牛德芳

【摘 要】“三位數(shù)乘兩位數(shù)”這個單元結束后，再無整數(shù)乘法的教學，所以在單元復習時，教師不能只定位于對此單元的知識復習和應用，而應以全局視角考慮整數(shù)乘法在小學數(shù)學學習中的作用。具體教學中，教師可以關注單元網(wǎng)絡結構，將所有整數(shù)乘法進行關聯(lián)，促進學生形成遷移類推的能力；結合多元表征的運用，讓學生深入理解整數(shù)乘法的意義，構建出乘法豎式計算的模式；找尋兩種數(shù)量關系的共通點，拓寬學生思路，架構乘法意義下的通用關系模型；將積的變化規(guī)律融合于計算和數(shù)量關系的運用中，深化學生對知識的理解；融合“口算、估算和筆算”形式，提升學生靈活計算的能力。

【關鍵詞】整數(shù)乘法 關注整體 單元復習

一、問題緣起：由一節(jié)課堂實踐引發(fā)的思考

一位教師執(zhí)教了四年級下學期“三位數(shù)乘兩位數(shù)”的單元復習課，以下是這位教師的教學整體流程：

環(huán)節(jié)一：以復習單的形式，同伴交流，闡述“三位數(shù)乘兩位數(shù)”的單元學習內(nèi)容。（教學目標：學生在相互補充中復述了本單元的知識點，包括“三位數(shù)乘兩位數(shù)”的筆算，積的變化規(guī)律，常見的數(shù)量關系。）

環(huán)節(jié)二：完成三道豎式題（其中一題為兩個乘數(shù)均末尾有0），核對答案，引導學生將三道題劃分成兩類。[教學目標：復習三位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算方法，將豎式計算分類（乘數(shù)末尾有0和無0）]。

環(huán)節(jié)三：

題組訓練：

（1）250×8=2000，則25×8=？125×24=？

（2）☆×□=60，則☆×2×□=？☆×2×□×3=？（☆×3）÷（□÷10）=？

（3）根據(jù)長方形的寬與長的成倍變化，求長方形的面積。教學目標：積的變化規(guī)律的綜合應用。

環(huán)節(jié)四：復習數(shù)量關系，并通過學生自編的題目引導學生應用數(shù)量關系解決實際問題。

（“單價、數(shù)量、總價”的關系題目共3題，“速度、路程、時間”的關系題目共2題；教學目標：用常見的數(shù)量關系解決實際問題。）

“三位數(shù)乘兩位數(shù)”這個單元的內(nèi)容主要有筆算三位數(shù)乘兩位數(shù)（乘數(shù)末尾有0和無0）、積的變化規(guī)律、常見的數(shù)量關系等。如果從教師的教學內(nèi)容和達成的教學目標及本單元教材呈現(xiàn)的主要內(nèi)容來看，此教師已經(jīng)完成教學目標。但是，“三位數(shù)乘兩位數(shù)”是整數(shù)乘法的最后一個單元，在數(shù)與代數(shù)領域中有著重要作用，教師在單元復習課時若只是停留在回顧、鞏固和應用這三個環(huán)節(jié)上，那么價值和意義不大，而且只能讓學生的思維停留在低階層次。筆者認為應在整數(shù)乘法知識中尋找聯(lián)結點，構建知識脈絡，基于整體視角，注重體系的建構，重視拓展與應用，助力結構的完善和遷移。

二、叩問思考：對教材文本的解讀和對學情的把握

（一）弄清教材編排的特點，抓準知識邏輯序列

通過梳理不同版本教材（蘇教版、人教版、北師大版和滬教版），筆者發(fā)現(xiàn)各版本教材對于整數(shù)乘法的編排均有不少相同之處?？v向來看，各版本教材中乘法運算的知識布局（無論口算、筆算、估算的計算方式還是實際問題的解決等）具有基于原有經(jīng)驗類比推理學習新知的意圖，而且是循序漸進、自然延伸的；橫向?qū)Ρ?，“三位?shù)乘兩位數(shù)”在各版本教材中均是整數(shù)乘法的最后一個階段。以蘇教版為例，小學階段整數(shù)乘法學習內(nèi)容的具體分布：二年級上學期，內(nèi)容為表內(nèi)乘法；三年級上學期，內(nèi)容為兩、三位數(shù)乘一位數(shù)；三年級下學期，內(nèi)容為兩位數(shù)乘兩位數(shù)；四年級下學期，內(nèi)容為三位數(shù)乘兩位數(shù)。

整數(shù)乘法的知識分散于二至四年級，并且緊密相連。到了五六年級，整數(shù)乘法的知識是學習其他數(shù)學知識的重要基礎，學生不僅要掌握整數(shù)乘法的知識內(nèi)容，還要學會靈活運用這些知識解決問題。所以，對于“三位數(shù)乘兩位數(shù)”的復習課教學，教師不能只著眼于知識鞏固，而應貫穿知識的整體性，幫助學生構建系統(tǒng)的知識體系。

（二）了解學生現(xiàn)行認知起點，準確定位教學重點

為了充分了解學生的現(xiàn)有認知基礎，精準把握學生的學習需要，筆者對學校四年級4個班的所有學生進行了一個前測調(diào)研（有關“三位數(shù)乘兩位數(shù)”這個單元），發(fā)現(xiàn)學生的學情有如下特點：

1.知識梳理呈現(xiàn)單一，不成系統(tǒng)

學生對此單元的知識整理主要分為三類：第一類是對知識的再次摘抄型，即將所學知識進行搬運，重新摘抄；第二類是邏輯紊亂型，即將所學知識謄抄下來，沒有邏輯性；第三類是明晰個性型，即知識整理有獨特的方式，反映出個性化和創(chuàng)造性，但是缺乏關聯(lián)和融通。學生對此單元的知識認識是零散的、淺顯化的，尚未形成知識鏈。因此，“三位數(shù)乘兩位數(shù)”的復習課應該幫助學生深刻理解其本質(zhì)內(nèi)涵，梳理知識體系，動態(tài)理解知識的本質(zhì)屬性。

2.知識應用能力較弱，不夠靈活

學生對此單元的基礎題目掌握較好，而且能夠關注易錯點；但是對于融合性和拓展性較強的題目，學生的靈活運用能力和分析問題的能力較低，綜合能力相對較弱。因此，復習課應該幫助學生打開思路，創(chuàng)設更多應用知識的學習機會，提高學生綜合運用知識的能力。

三、統(tǒng)整籌劃：重設“三位數(shù)乘兩位數(shù)”復習課的目標視角

面對教材文本和編排，是否應該關注相關知識的前沿后伸和類比遷移？面對學生的學情，教師教學時是否要在單元復習課上重拾這個單元每課時已經(jīng)多次鞏固的知識點？這節(jié)復習課的教學目標視角應該落在何處呢？基于上述對教材的剖析和對學生學情的定位，筆者認為“三位數(shù)乘兩位數(shù)”復習課的目標視角應該重設，并思考如下：

（一）目標視角一：兩種模型的建構

1.整數(shù)乘法筆算模型的建構

從兩、三位數(shù)乘一位數(shù)，到兩位數(shù)乘兩位數(shù)，再到三位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算學習，是類比推理的過程，是自然延伸的合理過程。在此基礎上，學生應該能夠抽象出三位數(shù)乘三位數(shù)、四位數(shù)乘四位數(shù)筆算的模型結構并能總結出算法，那么，多位數(shù)乘多位數(shù)的筆算方法也就明晰了。由此來看，整數(shù)乘法筆算模型的建構可以培養(yǎng)學生從整體上把握筆算乘法的內(nèi)涵，提高學生的數(shù)學素養(yǎng)。

2.數(shù)量關系相關的通用模型建構

“單價、數(shù)量、總價”和“速度、路程、時間”兩個數(shù)量關系知識點是小學階段唯一被作為一個課時單獨教學的。兩個數(shù)量關系之間雖說沒有必然的聯(lián)系，但有共通之處：其一是兩個數(shù)量關系均隱含著函數(shù)關系，一個量不變，第二個量的變化會引起第三個量的變化；其二是這兩類數(shù)量關系是乘法意義下的常見數(shù)量關系，若拓展延伸，可以進一步豐富此類型的數(shù)量關系，構建成為“每份數(shù)×份數(shù)=總數(shù)”這樣的乘法意義下的數(shù)量關系的結構模型。

（二）目標視角二：多元表征對整數(shù)乘法筆算的關聯(lián)理解

在整數(shù)乘法筆算的學習過程中，雖然乘數(shù)的數(shù)位不一樣（兩、三位數(shù)乘一位數(shù)，兩位數(shù)乘兩位數(shù)或三位數(shù)乘兩位數(shù)等），但是，學生均可以結合直觀表征（如小棒圖、方格圖和長方形圖，以及點狀圖、面積圖和抽象圖等），借助乘法分配律來理解豎式意義，最后形成數(shù)學化的形式表示，達成從直觀運算向算法運算的過渡。復習課時，教師可以抓住多元表征在不同類型整數(shù)乘法筆算的使用，關聯(lián)共同點，提升學生的思維能力。

（三）目標視角三：計算形式的融合及靈活使用

正確運算、理解算理、方法合理是運算能力的核心要素。運算方式的學習是為了解決生活場景中遇到的不同問題，學生在碰到不同的情境時應該會選擇口算、估算、筆算等合理的計算方式進行計算。所以，本節(jié)復習課的站位不應該只處于筆算，而應該拓展至不同的計算形式，這樣才能讓學生在提升計算能力的同時，還能有直面思考和擇優(yōu)的機會。

（四）目標視角四：“積的變化規(guī)律”融合于計算和應用

作為“三位數(shù)乘兩位數(shù)”這個單元中的一課時，“積的變化規(guī)律”在復習課中的目標應是關聯(lián)于本單元的其他知識點。筆者認為可以關注兩點：一是要緊扣豎式計算來總結積的變化規(guī)律；二是要將其滲透在數(shù)量關系的應用中。

四、重組實踐：“三位數(shù)乘兩位數(shù)”單元復習教學路徑

基于以上教學目標的重設，筆者從結構化的視角出發(fā)，對此單元復習教學進行復盤和重組，開展“三位數(shù)乘兩位數(shù)”的課堂實踐，形成了此類復習課教學的可行性路徑。

（一）縱向梳理：凸顯模型思想的生成，促進知識結構的重建

1.整數(shù)乘法筆算模型的建構

“豎式”算法是解決計算問題的方法，反映的是人們求簡的思路，以及對其具有的“規(guī)定”特征的理解。學生回顧兩、三位數(shù)乘一位數(shù)，兩位數(shù)乘兩位數(shù)和三位數(shù)乘兩位數(shù)的知識，打通其關聯(lián)性，抽象出三位數(shù)乘三位數(shù)和四位數(shù)乘三位數(shù)的模型圖，并梳理出算法。（如圖1）學生在類比中經(jīng)歷了學習的過程，對于整數(shù)乘法的算法和算理會更加明朗，也能從整體上理解筆算的本質(zhì)。

2.乘法意義下的通用模型建構

“三位數(shù)乘兩位數(shù)”這個單元中的兩個重要數(shù)量關系為“單價、數(shù)量和總價”“速度、時間和路程”，這兩個數(shù)量關系其實能夠構建出相同的結構體系。課上，教師可以讓學生在解決問題的過程中感受兩種數(shù)量之間的關系，并有層次地建構出乘法意義下的與數(shù)量關系相關的通用模型結構，將“速度”“單價”整合為“每份數(shù)”，將“數(shù)量”和“時間”整合為“份數(shù)”，將“總價”和“路程”整合為“總量”，那么，兩種數(shù)量關系其實就可以轉(zhuǎn)化為“每份數(shù)、份數(shù)和總量”之間的關系，學生在復習的過程中就有一個更深入的理解。

（二）聚焦重點：重視多元表征的關聯(lián)運用，加深對知識本質(zhì)的理解

筆算屬于程序性知識，學生對筆算的學習是形成經(jīng)驗的過程。為了讓學生理解筆算過程中每一步的意義，教師通常會采用直觀表征的形式強化學生對意義的理解。在小學階段每一次整數(shù)乘法筆算學習的過程中，教師均將多元表征融入其中，但是究其本質(zhì)，每次學習中使用的多元表征都有相關聯(lián)的地方。如圖2所示（其實每種類型的筆算還可以用點子圖、小棒圖等來進行表征，本表格僅以長方形圖的面積來表征）：

（三）變式選擇：關注計算形式的融合，提升學生運算能力

運算能力是構成小學數(shù)學素養(yǎng)的重要成分之一，也是學生理解和應用數(shù)學過程中不可或缺的關鍵能力之一。培養(yǎng)學生運算能力的重點在于理解算理，核心在于根據(jù)不同的問題情境靈活地選擇不同的計算方式?！叭粩?shù)乘兩位數(shù)”這個單元的重點內(nèi)容雖然為筆算，但是，如果把這節(jié)復習課提升為整數(shù)乘法復習的階層，教學內(nèi)容就不能局限于筆算了，而是應該將其與口算和估算相結合，為學生創(chuàng)設運算的不同視域，讓學生在思辨中選擇合適的運算方式。舉個簡單的例子，如圖3所示：

此題不需要豎式計算算出答案，可以通過估算（判斷積的末尾和根據(jù)積的范圍進行判斷），得出正確答案是中間的豎式。

（四）綜合應用：完善積的變化規(guī)律認識，實現(xiàn)從聯(lián)結到拓展的思維結構化

積的變化規(guī)律需要合理而有效地使用，才能發(fā)揮其作用。筆者認為可以將其歸結為兩大部分來使用：一種是計算；一種是在解決問題中找尋變量和不變量的函數(shù)關系。復習課時，教師可以幫助學生提煉出不同的筆算模型，讓學生加深積的變化規(guī)律在此種情況下使用的印象。

另外，在本單元乘法意義模型下兩種數(shù)量關系的使用中，若把這種類型的數(shù)量關系變換成函數(shù)關系，那么，當?shù)谝粋€量不變、第二個量成倍變化時，第三個量也隨之成倍變化，其實，這種變化就可以用積的變化規(guī)律來解釋。由此來看，積的變化規(guī)律除了在常見的運算中使用外，在乘法意義下的數(shù)量關系中也經(jīng)常被靈活使用。

總的來說，基于整體的“三位數(shù)乘兩位數(shù)”單元復習課，應該由點到面、由面到體，給予學生知識學習的立體高位，整體把握整數(shù)乘法（包括筆算、口算和估算）的靈活使用；強化整數(shù)乘法筆算的知識屬性以及關聯(lián)，形成乘法豎式的模型；找尋數(shù)量關系中的融通之處，建構出乘法意義下的數(shù)量關系模型；探索積的變化規(guī)律的使用范圍，重視在“算”中的使用，也在數(shù)量關系中尋找變與不變之處，提升學生的函數(shù)思想意識。