語言的現(xiàn)象。

為了減少此種現(xiàn)象，教師可以在數(shù)學(xué)教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生分別用文字語言、圖形語言、符號(hào)語言準(zhǔn)確規(guī)范地?cái)⑹鼋虒W(xué)內(nèi)容，為學(xué)生建立三種語言之間的關(guān)系打基礎(chǔ)，培養(yǎng)學(xué)生三種語言的互譯能力。例如，在“指數(shù)函數(shù)”一課的小結(jié)環(huán)節(jié)，教師可以利用表格的形式將概念的文字語言、圖形語言、符號(hào)語言呈現(xiàn)出來，從數(shù)、形等不同視角幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)、理解、深化概念，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)能力。

（四） 把握教學(xué)環(huán)節(jié)，滲透數(shù)學(xué)思想

數(shù)學(xué)思想是指現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系反映到人的意識(shí)中，經(jīng)過思維加工而產(chǎn)生的結(jié)果，它蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)知識(shí)的形成、發(fā)展和應(yīng)用過程中，是數(shù)學(xué)知識(shí)和方法在更高層次上的抽象和概括。常用的數(shù)學(xué)思想主要有數(shù)形結(jié)合、抽象、歸納、類比、演繹、分類討論、化歸、假設(shè)、方程、函數(shù)等。本題解答中主要蘊(yùn)含了數(shù)形結(jié)合、分類討論、化歸等數(shù)學(xué)思想。很多學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想掌握較好，但是分類討論與化歸思想方面的意識(shí)和能力比較薄弱。

教師可以在“研—講—練—評(píng)”四個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)中，加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想的滲透。研讀教材、課標(biāo)時(shí)，教師應(yīng)毫剖厘析，深刻領(lǐng)會(huì)教材的編寫意圖，將知識(shí)背后隱藏的數(shù)學(xué)思想充分地挖掘出來。講授知識(shí)時(shí)，教師要結(jié)合具體的教學(xué)內(nèi)容，創(chuàng)設(shè)精準(zhǔn)的教學(xué)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想。練習(xí)鞏固時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生有意識(shí)地應(yīng)用數(shù)學(xué)思想，把握思考的大方向。評(píng)講、復(fù)習(xí)時(shí)，教師應(yīng)給學(xué)生留足探索空間，讓學(xué)生再度經(jīng)歷知識(shí)的形成過程，對(duì)隱含在其中的數(shù)學(xué)思想知根達(dá)底。

比如，在“練”的環(huán)節(jié)給學(xué)生滲透分類討論思想時(shí)，教師可以遵循以下教學(xué)程序：首先，讓學(xué)生清楚引起分類討論的原因。俗話說“授之以魚不如授之以漁”，只有掌握引發(fā)分類討論的關(guān)鍵，學(xué)生才能具備分類討論的意識(shí)。其次，幫助學(xué)生準(zhǔn)確掌握分類討論的方法。要注意提醒學(xué)生采用統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，在分類時(shí)做到不重不漏。最后，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)分類討論后的結(jié)論進(jìn)行正確整合。例如，對(duì)于例題“已知tanα=-1，求sinα”時(shí)，根據(jù)tanα=-1<0，可知α在第二象限或第四象限，而sinα在第二、第四象限的值不同，此時(shí)，就需要對(duì)α所在的象限進(jìn)行分類討論，得出α在第二象限時(shí)sinα的值為多少、α在第四象限時(shí)sinα的值又為多少。

（五） 學(xué)會(huì)抽絲剝繭，實(shí)現(xiàn)“多題一解”

課標(biāo)在課程基本理念中指出：“把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，啟發(fā)思考，改進(jìn)教學(xué)。”［8］數(shù)學(xué)是一門研究規(guī)律的學(xué)科，有其內(nèi)在的根本規(guī)律，即本質(zhì)屬性?？v觀歷年高考函數(shù)導(dǎo)數(shù)題，可以發(fā)現(xiàn)：試題一如既往地以基礎(chǔ)知識(shí)為載體，只是在背景材料和設(shè)問角度上蒼黃翻覆、?？汲Ｐ?，可謂“標(biāo)新而不立異，交叉而不偏離”。因此，學(xué)生要想在試題解答中“脫穎而出”，就需要洞見試題的癥結(jié)。但多數(shù)學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)知識(shí)本質(zhì)的掌握僅停留在囫圇吞棗的階段，進(jìn)而導(dǎo)致在遇到相關(guān)試題時(shí)總是迷蹤失路、不知所措。

教師在教學(xué)中要教會(huì)學(xué)生在“題?！敝谐榻z剝繭，進(jìn)一步抓住問題的本質(zhì)。為此，要引導(dǎo)學(xué)生“在變中找到不變”，挖掘出“母題”，“以不變應(yīng)萬變”，實(shí)現(xiàn)“多題一解”。具體表現(xiàn)為：練習(xí)時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生把一個(gè)題目中相近、相似、相關(guān)的知識(shí)不斷進(jìn)行聯(lián)系、整合、拓展，達(dá)到舉一反三、觸類旁通、知類通達(dá)的效果。這種學(xué)習(xí)方式不僅能激發(fā)學(xué)生的聯(lián)想能力，讓學(xué)生掌握“探尋各知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)”的訣竅，同時(shí)能培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)：

［1］ 馬啟銀.“數(shù)”山有路“法”為徑，“學(xué)”海無涯“圖”作舟——2021年新高考Ⅰ卷22題導(dǎo)數(shù)壓軸題賞析［J］.山東教育，2022（10）：5457.

［2］［3］［4］［5］［7］［8］ 中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）［S］.北京：人民教育出版社，2020：1819，19，39，4，7，3.

［6］ 教育部教育考試院.創(chuàng)設(shè)情境 發(fā)揮育人作用 深化基礎(chǔ) 考查核心素養(yǎng)——2022年高考數(shù)學(xué)全國卷試題評(píng)析［J］.中國考試，2022（7）：1419.