劉煥 邢成云

【摘要】以濱州市的一道選擇壓軸題為基，通過追本溯源與其它相關(guān)考題的探索，揭示考題與教材的關(guān)聯(lián)；通過解題思路的多元分析，知法明理，最后從三個角度給出了教學(xué)啟示.

【關(guān)鍵詞】中考題；解題思路；幾何直觀；教學(xué)啟示

1試題呈現(xiàn)

正方形ABCD的對角線相交于點(diǎn)O（如圖1），如果∠BOC繞點(diǎn)O按順時針方向旋轉(zhuǎn)，其兩邊分別與邊AB，BC相交于點(diǎn)E，F(xiàn)（如圖2），連接EF，那么在點(diǎn)E由B到A的過程中，線段EF的中點(diǎn)G經(jīng)過的路線是（）.

A.線段B.圓弧C.折線D.波浪線

說明本題是2022年濱州市中考第12題，處于選擇題最后一道題的位置，有一定的難度，是一道立足素養(yǎng)、以能力立意、深度考查學(xué)生思維的好壓軸題.

2追本溯源

本題可以看做是源于人教版（2012年版）八年級下冊63頁“實(shí)驗(yàn)與探究”，其內(nèi)容呈現(xiàn)如下：

如圖3，正方形ABCD的對角線交于點(diǎn)O，點(diǎn)O又是正方形A1B1C1O的一個頂點(diǎn)，而且這兩個正方形的邊長相等.無論正方形A1B1C1O繞點(diǎn)O怎樣轉(zhuǎn)動，兩個正方形重疊部分的面積，總等于一個正方形面積的14.想一想，這是為什么？

也可以視為對角互補(bǔ)模型中，90°對角互補(bǔ)模型（如圖4），當(dāng)然這一模型也是四點(diǎn)共圓模型.

3解題思路分析

本題中當(dāng)旋轉(zhuǎn)開始時，點(diǎn)G可以看做是邊BC的中點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點(diǎn)G可以看做是邊AB的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)運(yùn)動到圖2的特殊位置時，可以得到點(diǎn)G是線段OB的中點(diǎn)，可以觀察到這三點(diǎn)共線，且與線段OB垂直，借助幾何直觀，猜測點(diǎn)G在線段OB的垂直平分線上，那么點(diǎn)G經(jīng)過的路線就是線段（如圖2）.

若利用幾何畫板驗(yàn)證一下（如圖5），可以清晰的看出中點(diǎn)G經(jīng)過的路線就是線段.當(dāng)然這都是“幾何直觀”啟發(fā)學(xué)生思考，而給出的基本判斷.發(fā)現(xiàn)該線段是線段OB垂直平分線上的一部分，但這并不能做出線段的判斷，需要進(jìn)行邏輯證明.綜合前面的分析，我們不難想到只要能證明點(diǎn)G在線段OB的垂直平分線上就能解決問題.由此探尋出如下思路.

方法一構(gòu)造中線法

如圖6，連接BG，由題意可知，在Rt△OEF和Rt△BEF中，BG=12EF，OG=12EF得BG=OG，則點(diǎn)G在線段OB的垂直平分線上，所以點(diǎn)G經(jīng)過的路線是線段.這是最基本、最簡單的方法.

方法二四點(diǎn)共圓

如圖6，連接BG，在四邊形OEBF中，根據(jù)∠EOF=∠EBF=90°，∠BEO+∠BFO=180°得，點(diǎn)O，E，B，F(xiàn)在以點(diǎn)G為圓心，OG為半徑的圓上，可知BG=OG，則點(diǎn)G在線段OB的垂直平分線上，所以點(diǎn)G經(jīng)過的路線是線段.這個方法其實(shí)與方法一本源一致.

方法三解析法（構(gòu)造函數(shù)）

建立直角坐標(biāo)系，如圖7，令正方形邊長為2，如圖可知M（0，1），N（1，0），根據(jù)正方形的性質(zhì)，直線MN是線段OB的垂直平分線，直線MN的解析式為y=-x+1.根據(jù)對角互補(bǔ)模型，可知ME=FN，設(shè)E（0，a），F(xiàn)（2-a，0），則點(diǎn)G坐標(biāo)為（2－a2，a2），點(diǎn)G在直線y=-x+1上，所以點(diǎn)G在線段OB的垂直平分線上，所以點(diǎn)G經(jīng)過的路線是線段.

也可直接從函數(shù)關(guān)系切入.借助圖7坐標(biāo)系，可得E（0，a），F(xiàn)（2-a，0），進(jìn)一步求出點(diǎn)G坐標(biāo)為（2－a2，a2），即點(diǎn)G的橫坐標(biāo)x為2－a2，記作x=2－a2，同樣有y=a2，把x，y中的參數(shù)a消去即得y=-x+1，可見，點(diǎn)G的橫、縱坐標(biāo)構(gòu)成一次函數(shù)關(guān)系.這就是解析法的威力，其中隱含了解析幾何“求點(diǎn)的運(yùn)動軌跡方程”的雛形.

方法四瓜豆原理

根據(jù)瓜豆原理，可以看做是“角+直線”的基本模型.

如圖8，點(diǎn)O為定點(diǎn)，點(diǎn)E在線段AB上運(yùn)動，E為主動點(diǎn)，∠EOG=45°為定值，點(diǎn)G為從動點(diǎn)，OE≠OG.則點(diǎn)G與點(diǎn)E的運(yùn)動軌跡相同，都是線段.

點(diǎn)評法1、法2都是利用幾何的方法證明BG=OG，根據(jù)垂直平分線性質(zhì)定理的逆定理，得到點(diǎn)G在線段OB的垂直平分線上，所以點(diǎn)G經(jīng)過的路線是線段.法3是利用解析法（構(gòu)造函數(shù)）的方法，求出線段OB垂直平分線的解析式，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出點(diǎn)G的坐標(biāo)，判斷點(diǎn)G是否在直線上，從而得到點(diǎn)G在線段OB的垂直平分線上.法4是利用“瓜豆原理”的模型來得到點(diǎn)G的運(yùn)動軌跡，這個方法作為客觀性題目無需通過證明，只要通過分析找到相應(yīng)的模型，就可以得到結(jié)論.不過，這是個投機(jī)取巧的方法，也是不講道理的方法，從這個意義上來說，如此考查的信度就低了.

4其它地市相關(guān)考題探索

變式1如圖9，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F(xiàn)是AB邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)D，E分別在AC，BC邊上運(yùn)動，且保持AD=CE.連接DE，DF，EF.在此運(yùn)動變化的過程中，下列結(jié)論：

①△DFE是等腰直角三角形；②四邊形CDFE不可能為正方形；③DE長度的最小值為4；④四邊形CDFE的面積保持不變；⑤△CDE面積的最大值為8.其中正確的結(jié)論是（）.

A.①②③B.①④⑤C.①③④D.③④⑤

分析本題是2009年重慶市中考題，③的證明方法中就可以取DE的中點(diǎn)G并連接，F(xiàn)G的最小值就是DE的最小值，其它結(jié)論的解答略.

變式2如圖10，正方形ABCD的對角線AC，BD交于點(diǎn)O，M是邊AD上一點(diǎn)，連接OM，過點(diǎn)O作ON⊥OM，交CD于點(diǎn)N.若四邊形MOND的面積是1，則AB的長為（）

A.1B.2C.2D.22

分析本題是2021年重慶數(shù)學(xué)中考A卷第9題，這道題可以看做是濱州市這道中考題的一種特殊形式，考察的是圖形的面積問題.

變式3同學(xué)們還記得嗎？圖①，圖②是人教版八年級下冊教材“實(shí)驗(yàn)與探究”中我們研究過的兩個圖形.受這兩個圖形的啟發(fā)，數(shù)學(xué)興趣小組提出了以下三個問題，請你回答：

【問題一】如圖11①，正方形ABCD的對角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)O又是正方形A1B1C1O的一個頂點(diǎn)，OA1交AB于點(diǎn)E，OC1交BC于點(diǎn)F，則AE與BF的數(shù)量關(guān)系為；

【問題二】受圖11①啟發(fā)，興趣小組畫出了圖11③：直線m，n經(jīng)過正方形ABCD的對稱中心O，直線m分別與AD，BC交于點(diǎn)E，F(xiàn)，直線n分別與AB，CD交于點(diǎn)G，H，且m⊥n，若正方形ABCD邊長為8，求四邊形OEAG的面積；

【問題三】受圖11②啟發(fā)，興趣小組畫出了圖11④：正方形CEFG的頂點(diǎn)G在正方形ABCD的邊CD上，頂點(diǎn)E在BC的延長線上，且BC=6，CE=2.在直線BE上是否存在點(diǎn)P，使△APF為直角三角形？若存在，求出BP的長度；若不存在，說明理由.

分析本題是2022年內(nèi)蒙古自治區(qū)中考題，是由人教版八年級下冊教材63頁“實(shí)驗(yàn)與探究”改編而來的，是對教材素材的進(jìn)一步開發(fā)與利用，與濱州這道中考題的命制思路一致，都充分體現(xiàn)了中考題“源于教材、高于教材”[1]的基本定位.

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中對初中階段綜合與實(shí)踐領(lǐng)域的教學(xué)提示為：可采用項(xiàng)目式學(xué)習(xí)的方式，以問題解決為導(dǎo)向，整合數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的知識和思想方法，讓學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度觀察與分析、思考與表達(dá)、解決與闡釋社會生活以及科學(xué)技術(shù)中遇到的現(xiàn)實(shí)問題，感受數(shù)學(xué)與科學(xué)、技術(shù)、經(jīng)濟(jì)、金融、地理、藝術(shù)等學(xué)科領(lǐng)域的融合，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，體會數(shù)學(xué)的科學(xué)價值，提高發(fā)現(xiàn)與提出問題、分析與解決問題的能力，發(fā)展應(yīng)用意識、創(chuàng)新意識和實(shí)踐能力.

這道題也讓我們看到在數(shù)學(xué)解題中即要注重培養(yǎng)學(xué)生的閱讀能力，又要注重數(shù)學(xué)教材中的“閱讀與思考”“實(shí)驗(yàn)與探究”“數(shù)學(xué)活動”的教學(xué).

5兩點(diǎn)商榷

從精益求精的立意審視，本題有兩點(diǎn)值得一提.

5.1本題的示意圖不具備一般性.

示意圖畫成了特殊旋轉(zhuǎn)狀態(tài)，這無形中已經(jīng)暗示了思路，可以用特殊位置法，通過排除獲得答案，這樣以來就把題目的考查意圖給低淺化了.所以說，如此命題值得商榷，應(yīng)該用一般狀態(tài)畫出示意圖，否則考查的意義、價值就打了折扣，其信度也會隨之下降.

5.2波浪線的說法值得考究.

波浪線太生活化了，數(shù)學(xué)上沒有這個概念或說法，如此表述非常不嚴(yán)謹(jǐn)，這個干擾支缺乏科學(xué)性.

6教學(xué)啟示

6.1立足教材，內(nèi)化數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

“教材不僅是課標(biāo)理念的載體，也是課堂教學(xué)的依托，更是學(xué)習(xí)過程中非常重要的課程資源.”這是北京師范大學(xué)周玉仁教授提出的一個重要結(jié)論.

每年的中考題中都不乏課本習(xí)題的影子，在實(shí)際教學(xué)中教師應(yīng)當(dāng)以教材作為起點(diǎn)，有目的地鉆研教材，正確理解教材的編寫意圖，體會教材中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，明確自己在教學(xué)過程中要注意的事項(xiàng)，如此，才能更好的落實(shí)學(xué)科素養(yǎng)培養(yǎng).

6.2基于課標(biāo)，加強(qiáng)幾何直觀教學(xué)

“幾何直觀有助于把握問題的本質(zhì)，明晰思維的路徑.”[2]幾何直觀是2022年版課標(biāo)的加強(qiáng)點(diǎn)，在課標(biāo)中除了這句關(guān)于幾何直觀的功能定位外，還在第四學(xué)段（7～9年級）“學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)”中明確提出了“進(jìn)一步增強(qiáng)幾何直觀”[2]82.這都給了一線教師加強(qiáng)幾何直觀教學(xué)的緣由.的確，用直觀探測思路，用邏輯證實(shí)結(jié)論，這是一個完整推理的閉環(huán)，缺失了幾何直觀的教學(xué)，邏輯推理能力的形成鏈條就會斷裂.本題盡管是一道選擇題，在考場上的信度難以保障，但作為教學(xué)資源就不同了，它自身承載著合情推理與邏輯推理的聯(lián)手功能，就在考量教師如何直面問題開展教學(xué)，如何從解法研究走向教學(xué)研究，在實(shí)踐中不斷體會幾何直觀的育人價值.

6.3選好母題，加強(qiáng)圖形變式教學(xué)

“題不求多，但求精彩.”最年輕的院士孫斌勇說過：“一個問題，它肯定不是孤立的東西，附近有很多知識，把它周邊的知識都要學(xué)明白，理解了這個問題，你才能解決它.”因此，甄別遴選好題目至關(guān)重要，要選擇內(nèi)涵豐富、具有生長力的“好題”，基于此，通過“變式”進(jìn)行整體教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生通過一題多變、一題多解等進(jìn)行多維思維訓(xùn)練，或者改變題目的條件或結(jié)論，把一道題變成一類題，使知識連成串、結(jié)成塊.亦即根據(jù)來源于教材或中考的一個題目或問題，在課堂教學(xué)中注意探尋與這個題目或問題相關(guān)的知識間的前后聯(lián)系和內(nèi)在邏輯，對這個題目不斷進(jìn)行變式或拓展、推廣，完善知識結(jié)構(gòu)、建構(gòu)方法體系、積累基本活動經(jīng)驗(yàn)、學(xué)會數(shù)學(xué)思維，以靈活運(yùn)用所學(xué)的基本知識，舉一反三、融會貫通，從而達(dá)到發(fā)展核心素養(yǎng)的目的.

參考文獻(xiàn)

[1]邢成云.研中考之題，得教學(xué)之勢[M].北京：團(tuán)結(jié)出版社，2021：33.

[2]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2022：8.

作者簡介劉煥（1986—），女，山東濱州人，中學(xué)二級教師;主要從事課堂教學(xué)研究.

邢成云（1968—），男，山東濱州人，中學(xué)正高級教師（二級）；教育部名師領(lǐng)航工程邢成云名師工作室主持人，國家“萬人計(jì)劃”教學(xué)名師，山東省突貢專家，山東省特級教師；主要研究初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué).