余樹寶 王鵬

[摘 ?要] 立體幾何是高考的重要考點(diǎn)之一，問題的解決對(duì)學(xué)生的必備知識(shí)、關(guān)鍵能力以及學(xué)科素養(yǎng)等方面有著較高要求，因此備考復(fù)習(xí)要注重高考真題的教學(xué)實(shí)踐與思考;要研究課程標(biāo)準(zhǔn)，明確備考方向;要關(guān)注重要問題，積累解題經(jīng)驗(yàn);要提升關(guān)鍵能力，發(fā)展核心素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 高考;立體幾何;教學(xué);思考

立體幾何是高中數(shù)學(xué)重要的教學(xué)內(nèi)容之一，兼具高考指導(dǎo)性的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》對(duì)于立體幾何的“教學(xué)提示”為：教學(xué)最主要的任務(wù)是幫助學(xué)生逐步形成空間觀念，認(rèn)識(shí)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，掌握平面上表示空間圖形的方法和技能. 引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出描述基本圖形平行、垂直關(guān)系的命題，逐步學(xué)會(huì)用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言表達(dá)這些命題，直觀解釋命題的含義和表述證明的思路，并證明其中一些命題.鼓勵(lì)學(xué)生靈活選擇運(yùn)用向量方法與綜合幾何方法，從不同角度解決立體幾何問題（如距離問題），通過對(duì)比體會(huì)向量方法的優(yōu)勢(shì)[1].

因此，高考對(duì)立體幾何的考查一般聚焦于空間幾何體中線面平行或垂直的論證、空間角（特別是二面角）的求解等問題，由此來考查學(xué)生的空間想象能力、邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力等關(guān)鍵能力，考查學(xué)生的理性思維和數(shù)學(xué)素養(yǎng).

針對(duì)這一重要考點(diǎn)，筆者近日開展了2022年高考全國乙卷理科數(shù)學(xué)第18題立體幾何問題的教學(xué)，下面以此為例，談?wù)劰P者的教學(xué)過程、設(shè)計(jì)意圖以及教學(xué)思考，供同行參考.

真題再現(xiàn)

如圖1所示，四面體ABCD中，AD⊥CD，AD=CD，∠ADB=∠BDC，E為AC的中點(diǎn).

（1）證明：平面BED⊥平面ACD;

（2）設(shè)AB=BD=2，∠ACB=60°，點(diǎn)F在BD上，當(dāng)△AFC的面積最小時(shí)，求CF與平面ABD所成的角的正弦值.

試題分析

該題的第（1）問是近年來高考高頻考點(diǎn)，考查兩個(gè)平面垂直的判定，考查學(xué)生的邏輯思維能力和空間想象能力. 問題解決的關(guān)鍵是將面面垂直問題先轉(zhuǎn)化為線面垂直問題，再轉(zhuǎn)化為線線垂直問題，滲透著轉(zhuǎn)化與化歸數(shù)學(xué)思想.

第（2）問是本題的難點(diǎn)，考查線面角的求解，有別于往年考查二面角的求解.解決此類問題通常有兩種方法——幾何法和向量法.幾何法求解主要分為兩步——找角和求角，以考查學(xué)生的邏輯思維能力為主;向量法一般是先建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決問題，以考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力為主. 兩種方法各有優(yōu)勢(shì)，但無論用哪種方法，“推理”和“運(yùn)算”都是不可缺少的，所以說推理是數(shù)學(xué)的“命根子”，運(yùn)算是數(shù)學(xué)的“童子功”.

第（2）問若用幾何法求解，先要說明△AFC的面積最小時(shí)，EF⊥BD，再證明∠CFA就是CF與平面ABD所成的角，最后在△AFC中求∠CFA的正弦值. 若用向量法求解，還是先要說明EF⊥BD，確定F點(diǎn)的位置，接著分別以EA，EB，ED為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，寫出需要的點(diǎn)的坐標(biāo)，再求向量和平面ABD的法向量所成的角的余弦值，從而可得直線CF與平面ABD所成的角的正弦值.

教學(xué)過程

美國教育家杜威說過，教學(xué)絕不僅僅是一種簡(jiǎn)單的告訴，教學(xué)應(yīng)該是一種經(jīng)歷、一種體驗(yàn)、一種感悟.為了更加有利于學(xué)生解題經(jīng)驗(yàn)的積累、關(guān)鍵能力的提升和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展，本節(jié)課采用的是基于情境、問題導(dǎo)向的啟發(fā)式、互動(dòng)式、探究式教學(xué).

1. 面面垂直問題

問題1 如何證明兩個(gè)平面垂直？

生1：要證明平面與平面垂直，根據(jù)面面垂直的判定定理，只需證明其中一個(gè)平面經(jīng)過另外一個(gè)平面的一條垂線即可.

追問1 如何證明直線與平面垂直？

生2：要證明直線與平面垂直，根據(jù)線面垂直的判定定理，只需證明這條直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直即可.

設(shè)計(jì)意圖 巧婦難為無米之炊.沒有數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的支撐，就不可能有基本技能和思想方法的形成，也就不可能有解題經(jīng)驗(yàn)的積累.所以數(shù)學(xué)中的概念、原理、性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)必須在復(fù)習(xí)教學(xué)中系統(tǒng)化、深刻化展現(xiàn)出來，要求學(xué)生學(xué)懂弄通，爛熟于心.

追問2 如何證明本題第（1）問中的平面BED⊥平面ACD？

生3：本題可以先證明AC⊥DE，AC⊥BE，從而得到AC⊥平面BED，由此證明平面BED⊥平面ACD.

追問3 你能規(guī)范地書寫出第（1）問詳細(xì)的解答過程嗎？

生4：因?yàn)锳D=CD，∠ADB=∠BDC，且BD為公共邊，故△ADB≌△BDC，故AB=BC. 又E為AC的中點(diǎn)，故AC⊥DE.同理可證AC⊥BE. 因?yàn)镈E∩BE=E，且DE，BE?平面BED，所以AC⊥平面BED. 又AC?平面ACD，所以平面BED⊥平面ACD.

所有學(xué)生獨(dú)立完成，兩位學(xué)生板書，教師點(diǎn)評(píng)并糾正.特別強(qiáng)調(diào)解答過程表述的嚴(yán)謹(jǐn)性、邏輯性和規(guī)范性.如證明AC⊥DE，AC⊥BE后，不能直接得到AC⊥平面BED，應(yīng)該說明DE，BE是平面BED內(nèi)的兩條相交直線.

追問4 第（1）問適合用空間向量法來解決嗎？

生5：第（1）問不太適合用空間向量法來解決，否則過程煩瑣.

教師提醒學(xué)生適合才是最好的.兩種方法要靈活選擇，第（1）問不太適合用空間向量法來解決，所以不要刻意使用.一般來說，空間幾何中平行與垂直的論證問題用綜合幾何法來解決更好，當(dāng)然這種方法對(duì)學(xué)生的邏輯思維能力有較高要求.

設(shè)計(jì)意圖 通過設(shè)置層層遞進(jìn)的問題，一方面幫助學(xué)生復(fù)習(xí)回顧面面垂直、線面垂直的判定定理;另一方面引導(dǎo)學(xué)生剖析本題第（1）問的證明思路——由線面垂直得到面面垂直，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，也能提高學(xué)生的推理論證能力. 同時(shí)，通過解答過程的書寫培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力，提高答題的嚴(yán)謹(jǐn)性、規(guī)范性.

2. 線面夾角問題

問題2 什么叫直線與平面所成的角？

生6：直線與它在平面上的射影所成的角，叫做這條直線與平面所成的角.

教師提醒學(xué)生這是斜線與平面所成的角的定義. 若直線與平面垂直，我們定義它們所成的角為90°;若直線與平面平行或在平面內(nèi)，我們定義它們所成的角為0°. 因此直線與平面所成的角的范圍是0°≤θ≤90°，直線與平面所成的角的正弦值與余弦值均為非負(fù)數(shù).

追問1 對(duì)于本題第（2）問，你是如何解決的？

生7：從方法選擇上來說，我感覺線面角的平面角不容易找到，所以此問用空間向量法來解決更好，即求向量和平面ABD的法向量所成的角的余弦值，即得直線CF與平面ABD所成的角的正弦值.

學(xué)生的選擇要給予肯定，接下來教師順應(yīng)學(xué)生的思路繼續(xù)開展教學(xué)活動(dòng).

追問2 用空間向量法需要建立空間直角坐標(biāo)系，那你是如何建系的？

生8：由（1）知AC⊥DE，AC⊥BE，我覺得以E為原點(diǎn)，分別以EA，EB，ED為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系最好.

追問3 DE⊥BE嗎？

生8：估計(jì)是垂直的.

史寧中教授曾指出：“在大多數(shù)情況下，數(shù)學(xué)的結(jié)果是‘看出來的而不‘證出來的.”生8雖然遇到了問題瓶頸，但他能憑借自己的直觀想象去大膽猜測(cè)，這是值得鼓勵(lì)的. 此處確實(shí)也是解決第（2）問的一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn).教師提醒學(xué)生從題設(shè)中所給的數(shù)據(jù)信息出發(fā)，嘗試證明DE⊥BE.

生9：可以證明DE⊥BE. 由已知得△ABC為正三角形，故BE=.△ADC為等腰直角三角形，故DE=1.又BD=2，故BD2=BE2+DE2，從而可證DE⊥BE.

生9的思路清晰，表達(dá)準(zhǔn)確，教師給予了表揚(yáng).

設(shè)計(jì)意圖 通過以上問題的分析與解決，旨在強(qiáng)調(diào)建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系是用空間向量法解決空間角問題的首要前提. “適當(dāng)”的坐標(biāo)系有利于點(diǎn)、直線方向向量、平面法向量坐標(biāo)的求解以及向量間的坐標(biāo)運(yùn)算，也有利于發(fā)展學(xué)生的直觀想象、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

追問4 建立坐標(biāo)系后（如圖2所示），為了求向量和平面ABD的法向量m的坐標(biāo)，需要寫出哪些點(diǎn)的坐標(biāo)？你能寫出哪些？

生10：我可以寫出A（1，0，0），B（0，，0），D（0，0，1），C（-1，0，0），但點(diǎn)F的坐標(biāo)不知道.

這又是解決第（2）問的一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn).教師提醒學(xué)生從題設(shè)所給的條件“點(diǎn)F在BD上，△AFC的面積最小”中尋求并確定點(diǎn)F的位置.

生11：我認(rèn)為，△AFC的面積等于AC·EF，由于AC=2是確定的，所以當(dāng)EF的長最小，即EF⊥BD時(shí)，△AFC的面積最小. 于是在直角三角形DEB中，DF==，故F是DB的四等分點(diǎn)，于是點(diǎn)F的坐標(biāo)為0

，

，.

生11回答得很有條理，邏輯性強(qiáng)，教師給予了表揚(yáng).

追問5 如何求向量和平面ABD的法向量的坐標(biāo)？

生12：=1

，

，. 設(shè)平面ABD的法向量m的坐標(biāo)為（x，y，z），則由m⊥，m⊥得m·=0，m·=0. 又=（-1，，0），=（-1，0，1），故-x+

y=0，

-x+z=0，取x=1，得m=1

，，1.

追問6 如何求直線CF與平面ABD所成的角的正弦值？

生13：設(shè)直線CF與平面ABD所成的角為θ，向量和平面ABD的法向量m所成的角為φ，則sinθ=

cosφ

==.

學(xué)生在這一步運(yùn)算中，往往結(jié)果容易出錯(cuò)，教師強(qiáng)調(diào)準(zhǔn)確性很重要，提醒學(xué)生要細(xì)心.

追問7 為什么sinθ=

cosφ

，有哪位同學(xué)能解釋一下嗎？

生14：直線與平面所成的角的范圍為0°≤θ≤90°，而直線的方向向量與平面的法向量所成的角的范圍是0°≤φ≤180°，又直線與平面所成的角θ和直線的方向向量與平面的法向量所成的角φ或其補(bǔ)角π-φ“互余”，所以直線與平面所成的角θ的正弦值和直線的方向向量與平面的法向量所成的角φ的余弦值的絕對(duì)值相等，即sinθ=

cosφ

.

設(shè)計(jì)意圖 通過以上問題的分析與解決，旨在讓學(xué)生積累空間角的求解經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng). 提醒學(xué)生在運(yùn)算求解過程中，既要注重運(yùn)算路徑的合理性、運(yùn)算速度的敏捷性，更要注重運(yùn)算結(jié)果的準(zhǔn)確性.

問題3 若第（2）問不用向量法，改用幾何法可以解決嗎？解決問題的關(guān)鍵是什么？

生15：用幾何法可以. 問題解決的關(guān)鍵是“找到”或“作出”直線CF與平面ABD所成的角的平面角，即找到直線CF與其在平面ABD上的射影所成的角.

追問1 直線CF在平面ABD上的射影在哪個(gè)位置？你能找到嗎？

這是用幾何法求空間角的關(guān)鍵點(diǎn)，也是難點(diǎn)，考驗(yàn)學(xué)生的空間想象能力和邏輯思維能力，此時(shí)教師引導(dǎo)學(xué)生去思考.

生16：根據(jù)前面的分析，BD⊥平面ACF. 若過點(diǎn)C作CM⊥AF，垂足為M，則易證CM⊥平面ABD. 于是直線CF在平面ABD上的射影就是直線AF，故直線CF與平面ABD所成的角的平面角是∠CFA.

追問2 接下來，如何求∠CFA？

生17：這個(gè)問題簡(jiǎn)單. 在△ACF中，AC=2，不難求出AF=CF=，利用余弦定理可得cos∠CFA=-，于是CF與平面ABD所成的角的正弦值為.

追問3 你能分別用向量法和幾何法規(guī)范寫出第（2）問的解答過程嗎？

學(xué)生梳理解答思路，書寫詳細(xì)的解答過程，教師給予點(diǎn)評(píng)與糾正，再次強(qiáng)調(diào)語言表達(dá)的邏輯性、書寫的規(guī)范性.

設(shè)計(jì)意圖 通過上述問題的分析與解決，一方面提醒學(xué)生用幾何法解決空間角問題也有它的有效性和優(yōu)越性，優(yōu)點(diǎn)在于“求角”運(yùn)算量小，難點(diǎn)在于“找角”思維量大;另一方面強(qiáng)調(diào)一題多解對(duì)優(yōu)化解題路徑、發(fā)散數(shù)學(xué)思維都非常重要.

問題4 通過本節(jié)課的教學(xué)，你對(duì)立體幾何問題的解決有什么心得？

設(shè)計(jì)意圖 旨在讓學(xué)生去回顧本節(jié)課的教學(xué)過程，總結(jié)、歸納本節(jié)課涉及的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想方法和基本數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，厘清面面垂直的證明和線面角的求解路徑，體會(huì)幾何法與向量法適用的問題情境和各自的解題優(yōu)勢(shì)，并能在以后的解題中靈活應(yīng)用.

教學(xué)思考

1. 研究課程標(biāo)準(zhǔn)，明確備考方向

研究是有效教學(xué)的前提. 《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020修訂）》是高考命題的綱領(lǐng)性文件，它對(duì)高中階段的學(xué)業(yè)要求做了明確的闡述.備考教學(xué)對(duì)于立體幾何要緊緊圍繞空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及其表面積、體積，空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系（尤其是平行與垂直）及其夾角、距離等問題開展教學(xué)，注重學(xué)生空間觀念的形成，聚焦學(xué)生對(duì)重要數(shù)學(xué)概念、定理、方法、思想的理解和應(yīng)用，指導(dǎo)學(xué)生會(huì)用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言表示空間圖形、表達(dá)位置關(guān)系、表述解題思路，會(huì)用向量法研究空間圖形的位置關(guān)系和度量關(guān)系，注重立體幾何的基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性.

2. 關(guān)注重要考點(diǎn)，積累解題經(jīng)驗(yàn)

問題是數(shù)學(xué)的心臟.縱觀歷年全國卷高考試題，不難發(fā)現(xiàn)，高考對(duì)立體幾何的考查主要集中于直線與平面、平面與平面平行和垂直的論證及空間角的求解（尤其高頻考查垂直的論證、二面角的求解）. 因此在備考教學(xué)中，大家要突出重要題型的解題教學(xué)，要注重例題選擇的典型性、代表性，注重學(xué)生課堂參與的積極性、主動(dòng)性，注重問題解決方法的規(guī)律性、多樣性，特別要注重?cái)?shù)學(xué)本質(zhì)、通性通法. 鼓勵(lì)學(xué)生靈活選擇運(yùn)用向量法與幾何法，從不同角度解決立體幾何問題（如距離問題），通過對(duì)比體會(huì)兩種方法的共性和差異.

3. 提高關(guān)鍵能力，發(fā)展核心素養(yǎng)

學(xué)科素養(yǎng)是育人價(jià)值的體現(xiàn). 關(guān)鍵能力是認(rèn)識(shí)問題、分析問題、解決問題應(yīng)具備的能力，是學(xué)科素養(yǎng)的細(xì)化.在立體幾何教學(xué)中，教師要重點(diǎn)提升學(xué)生的空間想象、邏輯思維和運(yùn)算求解能力，以此來發(fā)展學(xué)生的直觀想象、邏輯推理和運(yùn)算求解等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng). 如通過線面平行或垂直的論證、空間角的平面角的尋找來發(fā)展學(xué)生邏輯推理和直觀想象素養(yǎng);通過空間幾何體的表面積、體積及空間角、距離的計(jì)算來發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng). 在教學(xué)中，教師要?jiǎng)?chuàng)設(shè)合適的情境、問題，引發(fā)學(xué)生獨(dú)立思考與合作交流，提升學(xué)生的關(guān)鍵能力，發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

[1] 中華人民共和國教育部. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）[M]. 北京：人民教育出版社，2020.