侯衛(wèi)東

摘要：本文以“完全平方公式”教學(xué)為例，從理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)的角度，分別對教學(xué)內(nèi)容、學(xué)情、教學(xué)活動設(shè)計進(jìn)行分析，立足于數(shù)學(xué)思想與方法，落實數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)，創(chuàng)建師生互動、雙向反饋調(diào)控、充滿生機的教學(xué)課堂。

關(guān)鍵詞：“三個理解”教學(xué)實踐教學(xué)思考完全平方公式

章建躍教授提出“三個理解”理論，即理解數(shù)學(xué)、理解教學(xué)、理解學(xué)生。對“三個理解”的把握與落實在一定程度上體現(xiàn)了教師的專業(yè)素質(zhì)和教學(xué)能力。下面筆者以滬科版教材七年級下冊第八章第三節(jié)第二課時“完全平方公式”的教學(xué)活動與反饋為例，談?wù)剛€人基于“三個理解”的實踐與思考。

一、基于理解數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容分析

理解數(shù)學(xué)就是深入研究“教什么”和“學(xué)什么”，理解數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容在整個數(shù)學(xué)知識體系中的地位與作用，研究教學(xué)內(nèi)容所涉及的數(shù)學(xué)知識背景，所蘊含的數(shù)學(xué)思想及方法，以及數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的落實，實現(xiàn)“啟發(fā)學(xué)者，示以思維之道”的教學(xué)。

針對“完全平方公式”的教學(xué)，教材設(shè)置了從多項式的乘法（數(shù)）和圖形面積割補（形）兩個角度得到完全平方公式，再通過例、習(xí)題教學(xué)讓學(xué)生理解和掌握公式，從而實現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)。

基于教學(xué)內(nèi)容的地位和作用，本課時內(nèi)容是在學(xué)生學(xué)習(xí)了有理數(shù)、整式的相關(guān)知識的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，既是前面所學(xué)知識的應(yīng)用和發(fā)展，又是對它們的鞏固和提高。同時，本課時內(nèi)容是后續(xù)學(xué)習(xí)因式分解、分式、二次根式、一元二次方程、二次函數(shù)等知識的基礎(chǔ)，在現(xiàn)實生活中也有廣泛的應(yīng)用。

基于數(shù)學(xué)知識發(fā)生的背景，教材內(nèi)容是在上一節(jié)整式的乘法的基礎(chǔ)上進(jìn)行的進(jìn)一步提煉，通過觀察與歸納，從而得出完全平方公式并加以證明。因此，本節(jié)課的教學(xué)重點是完全平方公式的推導(dǎo)和應(yīng)用。

基于理解教學(xué)內(nèi)容所蘊含的數(shù)學(xué)思想和方法，本節(jié)課從多項式的乘法和圖形面積割補兩個角度得到完全平方公式，讓學(xué)生體會數(shù)形結(jié)合思想。同時，類比完全平方公式的兩種形式，滲透轉(zhuǎn)化與化歸思想。

基于理解教學(xué)內(nèi)容需要落實的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，完全平方公式的教學(xué)通過面積的割補驗證公式，落實直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng)；通過探究活動，使學(xué)生經(jīng)歷知識的發(fā)生、發(fā)展和理解的過程，落實數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)、邏輯推理素養(yǎng)的培養(yǎng)；通過運用公式解決例題和習(xí)題，落實數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)的培養(yǎng)。

二、基于理解學(xué)生的學(xué)情分析

學(xué)生發(fā)展是教學(xué)活動的出發(fā)點和歸宿。理解學(xué)生的重點就是理解學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)和學(xué)習(xí)方法，通過學(xué)情分析預(yù)設(shè)學(xué)生可能存在的學(xué)習(xí)困難，由此思考并設(shè)計能夠調(diào)動學(xué)生原有知識基礎(chǔ)和學(xué)習(xí)經(jīng)驗的問題，設(shè)置能夠降低學(xué)習(xí)難度的活動，思考學(xué)生獲得和理解新知識的合理方式，從而為設(shè)計教學(xué)提供理論支持。

本節(jié)課之前，學(xué)生經(jīng)歷了數(shù)與式的承接，初步實現(xiàn)了代數(shù)的轉(zhuǎn)變，完成了有理數(shù)的概念和運算、代數(shù)式的概念、整式的加減法、冪的運算和整式的乘法、平方差公式等知識學(xué)習(xí)，能夠運用整式相關(guān)法則進(jìn)行計算，并能通過合并同類項進(jìn)行化簡。同時在學(xué)習(xí)多項式乘法和平方差公式的過程中體驗了如何用圖形的面積關(guān)系來說明多項式乘法的法則，有了初步的數(shù)形結(jié)合意識，具備了學(xué)習(xí)的知識性基礎(chǔ)。就學(xué)生而言，前面的學(xué)習(xí)內(nèi)容需要進(jìn)一步強化和鞏固，發(fā)揮這些知識的作用，激發(fā)繼續(xù)學(xué)習(xí)的興趣，同時思維的發(fā)展需要建立新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，具備學(xué)習(xí)的心理性基礎(chǔ)。在前面的學(xué)習(xí)活動中，學(xué)生已經(jīng)具備了一定的分析問題和解決問題的能力，正在由形象思維向抽象思維過渡，具備了學(xué)習(xí)的思維性基礎(chǔ)。

當(dāng)然，也存在一些不利因素，如學(xué)生的邏輯思維較差，對數(shù)學(xué)的認(rèn)識還不夠深刻。由于公式中的字母a，b本身具有廣泛性，尤其是字母a，b是帶有數(shù)字系數(shù)的單項式時，學(xué)生容易忘記將數(shù)字系數(shù)平方，或者做計算時中間項漏乘2倍。因此，本節(jié)課的教學(xué)難點是完全平方公式的推導(dǎo)和把握結(jié)構(gòu)特征。

鑒于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)：知道完全平方公式與多項式乘法之間的關(guān)系，理解、掌握完全平方公式，會用完全平方公式解決簡單問題；經(jīng)歷完全平方公式的探究過程，體驗科學(xué)思維過程與方法，體會數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化及化歸數(shù)學(xué)思想；通過數(shù)學(xué)實驗活動，學(xué)會合作，養(yǎng)成正確的學(xué)習(xí)態(tài)度和自信嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膫€性品質(zhì)。

三、基于理解教學(xué)的活動分析

理解教學(xué)就是對教學(xué)活動中教與學(xué)的主導(dǎo)與主體地位有準(zhǔn)確定位，根據(jù)教學(xué)內(nèi)容分析和學(xué)情分析設(shè)置有效活動，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷知識的發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用過程。因此，理解教學(xué)的落腳點需從“學(xué)什么”轉(zhuǎn)變?yōu)椤霸趺磳W(xué)”，即需要教師設(shè)計有效活動、提出有效問題，啟發(fā)學(xué)生積極思考。

針對教學(xué)目標(biāo)與內(nèi)容，筆者設(shè)置了以下教學(xué)活動。

活動1課前預(yù)熱，提出問題

計算：

①102×98；②699×701；③203 2

教師：上述第①②兩題運用平方差公式很快就可以解決，但是第③題有沒有類似的公式來解決呢？

設(shè)計意圖：前兩個小題可以運用學(xué)過的平方差公式解決，第③題沒有現(xiàn)成的公式可以運用，通過設(shè)置問題障礙，使學(xué)生產(chǎn)生困惑，引起內(nèi)心沖突，激發(fā)學(xué)生產(chǎn)生求知需求，并有具體的思維指向。

課堂反饋：學(xué)生能很熟練地利用平方差公式解決第①②兩題，但在解決第③題時遇到了困難，甚至直接化成203×203來計算。此時，教師應(yīng)適當(dāng)追問，引導(dǎo)學(xué)生積極思考，猜想存在的可能性，引出課題。

活動2創(chuàng)設(shè)情景，引出新知

問題1在中國古代有一位父親攢了一筆錢，想把原來的土地擴大，已知原有的土地是邊長為a的正方形，現(xiàn)在想把土地的邊長擴大b，且擴大后的土地仍然為正方形，那么現(xiàn)在的土地面積是多少？這個問題他難以解決，請你試一試。

師生活動：教師收集學(xué)生的方法，現(xiàn)場展示評價。

方法1大正方形面積=（a+b） 2

方法2大正方形面積=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2

設(shè)計意圖：把教材內(nèi)容進(jìn)行改編，賦予其實際背景，學(xué)生容易理解，也能自然引出要學(xué)習(xí)的新知識。通過問題，讓學(xué)生轉(zhuǎn)變角色，主動學(xué)習(xí)，同時借助于面積計算，使學(xué)生直觀理解公式，體會數(shù)形結(jié)合的思想。

課堂反饋：學(xué)生畫圖思考，尋找解決方案，理解從面積角度探索完全平方公式，為后續(xù)學(xué)習(xí)提供知識基礎(chǔ)和活動經(jīng)驗。

活動3啟發(fā)引導(dǎo)，探究新知

問題2同學(xué)們的結(jié)果基本有兩種：①（a+b）2；②a2+2ab+b2。

因此，得到（a+b）2=a2+2ab+b2。

請從多項式的角度說明等式成立。

設(shè)計意圖：兩種方法表示同一個正方形的面積，從而得到等式，但是這僅僅是猜想驗證，要使結(jié)論上升為公式還需要經(jīng)過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明。從代數(shù)運算的角度用多項式的運算法則證明等式的正確性，使學(xué)生堅定信心，同時培養(yǎng)了學(xué)生的推理能力和證明意識。

課堂反饋：學(xué)生很容易得到等式，能理解大正方形的兩種表示方法。但是，很多學(xué)生缺乏證明意識。因此，教師要適當(dāng)追問，讓學(xué)生認(rèn)識到證明的必要性，養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣。

問題3請同學(xué)們利用（a+b）2=a2+2ab+b2計算（a-b）2的結(jié)果，并類比上一個問題，用求面積的方式驗證等式成立。

師生活動：學(xué)生思考，口述答案，教師展示結(jié)果（如圖2）。

方法1大正方形面積=a2

方法2大正方形面積=（a-b）2+b（a-b）+b（a-b）+b2=（a-b）2+2ab-b2

因此，a2=（a-b）2+2ab-b2

所以，（a-b）2=a2-2ab+b2

設(shè)計意圖：通過應(yīng)用（a+b）2=a2+2ab+b2計算（a-b）2，進(jìn)一步加強代數(shù)變形能力，體會知識的內(nèi)在聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸的意識。用求面積的方法驗證，繼續(xù)滲透學(xué)生數(shù)形結(jié)合意識。

課堂反饋：部分學(xué)生不會把（a-b）2轉(zhuǎn)化成［a+（-b）］2，教師應(yīng)適當(dāng)提示。同時（a-b）2的面積驗證難度也大于（a+b）2的面積驗證難度，教師可以設(shè)置問題梯度，引導(dǎo)學(xué)生合作與討論。

問題4請同學(xué)們用語言敘述這兩個等式。

設(shè)計意圖：鼓勵學(xué)生用語言描述結(jié)論，善于博采眾長，形成自己的看法，有助于學(xué)生從整體上把握公式。

課堂反饋：對學(xué)生而言，用文字語言表達(dá)代數(shù)式或公式存在一定的困難，不少學(xué)生不善于用和、差、積、商表示數(shù)量與運算關(guān)系，喜歡用加、減、乘、除表達(dá)，教師要強調(diào)規(guī)范表達(dá)方式，達(dá)成統(tǒng)一。

活動4明確結(jié)論，強化認(rèn)識

完全平方公式：

（a+b）2=a2+2ab+b2①

（a-b）2=a2-2ab+b2②

請用語言敘述公式。

兩點注意：a，b的廣泛性；結(jié)構(gòu)特征。

設(shè)計意圖：從提出問題到得出公式，學(xué)生經(jīng)歷科學(xué)的思維過程，感受正確的數(shù)學(xué)思維方法，從多角度理解和掌握公式，進(jìn)一步熟悉了數(shù)學(xué)語言。

課堂反饋：教師給出公式，讓學(xué)生觀察、記憶、理解，注意系數(shù)特征，可以讓學(xué)生默寫公式，強化記憶，為下面的學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)。

活動5例題學(xué)習(xí)，知識重構(gòu)

例1計算：①（4m+n）2=；②（3a-2b）2=；③（4x-5y）2=

師生活動：

解：①（3m+n）2=（3m）2+2·（3m）·n+n2=9m2+6mn+n2

（a+b）2=a2+2·a·b+b2

學(xué)生回答，教師示范完成②③題。

設(shè)計意圖：讓學(xué)生及時應(yīng)用新知識解決問題，體會學(xué)習(xí)新知識的必要性。學(xué)生在教師引導(dǎo)下及時交流，共同完成完全平方公式變式基礎(chǔ)上的重構(gòu)。

課堂反饋：學(xué)生基本上能運用公式解決問題，但對于系數(shù)不是1的單項式容易出現(xiàn)錯誤，容易忘記將數(shù)字系數(shù)平方，或者計算時中間項漏乘2倍。對此教師必須要關(guān)注過程，強調(diào)關(guān)鍵點，引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成好的書寫和運算習(xí)慣。

活動6變式訓(xùn)練，知識強化

課堂練習(xí)：

（1）判斷正誤

①（a+b）2=a2+b2；②（a-b）2=a2-b2；③（a-b）2=a2-2ab-b2

（2）計算：①（3x-2y）2=；②2x+12y2=；③（-a-b）2=；④（n+1）2-n2=

（3）計算：2032=

設(shè)計意圖：練習(xí)（1）（2）的設(shè)置既是公式應(yīng)用的延伸，又試圖讓學(xué)生產(chǎn)生質(zhì)疑，培養(yǎng)學(xué)生的批判性思維。練習(xí)（3）的設(shè)置是為了解決課前提出的問題③，進(jìn)一步強化教學(xué)目標(biāo)。

課堂反饋：練習(xí)（1）學(xué)生的做題準(zhǔn)確率較高，學(xué)生對公式的記憶情況較好，練習(xí)（2）的第①②題反饋情況較好，但第③題很多學(xué)生遇到麻煩，教師可以提示學(xué)生將其轉(zhuǎn)化為（a+b）2來計算，第④題學(xué)生運用了完全平方公式和平方差公式兩種方法，都應(yīng)該肯定。練習(xí)（3）可以比較直接計算與運用公式計算兩種方法的優(yōu)劣，讓學(xué)生樹立最簡原則，提高運算品質(zhì)素養(yǎng)。

活動7反饋小結(jié)，回授調(diào)整

師生活動：談?wù)劚竟?jié)課的收獲。

（1）知識小結(jié)（如圖3）

（2）數(shù)學(xué)思想方法小結(jié)：數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸

設(shè)計意圖：小結(jié)不能僅僅停留在知識性內(nèi)容，還應(yīng)關(guān)注數(shù)學(xué)思想方法的小結(jié)，有助于在形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，更深刻地理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，落實核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。

課堂反饋：知識性小結(jié)學(xué)生能順利完成，但數(shù)學(xué)思想方法小結(jié)對學(xué)生來說存在困難，教師可以適當(dāng)點撥，師生共同完成。

活動8知識拓展，思維提升

問題5（1）（a+b+c）2=

（2）（a+b）3=

你能設(shè)計一個幾何圖形解釋它們嗎？

設(shè)計意圖：讓學(xué)生體會線段、面積、體積分別對應(yīng)的代數(shù)式的意義，升華主題，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造意識。

四、幾點思考

（一）從教師和學(xué)生兩個角度進(jìn)行備課

數(shù)學(xué)教育的價值是促進(jìn)學(xué)生思維向高水平、高層次、高質(zhì)量方向發(fā)展。數(shù)學(xué)教學(xué)要基于對教學(xué)內(nèi)容、學(xué)生學(xué)情、教學(xué)活動的理解，從教師角度思考“教什么”“怎么教”“為什么這么教”，從學(xué)生角度思考“學(xué)什么”“學(xué)過什么”“怎么學(xué)”，從而設(shè)計出適合學(xué)生發(fā)展的學(xué)習(xí)情境，實現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)，提高課堂教學(xué)效益。

（二）充分挖掘教材價值，實施單元整體教學(xué)

教師應(yīng)該認(rèn)真研讀課程標(biāo)準(zhǔn)，深入研讀教材，揣摩教材的編寫意圖，體會教材如何承載課程目標(biāo)。不僅要關(guān)注數(shù)學(xué)知識本身，而且要思考知識背后蘊含的數(shù)學(xué)本質(zhì)，包括數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在聯(lián)系、數(shù)學(xué)規(guī)律的形成過程，知識背后的數(shù)學(xué)本質(zhì)、數(shù)學(xué)邏輯和生成途徑。教師要結(jié)合教材內(nèi)容，從生活實例和學(xué)生已有的知識經(jīng)驗出發(fā)，就地取材，把抽象的學(xué)習(xí)內(nèi)容和待解決的問題形象化、具體化、邏輯化，助力學(xué)生形成知識整體結(jié)構(gòu)中的生長中心，設(shè)計“生長式”教學(xué)情境。同時，教師要準(zhǔn)確把握知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，實施單元整體教學(xué)。相對于碎片教學(xué)，單元整體教學(xué)最大的特點在于其整體性，教師在單元教學(xué)的過程中，關(guān)注的不能是某一個知識點或某一節(jié)的內(nèi)容，設(shè)計教學(xué)要基于理解數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的要求，立足整個單元的角度對教材進(jìn)行全方位的解讀，從數(shù)學(xué)知識的生成角度思考學(xué)生獲得數(shù)學(xué)知識的路徑和方法，使學(xué)生完成對整個知識體系所涉及的數(shù)學(xué)概念的把握。

（三）關(guān)注學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的體驗

建構(gòu)主義認(rèn)為，學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中必須通過自身的體驗，才能掌握到發(fā)現(xiàn)和解決問題的方法。因此，教師在教學(xué)活動中設(shè)置學(xué)生熟悉的問題情境，有明確的思維指向，容易找到學(xué)生思維的“最近發(fā)現(xiàn)區(qū)”，通過問題設(shè)計，形成思維梯度，有利于分解教學(xué)難點，突破教學(xué)難點，完成教學(xué)目標(biāo)。教學(xué)活動要引導(dǎo)學(xué)生善于歸納、大膽猜想和驗證，讓學(xué)生經(jīng)歷科學(xué)的思維活動過程，形成科學(xué)的思維品質(zhì)，培養(yǎng)良好的思維素質(zhì)。同時，教師要為學(xué)生提供一定的思維空間，引導(dǎo)學(xué)生善于從多角度思考，學(xué)會自己提出問題、分析問題、解決問題。

（四）在數(shù)學(xué)活動中核心素養(yǎng)的滲透落實

數(shù)學(xué)素養(yǎng)養(yǎng)成是數(shù)學(xué)教學(xué)的終極目標(biāo)。教師一要精心規(guī)劃教學(xué)環(huán)節(jié)，創(chuàng)設(shè)有效教學(xué)情境，使學(xué)生成為學(xué)習(xí)主體；二要突出數(shù)學(xué)思想與方法，鼓勵創(chuàng)造性教學(xué)，滲透數(shù)學(xué)文化，使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值；三要改變學(xué)習(xí)方式，加強學(xué)生合作學(xué)習(xí)，培育學(xué)生數(shù)學(xué)意識，多維度滲透核心素養(yǎng)培養(yǎng)，提高學(xué)生思維水平。理解數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的實質(zhì)就是深刻理解教學(xué)內(nèi)容中所涉及的學(xué)科核心素養(yǎng)，教學(xué)時使數(shù)學(xué)活動和素養(yǎng)落實互相融合、互相促進(jìn)。

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責(zé)任編輯：趙瀟晗