摘 要：電容器是高中物理中非常重要的元件，也是高中物理教學(xué)的重難點(diǎn)。電容器在交流電路和直流電路中都會出現(xiàn)，需要從這兩方面考查含容電路的命題和解題策略。電容器在交流電路中相當(dāng)于一個電阻，再結(jié)合其他物理量的變化來進(jìn)行電路動態(tài)分析；在直流電路中相當(dāng)于斷路，和電容器串聯(lián)電阻相當(dāng)于導(dǎo)線，電容器兩端電壓等于并聯(lián)支路兩端電壓，再分U不變和Q不變來對電路進(jìn)行動態(tài)分析。

關(guān)鍵詞：含容電路；交流電路；直流電路；動態(tài)分析

電容器是高中物理教學(xué)過程中非常重要的一個元件，魯科版在新版教材物理必修第三冊中把“科學(xué)探究：電容器”作為學(xué)生分組實(shí)驗(yàn)來處理，可見電容器在高中物理的重要性，在高考命題上出現(xiàn)電容器的概率也將變大。因此，理清含容電路的命題思路，找到相應(yīng)的解題策略是至關(guān)重要的。電容器既可在交流電路也可在直流電路中出現(xiàn)，以下我們就從這兩方面出發(fā)來進(jìn)行含容電路的討論。

一、電容器在交流電路中的應(yīng)用

電容器在交流電路中相當(dāng)于一個電阻，阻值與fC成反比。電容的作用：通交流、隔直流、通高頻、阻低頻。命題上可以從三個角度出題：電路的頻率和電容器的電容都不變，其他電阻發(fā)生變化；電路中的頻率發(fā)生變化；電容器的電容發(fā)生變化。

以下就從這三個角度闡釋電容器在交流電路中的命題和解題策略，并用例題解析來加深理解。

（一）電容器在交流電路中時，電路的頻率和電容器的電容都不變，其他電阻發(fā)生變化，這時電容器的阻值是沒有發(fā)生變化的，等效為一個定值電阻，再用程序法來分析電路中的動態(tài)變化情況。

（二）電容器在交流電路中時，其他條件都不變，電路的頻率發(fā)生變化，把電容器在交流電路中看成一個電阻，這個電阻阻值隨著頻率變大而變小，再用程序法來分析電路中的動態(tài)變化情況。這種情況又分為兩種：1.電路中沒有電感線圈；2.電路中有電感線圈。

電路中沒有電感線圈，當(dāng)電路的頻率發(fā)生變化時，就電容器所等效的電阻發(fā)生變化，直接用程序法分析電路就可以。

例題如下：（多選題）如圖1所示，燈泡和電容器串聯(lián)，并連接在低壓交流電源的兩端，當(dāng)?shù)蛪航涣麟娫吹念l率減小時（ ）

A．電壓表的示數(shù)將會減小

B．電流表的示數(shù)將會減小

C．燈泡將會變暗

D．燈泡將會變亮

答案：BC

解析：因?yàn)殡娫吹念l率減小，根據(jù)公式可知，電容器等效電阻將會增大，電流將會減小，燈泡兩端電壓減小，電壓表示數(shù)會變大，燈泡功率減小，燈泡會變暗，故B、C兩項(xiàng)正確。

2.電路中有電感線圈，當(dāng)電路的頻率發(fā)生變化時，電感線圈等效的電阻也發(fā)生變化，電感線圈的等效電阻與fL成正比，接著用程序法來分析電路。

例題如下：如圖2所示，讓三只完全相同的燈泡M、N、P分別和電容器C、電感線圈L、電阻R串聯(lián)，接著一起并聯(lián)到220V.50Hz的交流電源中，看到三只燈泡的亮暗程度剛好一樣．若保持交流電源的電壓有效值不變，將交流電源的頻率變小到45Hz，則可以觀察到的現(xiàn)象是（ ）

A．三只燈泡亮度均變暗

B．三只燈泡亮度不變

C．M變暗、N變亮、P亮度不變

D．M變亮、N變暗、P亮度不變

思路分析：交流電源的頻率變小到45Hz，根據(jù)電阻在交流電路中阻值不隨頻率變化、電感線圈、電容器在交流電路中的阻礙作用的不同，來判斷通過三只燈泡的電流如何變化．

答案：C

解析：因?yàn)槿菘?、感抗、電阻與交流電路的頻率大小的關(guān)系，可知交變電流頻率變小，電壓U不變，電阻R不變，則P不變；感抗變小，則N變亮；容抗變大，則M變暗，所以C正確。

（三）電容器在交流電路中時，其他條件都不變，電容器的電容發(fā)生變化，電容器等效的電阻隨著電容發(fā)生變化，再用程序法分析電路中的動態(tài)變化情況。

舉例說明：如圖3所示，一個正方形線圈abcd，邊長L=20cm，匝數(shù)N=200匝，在繞著垂直于磁場的對稱軸OO′在勻速地轉(zhuǎn)動，磁場為勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=0.10T，角速度ω=10πrad/s，發(fā)現(xiàn)兩只燈泡均正常地發(fā)光。下列說法正確的是（" ）

A.如果減小線圈轉(zhuǎn)動的角速度ω時，感應(yīng)電動勢的最大值Em將不變

B.假如從圖中位置開始，則線圈感應(yīng)電動勢的瞬時值表達(dá)式為e=8πcos10πt（V）

C.如果減小電容器C兩個極板間的距離時，燈泡L1將會變暗

D.如果電感線圈L插入鐵芯時，燈泡L2將會變亮

答案：B

解析：根據(jù)公式Em=NBωS可得減小線圈轉(zhuǎn)動的角速度ω時，感應(yīng)電動勢的最大值Em將減小，故選項(xiàng)A錯誤；根據(jù)公式Em=NBωS就可以得線圈感應(yīng)電動勢的最大值：Em=200×0.1×0.04×10πV=8π（V），因?yàn)閺木€圈平面垂直于中性面開始計(jì)時，所以線圈感應(yīng)電動勢瞬時值的表達(dá)式：e=Emcosωt=8πcos10πt（V），故選項(xiàng)B正確；減小電容器C兩個極板間的距離時，根據(jù)平行板電容器的決定式可知電容器的電容C增大，則電容器的等效電阻將會減小，就會使流過燈泡L1的電流將增大，根據(jù)功率公式可知燈泡L1就會變亮，故選項(xiàng)C錯誤；電感線圈L插入鐵芯時，即會增大了它的自感系數(shù)，電感線圈的感抗變大，則流過燈泡L2的電流將會變小，根據(jù)功率公式就會知道燈泡L2功率變小，燈泡將會變暗，故選項(xiàng)D錯誤。

二、電容器在直流電路中的應(yīng)用

電容器在直流電路中，我們用三句話總結(jié)它的作用：電容器在直流電路中相當(dāng)于斷路[1]；與電容器串聯(lián)的電阻可以相當(dāng)于一個電阻為零的導(dǎo)線；電容器兩端的電壓可以認(rèn)為和與之并聯(lián)的支路兩端的電壓相等，如果電容器直接和電源串聯(lián)并且沒有其他支路時，電容器兩端的電壓可以認(rèn)為直接等于電源電動勢[2]。

我們知道了電容器在直流電路中的作用之后，電容器在直流電路中的命題可以從以下兩個方面展開：在直流電路中，開關(guān)閉合和斷開瞬間，電容器的充放電電流對電容總電流的影響；在直流電路中，開關(guān)閉合穩(wěn)定之后，電容器的參數(shù)變化造成的動態(tài)變化分析。以下就從這兩個方面闡釋電容器在直流電路中的命題和解題策略，并用例題解析來加深理解。

（一）在直流電路中，先分析電路的導(dǎo)通情況，電阻的串并聯(lián)關(guān)系，電容器在直流電路中相當(dāng)于斷路；再根據(jù)電容定義式C等于Q除U，判定電容器上電荷量的變化。

情況1：在開關(guān)閉合瞬間，其他直流部分電流馬上穩(wěn)定，而電容器所在支路電流先比較大后逐漸變小，影響到干路上的電流也逐漸變小。

例如：如圖4所示的電路中，直流電源電動勢為E，S為開關(guān)，M、N為兩個完全相同的燈泡，和理想電容器C。下列說法中正確的是（" ）

A．閉合開關(guān)S的瞬間，M中有電流通過，N中沒有電流通過

B．閉合開關(guān)S的瞬間，M、N中均有電流流過，且最終大小相等

C．?dāng)嚅_開關(guān)S的瞬間，M中電流將會反向，N中仍沒有電流

D．?dāng)嚅_開關(guān)S的瞬間，M、N中瞬時電流大小相等

答案：D

解析：閉合開關(guān)S的瞬間，電流突然增大，M、N均有電流流過，但平穩(wěn)后，M中仍有電流，N中沒有電流，故選項(xiàng)AB錯誤；斷開S的瞬間，電流突然減小，M、N與電容C組成一個閉合回路，兩個燈泡串聯(lián)，它們有瞬時的電流，且大小會相等，故選項(xiàng)C錯，D對。

情況2：在開關(guān)斷開瞬間，電容器兩端的電壓發(fā)生變化，這時又有兩種情況1.電容器和電源斷開，有其他閉合通路讓電容器放電，和電容器串聯(lián)的干路上過的電荷量就是之前穩(wěn)定電壓時電容器儲存的電荷量，如果有支路，則通過兩條支路的電荷量總和等于總電荷量，兩支路電荷量之比和兩支路電阻成反比。

2.假如是某一個支路斷開，則電容器兩端的電壓發(fā)生變化，如果電容器和電源是直接串聯(lián)的，則電路中沒有電流，串聯(lián)的其他電阻包括內(nèi)阻不占電壓，則電容器兩端電壓等于電動勢；如果是和電容器并聯(lián)的支路發(fā)生變化，重新計(jì)算支路兩端電壓，把變化后穩(wěn)定的電壓減去之前穩(wěn)定時的電壓得到電容器兩端電壓的變化量，就可以求得電容器一個極板所帶電荷量的變化量，則就會知道通過和電容器串聯(lián)電阻的電荷量。

例題：電路如圖5所示，已知電源電動勢E=6V，內(nèi)阻r=1Ω，電容器的電容C=4μF，電阻R1=2Ω，R2=3Ω，R3=7.5Ω?，F(xiàn)閉合S1，待電路穩(wěn)定。

（1）求電容器的帶電量Q；

（2）再閉合S2，求從閉合S2直到電路再次穩(wěn)定的過程中通過P點(diǎn)電荷量ΔQ。

答案：（1）1.2×10—5C；（2）1.92×10—5C

解析：（1）閉合S1，斷開S2，穩(wěn)定時R3中無電流通過，據(jù)閉合電路歐姆定律可得電流I和電容器兩端的電壓等于R2兩端電壓U2等于IR2，電容器的帶電量為Q等于CU2，聯(lián)立解得Q=1.2×10—5C

（2）閉合S2，當(dāng)電路穩(wěn)定后，R1與R2串聯(lián)后再與R3并聯(lián)，可得外電路總電阻，再據(jù)閉合電路歐姆定律可得電流I，電容器兩端的電壓等于R1兩端電壓，電容器的帶電量為Q1等于CU1，電容器上極板從帶正電變?yōu)閹ж?fù)電，故通過P點(diǎn)的電荷量為ΔQ等于Q加Q1，聯(lián)立解得ΔQ=1.92×10-5

（二）在直流電路中，開關(guān)閉合穩(wěn)定后，電容器的參數(shù)發(fā)生變化造成電容器的動態(tài)變化進(jìn)行的分析。這種我們分為兩種類型[3]：分別是U不變和Q不變。不管是哪張類型，我們都可以用以下6步完成電容器動態(tài)分析的所有題型：

1.根據(jù)平行板電容器的決定式C等于εS除4πkd，如果插入介質(zhì)則ε就變大（空氣的ε等于1，介質(zhì)的ε都大于1），但是如果插入的是金屬板那不是變化ε而是讓d變小，還可以移動上下板改變S和d，根據(jù)公式判斷電容C的變化[4]。

2.由電容的定義式C等于Q除于U來判斷兩種情況動態(tài)變化：①如果電容器和電源或支路斷開，則Q不變，根據(jù)公式判斷U的變化；②如果電容器和電源或支路一直相連，則U不變，根據(jù)公式判斷Q的變化，繼而判斷充電或放電電流的方向。

3.根據(jù)平行板電容器中間形成勻強(qiáng)電場E等于U除d，判斷場強(qiáng)E的變化，如果有液滴或小球懸浮在板間，說明二力平衡，根據(jù)E的變化，就可以判斷液滴或小球的運(yùn)動方向，再根據(jù)運(yùn)動過程中電場力做正功還是負(fù)功，由電場力做功等于電勢能的改變量來判斷小球電勢能的變化。這里有一個特例需要注意：當(dāng)Q不變的情況下，變化d，E保持不變，因?yàn)镋等于U除d，所以E等于除。

4.若小球被固定在平行板間的N點(diǎn)，若B板接地，則先判斷N點(diǎn)和B板的電勢差U等于Ed，若上式無法判斷，則在U不變的情況下，B板接地，A板的電勢也是不變的，就可以判斷A板和N點(diǎn)的電勢差U=Ed。

5.由NB兩點(diǎn)間電壓等于N和B兩點(diǎn)間的電勢差，就可以判斷N點(diǎn)電勢的變化；或者根據(jù)A板電勢不變，由AN間的電壓等于A點(diǎn)和N點(diǎn)間的電勢差來判斷N點(diǎn)電勢的變化。

6.最后用電勢能等于電荷與電勢的乘積來判斷小球電勢能的變化。

我們來舉例說明一下：電動勢為E的直流電源（內(nèi)阻不計(jì)）與平行板電容器相連接，電容器下極板接地，靜電計(jì)與電容器上極板相連，靜電計(jì)帶走的電荷量很少，可以被忽略?，F(xiàn)有一帶正電小球被固定于電容器的中間。如果將平行板電容器的下極板豎直向下移動一點(diǎn)距離，則（" ）

A．靜電計(jì)指針的張角將會變大，上極板所帶電荷量將會減少；

B．平行板電容器的電容將會變大，上極板所帶電荷量將會變多；

C．若開關(guān)S先閉合，再將開關(guān)S斷開，又讓下極板向下移動一點(diǎn)距離，則帶電小球所受電場力不變

D．若開關(guān)S先閉合，再將開關(guān)S斷開，又讓下極板向下移動一點(diǎn)距離，則被固定的帶電小球的電勢能將變小

答案：C

解析：A．由于電容器連接電源，兩端電壓不變，則靜電計(jì)兩端的電壓也不變，故靜電計(jì)的張角不變，故A錯誤；

B．當(dāng)電容器的下極板向下運(yùn)動時，根據(jù)平行板電容器決定式可知，當(dāng)d變大時，電容C將變小，上極板所帶正電荷，電荷量將會減少，故B錯誤；

C．若開關(guān)S先閉合，再將開關(guān)S斷開，則電容器所帶的電荷量Q不變，又讓下極板向下移動一點(diǎn)距離，則電容器間的電場強(qiáng)度E等于4πkQ除εS，其大小是不變的，故帶電小球所受的電場力也是不變的，故C正確。

D．根據(jù)上面分析可知平行板電容器間的場強(qiáng)不變，N點(diǎn)與下極板距離變大，則電勢差增大，N點(diǎn)的電勢變大，故帶正電的小球在該處的電勢能變大，故D錯誤。

結(jié)束語

電容器在交流電路和直流電路中都會出現(xiàn)，文章從這兩方面考察了含容電路的命題和解題策略。電容器在交流電路中相當(dāng)于一個等效電阻，再結(jié)合其他物理量的變化來進(jìn)行電路動態(tài)分析；電容器在直流電路中相當(dāng)于斷路，和電容器串聯(lián)電阻相當(dāng)于一個阻值為零的導(dǎo)線，電容器兩端電壓等于并聯(lián)支路兩端電壓，再分別就U不變和Q不變兩種類型的題目來對電路進(jìn)行動態(tài)分析。

參考文獻(xiàn)

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[2]張永興.直流電路中的電容器問題[J].中學(xué)生數(shù)理化（高三版），2006（11）：61-63.

[3]王后雄.教材完全解讀高中物理3[M].武漢：陜西師范大學(xué)出版總社，2020：103.

[4]張大洪.含容電路問題研析[J].物理教師，2004（12）：19-21.

本文系福建省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2021年度課題“中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化與中學(xué)物理融合教育研究”，（課題編號：FJJKZX21-667）。