尹國萍

【摘要】在教學活動和生活過程中，我們要注重學生動手能力的培養(yǎng)，在數(shù)學教學中學生的動手能力的培養(yǎng)，對于開發(fā)學生的思維有著十分重要的作用[1].通過折紙操作活動，引導學生觀察折痕所形成的角邊關系，幫助學生建立折紙操作與數(shù)學內容的聯(lián)系，可以學會運用數(shù)學的思維去觀察分析，培養(yǎng)學生的動手能力、觀察能力、想象能力和創(chuàng)造性思維能力[3].筆者發(fā)現(xiàn)，折紙對培養(yǎng)學生的團隊合作精神，探究精神和創(chuàng)新精神，培養(yǎng)學生的觀察能力、歸納能力、發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力有明顯的效果.

【關鍵詞】初中數(shù)學；折疊；矩形

1研究背景

在數(shù)學學習中，我們經常會遇到折疊的問題.筆者組織學生做了一份關于折疊的題目，統(tǒng)計了正確人數(shù)，發(fā)現(xiàn)以下兩題錯誤較多.學生如何能更好地把握折疊題呢？如何抓住核心知識？我們如何做到快速解題？

例如 如圖1，在長方形紙片ABCD中．AB＝6，BC＝10，先將紙片折疊，使點A落在BC邊上的點P處，折痕為EF（點E，F(xiàn)分別在AB，AD邊上），則BP長的取值范圍是（）

（A）0＜BP≤6.（B）0＜BP≤10.

（C）2≤BP≤6.（D）2＜BP≤8．

如圖2，正方形ABCD的邊長為3，E為BC邊上一點，BE＝1．將正方形沿GF折疊，使點A恰好與點E重合，連接AF，EF，GE，則四邊形AGEF的面積為（）

（A）210.（B）25.（C）6.（D）5.

筆者認為有些問題如果我們實踐操作一下會更好地理解和解決這類數(shù)學問題.

2數(shù)學課本找折疊

七年級課本上冊第169頁

七年級課本下冊第13頁探究活動

七年級課本下冊第29頁14題

八年級課本上冊第7頁做一做：

（1）任意剪一個三角形，角折疊的方法（如圖3），畫出這個三角形的三條角平分線你發(fā)現(xiàn)了什么？（請與你的同伴交流）

（2）任意剪一個三角形，用折疊的方法（如圖4），找出三條邊的中點，畫出三條中線．你發(fā)現(xiàn)了什么？（請與你的同伴交流）

八年級課本下冊第117頁第5題

八年級課本下冊第121頁合作學習

八年級課本下冊第133頁第15題

九年級課本上冊第108頁課題學習：有關正多邊形的折紙，只用一張長方形的紙片，能做出一個正方形嗎？

例如把長方形紙按圖5折疊，攤開、鋪平后，折痕 ABCD 即構成一個正方形.通過折痕來構造圖形的基本原理是：疊合可以產生全等圖形，由此就能得到些相等的角和相等的邊，為所要構造的圖形提供合適的條件.

下面我們再看一例：如圖6，用一張正方形紙折出一個正三角形.

九年級課本上冊第151頁探究活動

把標準紙（長與寬之比為2）一次又一次對開，按圖疊放起來，你發(fā)現(xiàn)了什么有趣的現(xiàn)象？你能給出數(shù)學解釋嗎？

九年級課本上冊第76頁合作學習

九年級課本下冊第19頁第6題：如圖7，在一張長方形紙片ABCD中，AD =25 cm ， AB =20 cm，點E，F(xiàn) 分別是CD和AB的中點，現(xiàn)將這張紙片按圖示方式折疊，求∠DAH 的大小及EG的長（精確到0.1cm）.

筆者再次翻看6冊數(shù)學課本，找出了以上的折疊活動和折疊題.

3折紙得出的數(shù)學核心知識

通過折紙操作活動，讓學生更直觀和深度地認識了折疊中的邊角關系，常見的基本圖形的本質特征重疊部分為等腰三角形[3]，認識了折疊中常見的圖形之間的全等和相似等關系，[4]面積、對稱性質聯(lián)系在一起[5]．涉及畫圖、測量、猜想證明、歸納等問題，它與代數(shù)、幾何均有聯(lián)系．在解題過程中要充分運用以上結論.借助輔助線構造直角三角形，結合相似性質、銳角三角函數(shù)等知識來解決有關折疊問題[6]如圖8、圖9.

我們接著探索如何折4個角折出弦圖如圖10，開始折的時候我們決定這個很簡單，但是折的時候我們有的成功了，有的并不對，會出現(xiàn)不重合的現(xiàn)象.

我們提出猜想：這個折痕不是任意的，應該有一個確定的量，于是我們開始先對弦圖研究.

研究結論根據(jù)數(shù)學知識推理，△AHE≌△DGH，AH=DG，當折疊時我們先確定折痕的一個點H，另一個折痕的另一個端點G也隨之確定，這樣我們就確定了折痕HG，以此類推，我們成功地折出了弦圖.

讓學生更好地感受到折疊變化過程中的不變性，以及常見的數(shù)學核心知識.折疊問題的實質是圖形的全等變換.

4再次回歸課本

我們對八年級下P117的第5題的圖形進行了實踐操作，我們再一次遇到了折弦圖一樣的問題，我們不能折出一個無縫隙、無重疊的四邊形.于是我們又一次對圖形進行數(shù)學知識的分析.

學生提出疑問：

（1）是不是任何矩形都可以折出如圖11的矩形？

（2）折痕是固定的嗎？

（3）控制什么量可以折出此矩形

研究過程：

我們根據(jù)數(shù)學知識推理得出，我們設矩形的長和寬為AE=a，AH=b，BF=C，根據(jù)△AEH∽△BFE，可得a2=bc，同時b+c是矩形的長，2a是矩形的寬. 我們通過測量和計算，得出AH的長，從而確定了折痕EH.

我們根據(jù)a2=bc，量好a，b，c 的數(shù)據(jù)再進行折疊，由此我們進行實踐折疊，成功地折出了圖形.我們找老師用幾何畫板進行模擬折疊.

結論

（1）對于一個確定的矩形可以折出如圖的矩形，EH和HG長度互換可以折出兩個，但是AH或者DH需要通過計算求得，然后根據(jù)長度進行折疊.

（2）我們也可以控制AH，AE，BF的長度，使其滿足AE2=AH×BF.

發(fā)散可拓展的衍生點，提升學生的思維.學習數(shù)學就是要為學生思維打開搭建平臺.真正提升學生的數(shù)學思維.

在活動中學生體會了折紙的樂趣，更加大膽地去提出問題，從不同的視角去挖掘圖形的特點，創(chuàng)造性的拓展圖形的同時提高了自己 的思維能力.

5展示成果，再次面對折疊題

（1）制定展示方案，貼在黑板上；

（2）學生弦圖等折紙；

（3）學生講題等.

學生的思維從被激活后就活躍于整個課堂.解決折疊問題時，一是要對圖形折疊有準確定位，抓住圖形之間最本質的位置關系，從點、線、面三個方面入手，發(fā)現(xiàn)其中變化的和不變的量，發(fā)現(xiàn)圖形中的數(shù)量關系；二是要把握折疊的變化規(guī)律，充分挖掘圖形的幾何性質.提高數(shù)學思維能力，在實踐的過程中，注重收集學生的折疊作品、數(shù)學知識的深度理解、創(chuàng)新性操作和思維，這些都是在實施過程中最寶貴的內容，也是最實在的經驗之談.包括活動現(xiàn)場照片、作品等.將此素材在教室內進行展示，受同學們熱烈的歡迎.

6結語

陸游曾說過：“紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行.”折紙便是一次實踐的過程，在對于折疊問題時運用折紙的方法有時可以較容易且方便地得出一個答案.在活動中對數(shù)學知識體會更深刻，反過來也用數(shù)學知識來幫助學生更好地進行折疊操作.在折紙的過程中鍛煉了學生的動手操作能力[7]，更在折后的比較，計算、發(fā)現(xiàn)規(guī)律中提高數(shù)學“思維能力”.折紙讓數(shù)學中的折疊題變得更加親和.也可以領悟到時常地去進行作圖與構圖，在不斷地嘗試中發(fā)現(xiàn)新的奧秘.讓學生有一種成就感與喜悅感！數(shù)學學習是數(shù)學思維能力的學習，在吸收數(shù)學知識的同時，更重要的是發(fā)展數(shù)學思維能力，這種能力并非一朝一夕能夠形成.筆者將繼續(xù)研究，進一步完善折紙活動的開發(fā)，讓不同的學生在學習過程中獲得樂趣和成功感.

參考文獻：

[1]肖芳.折疊問題的探究[J].數(shù)理天地（初中版）.2021（06）：8-9.

[2]李二軍.折疊問題的常見求解技巧[J].初中數(shù)學教與學.2022（15）：42-45.

[3]蔡衛(wèi)兵，楊一麗.一道軸對稱試題的“三生三味”[J].中學數(shù)學教學參考.2022（11）：57-60.

[4]江建華.例說中考中的翻折問題[J].數(shù)理天地（初中版）.2022（01）：24-25+23.

[5]霍明霞，耿婭.變化的圖形折疊 不變的數(shù)學思想——2020年中考“折疊問題”考法和命題特色分析[J].中國數(shù)學教育.2021（11）：39-46.