王蓉暉

［摘 要］文章結(jié)合學(xué)生“懂而不會”的現(xiàn)象，分析學(xué)生思維障礙的成因，并提出應(yīng)對“懂而不會”現(xiàn)象的策略。

［關(guān)鍵詞］懂而不會；思維障礙；初中數(shù)學(xué)

［中圖分類號］ ? ?G633.6 ? ? ? ?［文獻(xiàn)標(biāo)識碼］ ? ?A ? ? ? ?［文章編號］ ? ?1674-6058（2023）02-0022-03

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生“懂而不會”的現(xiàn)象普遍存在，表現(xiàn)為學(xué)生在學(xué)習(xí)新知識時(shí)，聽懂了教師所講的內(nèi)容，但在做習(xí)題時(shí)舉步維艱。究其原因，一是教師要求的“懂知識”與學(xué)生理解的“懂知識”不是一回事，學(xué)生對知識點(diǎn)僅停留在表層理解，沒有把握問題的本質(zhì)，沒有思考為什么要這樣做，為什么可以這樣做而不能那樣做；二是學(xué)生從聽懂到學(xué)會，要經(jīng)歷三個階段，即套用公式、變式應(yīng)用和靈活運(yùn)用，而學(xué)生的“懂”只是處于套用公式階段，屬于低層次的思維模式。正是由于學(xué)生“懂”的低思維層次與解決問題的高思維層次之間存在巨大的差距，才產(chǎn)生了學(xué)生“懂而不會”的現(xiàn)象。只有深入分析學(xué)生思維障礙的成因，找到突破思維障礙的路徑，才能從根本上消除“懂而不會”的現(xiàn)象。

一、學(xué)生思維障礙形成的原因

（一）教師的一些教學(xué)行為不恰當(dāng)

1.忽視個性差異

每個學(xué)生的成長經(jīng)歷不同，思維方式也不同，如果教師只按自己的思維方式講課，沒有考慮學(xué)生的思維差異，沒有察覺學(xué)生的思維困境，就會導(dǎo)致一部分學(xué)生無法理解教師所講的內(nèi)容，他們在獨(dú)立處理問題時(shí)，就會出現(xiàn)思維障礙。

2.忽視學(xué)生參與

在課堂教學(xué)中，學(xué)生需要動手操作、交流表達(dá)、思維參與等，而其中最重要的就是思維參與。如果教師在講課時(shí)，為了給學(xué)生多講幾道題，而不讓學(xué)生參與教學(xué)活動，那么學(xué)生將不會提出問題，也不會分析、解決問題。

3.忽視教材拓展

教材是重要的載體，但不是唯一的載體。一些教師認(rèn)為教材絕對完美，不可挑戰(zhàn)，把教材中的每一課都照本宣科地講下來，這樣學(xué)生當(dāng)然是興趣索然，思維水平也難以提高。

（二）學(xué)生的一些思維方式不正確

1.思維定式

一些學(xué)生對自己的解題思路深信不疑，不能根據(jù)情況的變化做出靈活的調(diào)整，這種思維定式會產(chǎn)生消極作用，阻礙學(xué)生創(chuàng)新思維的發(fā)展。當(dāng)學(xué)生抱著固有的模式學(xué)習(xí)與思考時(shí)，就缺失了類比、聯(lián)想與遷移等思維，進(jìn)而導(dǎo)致思維障礙。

2.思維離散

一些學(xué)生的學(xué)習(xí)思維不連貫，呈現(xiàn)間斷、分散的狀態(tài)，他們想到了這，就忘了那，不能把知識點(diǎn)串成串、形成面，進(jìn)而不能構(gòu)建知識體系。這種離散式思維會產(chǎn)生消極影響，也是導(dǎo)致學(xué)生產(chǎn)生思維障礙的原因之一。

3.思維惰性

“天才出于勤奮”，學(xué)生在面對問題時(shí)，必須靜下心來思考，如果學(xué)生產(chǎn)生了惰情思維，也會導(dǎo)致思維障礙的產(chǎn)生。

二、學(xué)生思維障礙形成的原理

布魯納的認(rèn)知發(fā)展理論指出，學(xué)習(xí)知識的過程需要學(xué)生利用個體內(nèi)部的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，對“由外到內(nèi)”的輸入信息進(jìn)行整理加工，進(jìn)而將其轉(zhuǎn)化為一種易于接受的形式加以儲存。即學(xué)生要吸納新知識，必須從原有的知識結(jié)構(gòu)中提取相關(guān)舊知與新知進(jìn)行對接。當(dāng)新知與舊知發(fā)生相互作用與聯(lián)系時(shí)，學(xué)生原有的知識結(jié)構(gòu)才能進(jìn)行更新與完善，從而獲得新知，但這個過程并非是一次就能成功的。如果教師的教學(xué)方式不恰當(dāng)，學(xué)生的思維習(xí)慣不好，就會造成學(xué)生原有的知識結(jié)構(gòu)與新知識不相符，使新知與舊知之間沒有連接點(diǎn)，這樣新知就會被排斥在原有認(rèn)知外，或被校正后同化，進(jìn)而導(dǎo)致學(xué)生出現(xiàn)認(rèn)知上的不足或理解上的偏差，這時(shí)就會出現(xiàn)“懂而不會”的現(xiàn)象。

三、突破學(xué)生思維障礙，應(yīng)對“懂而不會”現(xiàn)象的策略

（一）立足認(rèn)知特點(diǎn)，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣

興趣是最好的老師。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)把握學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)和認(rèn)知規(guī)律，在尊重學(xué)生個體差異的基礎(chǔ)上，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，激活學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

［案例1］“平行線的性質(zhì)與判定”教學(xué)節(jié)選

不少七年級學(xué)生對平行線的性質(zhì)與判定感到困惑，為此，筆者設(shè)計(jì)了如下問題，以幫助他們更好地掌握平行線的性質(zhì)與判定。

問題1：平行線有哪些性質(zhì)？平行線有哪些判定方法？

學(xué)生：平行線的性質(zhì)有“兩直線平行，同位角相等，內(nèi)錯角相等，同旁內(nèi)角互補(bǔ)”。

學(xué)生：平行線的判定方法有“同位角相等（或內(nèi)錯角相等，或同旁內(nèi)角互補(bǔ)），兩直線平行”“平行于同一直線的兩條直線互相平行”“在同一平面內(nèi)，垂直于同一直線的兩條直線互相平行”。

問題2：平行線的性質(zhì)與平行線的判定有何區(qū)別與聯(lián)系？

學(xué)生：平行線的性質(zhì)是由平行線推得角之間的關(guān)系，而平行線的判定是由角之間的關(guān)系推得平行線，它們都是探究平行線與角之間的關(guān)系。

問題3：你能否根據(jù)條件進(jìn)行推理，得出結(jié)論，并在括號內(nèi)注明理由？

已知：如圖1所示，[∠1=∠2]，[∠B+∠CDE=180°]。

求證：[AB∥CD]。

證明：∵[∠1=∠BFD]（對頂角相等），又∵[∠1=∠2]，∴[∠BFD=∠2]（等量代換），∴[BC∥DE]（）?！郲∠C+∠CDE=180°]（）。又∵[∠B+∠CDB=180°]，∴[∠B=∠C]，∴[AB∥CD]（）。

學(xué)生：同位角相等，兩直線平行；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；內(nèi)錯角相等，兩直線平行。

問題4：如圖2所示，[AD∥BC]，[E]、[F]分別在[DC]、[AB]的延長線上，[∠DCB=∠DAB]，[AE⊥EF]，[∠F=2∠EAF]。（1）試說明[DC∥AB]；（2）求[∠DEA]的度數(shù)。

學(xué)生：（1）∵[AD∥BC]，∴[∠DCB+∠D=180°]（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)），又∵[∠DCB=∠DAB]，∴[∠DAB+∠D=180°]，∴[DC∥AB]（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）；

（2）∵[AE⊥EF]，∴[∠AEF=90°]，∴[∠F+∠EAF=90°]，∵[∠F=2∠EAF]，∴[∠EAF=30°]，∵[DC∥AB]，∴[∠DEA=∠EAF=30°]（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）。

問題1是讓學(xué)生了解最基本的知識點(diǎn)，問題2是讓學(xué)生厘清知識的易混點(diǎn)，問題3是讓學(xué)生學(xué)會在教師的引導(dǎo)下應(yīng)用平行線的性質(zhì)與判定方法，問題4是讓學(xué)生獨(dú)立解決問題。四個問題層層遞進(jìn)，有序推進(jìn)教學(xué)，使得學(xué)生的興趣被激發(fā)、思維被激活，避免學(xué)生產(chǎn)生思維障礙。

（二）深度剖析概念，建構(gòu)概念體系

對于同一數(shù)學(xué)概念，從各個不同的側(cè)面去描述，有利于學(xué)生多視角認(rèn)識數(shù)學(xué)概念，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)對數(shù)學(xué)對象本質(zhì)特征的深度認(rèn)識。教學(xué)中，教師可引導(dǎo)學(xué)生多視角理解數(shù)學(xué)概念，對數(shù)學(xué)概念全面透視，進(jìn)而使學(xué)生形成完整的概念體系。

［案例2］“角平分線”教學(xué)節(jié)選

層次1：抓住定義，理解其中含義關(guān)鍵詞，如“從一個角的頂點(diǎn)”“射線”“相等的角”。學(xué)生明白，一個角的平分線是一條射線，而不是線段或直線，這條射線的端點(diǎn)就是角的頂點(diǎn)，該射線把原來的角分成兩個相等的角，從而深刻理解角平分線的內(nèi)涵。

層次2：如何用圖形與符號表示角平分線的概念呢？如圖3所示，射線[OC]平分[∠AOB]，所以[∠AOC=∠BOC]，或者[∠AOC=∠BOC=12∠AOB]，或者[∠AOB=2∠AOC=2∠BOC]。這樣學(xué)生對角平分線就有了直觀的印象，還學(xué)會了簡單的推理。

層次3：由角平分線的定義嘗試定義角的三等分線、角的四等分線、角的[n]等分線。角的三等分線就是從一個角的頂點(diǎn)引出兩條射線，把這個角分成三個相等的角；角的四等分線就是從一個角的頂點(diǎn)引出三條射線，把這個角分成四個相等的角；角的[n]等分線就是從一個角的頂點(diǎn)引出[（n-1）]條射線，把這個角分成[n]個相等的角。這是對角平分線概念的延伸與擴(kuò)展。

層次4：把角平分線與軸對稱、角平分線的性質(zhì)有機(jī)結(jié)合，角是軸對稱圖形，它的對稱軸是角平分線所在的直線，角平分線上的點(diǎn)到這個角兩邊的距離相等，構(gòu)成兩個全等直角三角形。等腰三角形的角平分線垂直平分底邊；兩直線平行，一組同位角的平分線互相平行；兩直線平行，一組內(nèi)錯角的平分線互相平行；兩直線平行，一組同旁內(nèi)角的平分線互相垂直。這里對與角平分線相關(guān)的知識點(diǎn)做了全面的總結(jié)與梳理。

學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解層層深入，原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)不斷得到重組與完善，突破了由于概念理解不深入而形成的思維障礙。

（三）重視生成過程，深刻理解本質(zhì)

讓學(xué)生親歷數(shù)學(xué)知識的生成、發(fā)展過程，有利于促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的深度理解，使學(xué)生在知其所以然中實(shí)現(xiàn)對問題的快速解決。

［案例3］“一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用”教學(xué)節(jié)選

不解方程，寫出下列方程的兩根之和與兩根之積。

（1）[3x2+2x-3=0]；（2）[x2+x=6x+7]；（3）[3x2-4x=0]；（4）[4y2-4y+1=0]。

學(xué)生：（1）設(shè)[x1]、[x2]是一元二次方程[3x2+2x-3=0]的兩根，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得[x1+x2=-23]，[x1·x2=-1]；（2）方程化為一般形式，即[x2-5x-7=0]，設(shè)[x1]、[x2]是一元二次方程[x2-5x-7=0]的兩根，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得[x1+x2=5]，[x1·x2=-7]；（3）設(shè)[x1]、[x2]是一元二次方程[3x2-4x=0]的兩根，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得[x1+x2=43]，[x1·x2=0]；（4）設(shè)[y1]、[y2]是一元二次方程[4y2-4y+1=0]的兩根，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得[y1+y2=1]，[y1·y2=14]。

前3題是正確的，第4題是錯誤的，這是因?yàn)榍?題都有實(shí)數(shù)根，而第4題沒有實(shí)數(shù)根。一元二次方程的兩根之和與兩根之積成立的前提是這個方程有實(shí)數(shù)根。學(xué)生為什么會忽略這個前提條件呢？這是因?yàn)樗麄儗τ诟c系數(shù)關(guān)系的來源沒有深刻的理解。一元二次方程根與系數(shù)的來源：當(dāng)[b2-4ac≥0]時(shí)，一元二次方程有兩個實(shí)數(shù)根，分別是[x1=-b+b2-4ac2a]，[x2=-b-b2-4ac2a]，計(jì)算[x1+x2=-b+b2-4ac2a+-b-b2-4ac2a=-ba，][x1·x2=ca]，所以一元二次方程成立的前提條件是[b2-4ac≥0]，因此在計(jì)算一元二次方程兩根之和與兩根之積之前，應(yīng)首先考查根的判別式是否大于或等于0。

教學(xué)中，教師應(yīng)讓學(xué)生親歷知識的生成、發(fā)展過程，使學(xué)生在過程性體驗(yàn)中知其所以然，從而有效地消除學(xué)生的思維障礙。

（四）暴露易錯問題，消除思維定式

設(shè)置易錯問題，在學(xué)生犯錯后，展現(xiàn)學(xué)生的錯誤思維，剖析其成因并糾錯，這是消除思維定式的良好做法。需要注意的是，由于思維定式的影響，學(xué)生不免會陷入誤區(qū)，這就需要教師提醒學(xué)生，讓學(xué)生在自悟中實(shí)現(xiàn)思維的正遷移。

［案例4］“分式方程及其解法”教學(xué)節(jié)選

請利用學(xué)習(xí)過的“分式方程及其解法”解決下列問題：

（1）已知關(guān)于[x]的方程[2mx-1x+2=]1的解為負(fù)數(shù)，求[m]的取值范圍；

（2）若關(guān)于[x]的分式方程[3-2xx-3+2-nx3-x=-1]無解，求[n]的取值范圍。

錯解：（1）解關(guān)于[x]的分式方程得[x=32m-1]，因?yàn)榉匠逃薪?，且解為?fù)數(shù)，所以[2m-1<0]，[m<12]。

（2）分式方程去分母得[3-2x+nx-2=3-x]，整理得[（n-1）x=2]，因?yàn)榉匠虩o解，所以[2n-1=3]，即[n=53]。

剖析：分式方程的解是負(fù)數(shù)，說明分式方程有解，所以必須保證分式方程的根不是增根，即必須讓分式方程的根不能等于-2，否則求出的分式方程的根是增根，分式方程無解。分式方程無解可能有兩種情況，一是分式方程的根是增根，二是變形后的整式方程無解，而上述解答只考慮了一種情況，故錯誤。

正解：（1）解關(guān)于[x]的分式方程得[x=32m-1]，因?yàn)榉匠逃薪猓医鉃樨?fù)數(shù)，所以[2m-1<0，32m-1≠-2，]

所以[m<12]且[m≠-14]。

（2）分式方程去分母得[3-2x+nx-2=3-x]，整理得[（n-1）x=2]，當(dāng)[n-1=0]時(shí)，方程無解，此時(shí)[n=1]；當(dāng)[n-1≠0]時(shí)，解得[x=2n-1]，要使方程無解，則有[2n-1=3]，即[n=53]。綜上，[n=1]或[n=53]。

數(shù)學(xué)是思維的體操。培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的重要目標(biāo)，要實(shí)現(xiàn)這一重要目標(biāo)，突破學(xué)生的思維障礙是必不可少的程序。作為數(shù)學(xué)一線教師，應(yīng)從教與學(xué)兩個方面研究數(shù)學(xué)學(xué)科，在完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)上下功夫，在培養(yǎng)學(xué)生的思維能力上下功夫，真正做到教學(xué)相長，破除學(xué)生思維障礙，消除學(xué)生“懂而不會”的現(xiàn)象。

［ ? 參 ? 考 ? 文 ? 獻(xiàn) ? ］

［1］ ?毛錫榮.數(shù)學(xué)教學(xué)中“懂而不會”現(xiàn)象的成因剖析與對策研究［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2022，61（2）：31-34.

［2］ ?王童童.談高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)中“懂而不會”的應(yīng)對策略［J］.數(shù)學(xué)之友，2020（6）：35，40.

［3］ ?李文東.利用變式教學(xué)破解高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中“懂而不會”現(xiàn)象［J］.福建中學(xué)數(shù)學(xué)，2020（10）：25-27.

（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）