雷應峽

[摘 ?要] 面對新課改的推進與各種教學方法的涌現(xiàn)，教師應緊跟時代的步伐，及時更新教育教學理念，結合學生認知水平與實際需求，因勢利導地制定教學計劃實施教學，提高教學效率. 文章從“借助思維導圖，厘清知識脈絡”“借助微專題，揭示知識本質(zhì)”“借助數(shù)學思想，實現(xiàn)觸類旁通”“借助錯題，反思促進成長”四方面展開闡述.

[關鍵詞] 微專題;思維導圖;數(shù)學思想

新課標明確提出：教師是文化的傳播者，學習的促進者，潛能的開發(fā)者，數(shù)學教學應以培養(yǎng)學生的實踐能力與創(chuàng)新意識為目的，倡導自主、探究與合作學習的教學方式. 教師作為課堂的組織者、引導者與合作者，想要讓學生在原有認知基礎上獲得更好的發(fā)展，必然離不開各種新教育理念的支持.

近年來，隨著信息技術的崛起，各種新型教學方法蜂擁而至，教師應結合學情、教情篩選出合適的教學手段，在有限的時間內(nèi)，最大限度地促進學生的發(fā)展.

借助思維導圖，厘清知識脈絡

思維導圖是一種組織性思維工具，一般以某個主題為核心發(fā)散出相應的自然結構. 學生借助圖象、符號、關鍵詞等，結合大腦容易接受的規(guī)則建立一個基于自我認知的有序發(fā)散的圖形，最終呈現(xiàn)的圖形是學生對思維過程的導向與記錄. 思維導圖在高中數(shù)學教學中應用得非常廣泛，且收效頗豐.

思維導圖具有將單調(diào)知識形象化、零碎知識系統(tǒng)化、抽象知識具體化、復雜知識簡單化、隱性知識顯性化等特點，有利于學生綜合理解知識. 由于個體差異性的存在，每個學生的思維方式、角度、習慣等都有所區(qū)別，因此學生呈現(xiàn)出來的思維導圖不盡相同.

新課改背景下的數(shù)學教學，重在尊重學生的個體差異，通過一定的教學手段促進每一個學生發(fā)展. 教師可從學生呈現(xiàn)出的個性鮮明的思維中，發(fā)現(xiàn)優(yōu)缺點，并給予肯定與點撥，滿足不同學生的發(fā)展需求.

思維導圖與學生的歸納思維有著千絲萬縷的聯(lián)系，歸納思維雖為一種弱抽象形式，卻蘊含著猜想、發(fā)現(xiàn)、提煉的過程，是發(fā)展學生創(chuàng)造意識的基礎. 而演繹思維對揭示知識的內(nèi)部聯(lián)系有著重要作用，因此在知識的歸納整理上，應利用演繹思維將學生腦海中零碎的知識串聯(lián)起來. 思維導圖順應著學生的思維模式，可以增強學生的理解力與記憶力.

思維導圖的應用目的在于優(yōu)化學生的思維，因此它定位為“工具”.既然為工具，自然具有服務性.

例1 已知原點O為拋物線C：y2=4x的頂點，若過原點O作兩條互相垂直的直線分別與拋物線C相交于點E，F(xiàn)，請證明：直線EF恒過定點.

本題的難度系數(shù)不大，但為了深化學生的理解，使其獲得舉一反三的解題能力，筆者決定借助思維導圖與學生一起探討本題.

步驟一，要求學生利用“設k法”，將整個解答思路口述一遍，講明白“設k法”的價值與用途，讓學生初步認識本題的解答過程.

設k為直線EO的斜率，聯(lián)立直線EO的方程（僅含參數(shù)k）與拋物線的方程，可得點E的坐標（該坐標同樣僅含參數(shù)k）;用-替代k，可得點F的坐標. 此時能順利求出直線EF的方程（僅含參數(shù)k），整理EF的方程（整理參數(shù)k），可得其恒過定點.

步驟二，要求學生將以上思維過程用思維導圖表達出來.

如圖1所示，學生借助思維導圖將整個解答思路串聯(lián)在一起，讓解答過程變得清晰、明了. 當然，每一個學生呈現(xiàn)出來的思維導圖不一樣，但表達的核心沒有變化.

事實上，教學中類似于此的素材隨處可見，教師應有意識地利用思維導圖將學生的思維碎片鏈接到一起，讓學生熟悉并熟練應用思維導圖，使它成為輔助學習的一種工具.

借助微專題，揭示知識本質(zhì)

高考復習經(jīng)歷基礎知識梳理階段、專題突破階段與綜合提升階段，其中專題突破階段承擔著“固雙基，揭本質(zhì)”的使命. 這就需要教師“切割”教學內(nèi)容，將其化為多個微專題，實現(xiàn)知識點逐個突破. 小身材、大能量是微專題教學的特點，也是當下應用得比較多的教學手段，尤其是信息技術與多媒體的廣泛應用，使微專題模式越來越豐富，受到學生的認可.

時間短、知識點少、針對性強是微專題教學的特點. 正因微專題涉及的知識容量少，能將知識間的聯(lián)系充分暴露出來，在夯實知識基礎的同時，可以幫助學生建構較好的認知結構，故微專題教學又是實現(xiàn)深度學習、揭示知識本質(zhì)的教學手段.

如關于三角函數(shù)求值域的問題，教師可針對這個問題設置微專題教學，教學內(nèi)容主要包括以下知識：①y=asinx+bcosx（利用輔助角公式，將原式轉(zhuǎn)化為y=Asin（ωx+φ））;②y=asin2x+bsinxcosx+ccos2x（解決此問的核心是先降冪，再引入輔助角）;③y=asin2x+bcosx+c（將問題轉(zhuǎn)化成關于cosx的一元二次函數(shù)）;④y=或y=（反解關于cosx或sinx的問題）;⑤y=sinx+sinxcosx+cosx（若sinx+cosx的值為t，則sinxcosx=，將問題轉(zhuǎn)化成關于t的函數(shù)）.

這樣的微專題教學，主題明確、條理清晰. 隨著上述內(nèi)容的逐一突破，學生對三角函數(shù)求值域問題不僅有了明確認識，還進一步理解了每一種情況下的轉(zhuǎn)化過程，為形成觸類旁通的解答技巧夯實了基礎.

再如恒成立與有解問題的微專題教學：

例2 已知函數(shù)f（x）=x2+m-2x，g（x）=2+x，對任意x∈[-1，2]，恒有x∈[-1，2]，使g（x）=f（x），則m的取值范圍是什么？

變式1：已知函數(shù)f（x）=x2+m-2x，g（x）=2+x，對任意x∈[-1，2]，恒有x∈[-1，2]，使f（x）≥g（x），則m的取值范圍是什么？

變式2：已知函數(shù)f（x）=x2+m-2x，g（x）=2+x，對x∈[-1，2]，f（x）一直位于g（x）的上方，則m的取值范圍是什么？

上述例題和變式的主要區(qū)別是：例題意在研究函數(shù)的值域，而變式意在研究函數(shù)的最值.

變式1比較簡單（略）.

變式2可以等價轉(zhuǎn)化為“f（x）>g（x）對x∈[-1，2]均成立，m的取值范圍是什么？”而“f（x）>g（x）對x∈[-1，2]均成立”即“x2+m-2x>2+x對x∈[-1，2]恒成立”，即“x2+m-3x-2>0對x∈[-1，2]恒成立或m>-x2+3x+2對x∈[-1，2]恒成立”，于是此問可以繼續(xù)轉(zhuǎn)化為“函數(shù)t（x）=x2-3x+m-2，x∈[-1，2]，解t（x）>0”或“函數(shù)h（x）=-x2+3x+2，x∈[-1，2]，解m>h（x）”.

綜上分析，微專題教學的特點在于以點帶面、以小見大，便于學生更加清晰地認識知識本質(zhì)，為形成深度反思提供良好條件. 深度反思的重點在于問題能否遵循邏輯關系而形成合理的問題鏈，能否根據(jù)學生認知水平的高低提供科學的方法.

在實際教學中，有些教師只將目光放在個別問題的解決上，沒有注重引導學生探索知識間的內(nèi)部聯(lián)系，導致學生不能及時深度反思，致使新知無法順利地融入學生的認知結構. 微專題教學看似“微小”實則具備“大容量”，它能很好地揭示知識間的內(nèi)部聯(lián)系，讓學生從聯(lián)系中自主系統(tǒng)地建構認知體系，發(fā)現(xiàn)知識本質(zhì).

借助數(shù)學思想，實現(xiàn)觸類旁通

數(shù)學思想是學科發(fā)展的根本. 數(shù)學教學的根本任務是傳授知識、提煉方法、傳承文化，這就需要教師引導學生將數(shù)學知識串聯(lián)起來，通過一定的數(shù)學思想方法的應用，達到觸類旁通的教學目的. 一般情況下，學生只要掌握了數(shù)學思想方法，就掌握了數(shù)學的核心. 然而在現(xiàn)實教學中，仍有部分教師受傳統(tǒng)教育思想的影響，忽略數(shù)學思想方法的總結與提煉，致使學生缺失數(shù)學思想.

在教學中，教師應著力于數(shù)學思想方法的滲透，帶領學生親歷知識的形成與發(fā)展過程，讓學生在親歷中感受數(shù)學思想方法獨特的魅力.

例3 解關于x的不等式：mx2+（m+1）x+1≥0.

第一步，因式分解得（mx+1）（x+1）≥0. 討論：當m=0，解x+1≥0;當m≠0，解m

x+

（x+1）≥0（一次不等式和二次不等式的區(qū)別）. 第二步，討論m>0與m<0的情況，比較-與-1的大小，獲得解集.

在講解過程中，部分教師討論m>0的情況時直接以-與-1的大小比較進行分類，給出答案：m>1時，x≥ -或x≤-1;m=1時，x∈R;0

有些學生在此環(huán)節(jié)中不明白為什么要對m與1的大小進行比較，也造成部分學生遇到分類討論的問題時，習慣討論參數(shù)與0，1的大小. 事實上，分類討論的第一步就是要弄清楚“討論點”的來龍去脈. 學生只有搞清楚了這一步，才能從真正意義上掌握數(shù)學思想方法，后續(xù)遇到類似問題時才能以不變應萬變.

在解題教學中，教師一定要想方設法讓學生自主提煉數(shù)學思想方法，只有參透數(shù)學思想方法的靈活性，才能將零散的數(shù)學知識串珠成鏈，使問題與結論形成必然聯(lián)系，當學生遇到同類問題時便能觸類旁通、從容應對.

借助錯題，反思促進成長

數(shù)學教學與錯題是相伴相生的關系，學生的思維也在錯誤的生成與糾正中得以發(fā)展. 學生在解題過程中，出現(xiàn)錯誤的主要原因在于舊知體系形成的思維定式影響了新知的建構. 鑒于此，教師可以有針對性地在學生易錯處設計問題，通過點對點的糾錯或試錯的方式提醒學生，避免類似情況再次發(fā)生.

隨著計算機的普及，教師可以引用一些現(xiàn)成系統(tǒng)，將學生的錯題分類整理起來，打印下來后讓學生加強訓練，深化學生對錯誤的認識，讓學生在錯題歸類與反思中不斷提升自身的解題能力，最大限度地發(fā)揮錯題的教學價值.

例4 如圖2所示，已知A，B，C三點位于直線l上，P為l外的一點，若AB=CB=a，∠APB為直角，∠CPB=45°，求·的值（用a表示）.

班上共49名學生，只有12名學生全對，這樣的結果令筆者感到驚訝. 為了深化學生對這部分知識的認識，筆者將一位學生的正確答案投影出來供其他學生參考. 具體解法為：

如圖3所示，以點P為原點，PA所在的直線為x軸，PB所在的直線為y軸建立平面直角坐標系，假設點A（x，0），B（0，y），根據(jù)點B為線段AC的中點，有點C（-x，2y）.根據(jù)已知條件，可得x2+y2=a2，

x-2y=0，解得

x=a，

y=a，因此·=-a2.

為什么本題有那么多學生不會解？學生思維的卡殼點在哪兒？究竟該如何幫助學生突破這個問題？這是本題的教學價值所在. “就題論題”不是目的，讓學生“解一題通一類”才是本題的教學根本. 因此，教師要引導學生整合、轉(zhuǎn)化問題條件，反思錯誤形成的根源，讓錯題成為寶貴的財富.

本題教學可從以下三個層次出發(fā)：

第一層次，一題多解，訓練思維深刻性.

要求學生思考以下幾個問題：①這是一道什么類型的題目，可以用什么方法來解決？②題中涉及哪些有用的條件，具有怎樣的功能？③能否用關系式表示題中的條件？有什么條件無法轉(zhuǎn)化？④反思所列關系式，看看還有什么條件未應用上？⑤你準備用什么方法來解決本題？⑥當初解題失敗的原因是什么？⑦在“形”的基礎上，關于向量類的問題，你有什么應對方法？

第二層次，一題多變，訓練思維廣闊性.

變式1：將原題中的∠CPB=45°換成60°，其余條件均不變.

變式2：將結論·=-a2更換為已知條件，求∠CPB的度數(shù).

變式3：在△ABC中，AB=AC，CB=2，點D位于線段BC上，同時DB=DC，則·的最大值是多少？

第三層次，回顧總結，訓練思維的概括性.

整體回顧解題過程，在類比、歸納中探尋解題規(guī)律與方法，培養(yǎng)學生形成迎難而上的探索精神. 如本題，可回顧如下：①怎樣將“形”的關系轉(zhuǎn)化為“數(shù)”的關系;②哪種解法更簡便？③遇到難題時，該從什么角度分析條件與結論之間存在怎樣的關系？

總之，在新課改背景下，高中數(shù)學教學不再是單純的教授模式，而是學生主體參與的新模式. 教師應通過學習不斷地提升自身的教育理念與專業(yè)水平，只有與時俱進，跟上時代步伐，才能培養(yǎng)出適應時代發(fā)展的創(chuàng)新人才.