摘 要：概念學(xué)習(xí)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中至關(guān)重要的組成部分.本文以古典概型的概念教學(xué)為例，探究概念辨析的閉環(huán)教學(xué)方法.具體以抽簽問題和擲骰子問題為例，在樣本空間的不同選取方法下闡述了古典概型概念的學(xué)習(xí)過程，不斷檢驗(yàn)條件，不斷辨析，從而達(dá)到閉環(huán)教學(xué)效果.

關(guān)鍵詞：概念學(xué)習(xí)；試錯(cuò)教學(xué)方法；古典概型；抽簽問題；擲骰子問題

中圖分類號(hào)：G632"" 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A"" 文章編號(hào)：1008-0333（2023）09-0011-03

1 數(shù)學(xué)概念的傳統(tǒng)教學(xué)方式

數(shù)學(xué)概念的傳統(tǒng)教學(xué)方法，主要采取“教師講解”的教學(xué)模式，學(xué)生主要采取“聽課——練習(xí)”的模式.這樣，教師和學(xué)生可以快速高效地完成教和學(xué)的任務(wù).就古典概型這一概念來說，課堂講解的時(shí)候，有經(jīng)驗(yàn)的教師會(huì)強(qiáng)調(diào)“等可能性”這一前提條件，然后就是舉例講解.但是在教師講解例題的過程中，容易忘記強(qiáng)調(diào)“等可行性”；學(xué)生在做題的過程中，更容易忘記檢驗(yàn)“等可能性”這一條件.

2 “試錯(cuò)法”教學(xué)方式

“試錯(cuò)法”的根本原則是以學(xué)生為主體.學(xué)生根據(jù)數(shù)學(xué)問題，用概念自行嘗試、自行分析，教師對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)情況起引導(dǎo)作用，這樣可以提高學(xué)生的自主思考能力和自學(xué)能力.

具體就古典概型的概念教學(xué)來說，概念學(xué)習(xí)的一般過程為課前導(dǎo)學(xué)（預(yù)習(xí)）、課堂概念講解、試錯(cuò)式解題、錯(cuò)誤分析（尋求幫助）、獲取正確解題方法、分析總結(jié)、課后練習(xí)等環(huán)節(jié).當(dāng)選取不同的樣本空間時(shí)，可能會(huì)得到錯(cuò)誤結(jié)果.對(duì)錯(cuò)誤原因進(jìn)行分析，產(chǎn)生有效提問，教師進(jìn)行引導(dǎo)；然后找到一種或多種正確做法；最后完成練習(xí)，形成一個(gè)閉環(huán)過程，如圖1.

下面以古典概型的概念教學(xué)為案例，具體闡述教學(xué)活動(dòng)中的概念學(xué)習(xí)的試錯(cuò)教學(xué)方法.

3 教學(xué)案例3.1

第一步：教師引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)初始概念，即樣本空間和古典概型的概念

隨機(jī)試驗(yàn)中的每一種可能出現(xiàn)的結(jié)果稱為樣本點(diǎn).所有樣本點(diǎn)組成的集合稱為樣本空間，記為Ω.

在中學(xué)概率中，古典概型是一種非常重要的概率模型.如果每次試驗(yàn)的結(jié)果只有有限多個(gè)，并且每個(gè)試驗(yàn)結(jié)果發(fā)生的可能性是相同的，那么稱這種概率模型為古典概率模型，簡稱古典概型.設(shè)古典概型中樣本點(diǎn)總數(shù)為n，事件A含有其中的m個(gè)樣本點(diǎn)，則定義事件A的概率為P（A）=m/n.

3.2 教師引導(dǎo)學(xué)生辨析概念條件

在解決概率問題時(shí)，分析問題的角度不同會(huì)導(dǎo)致選取的隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間的不同.在不同的樣本空間下，是否都能通過古典概型來計(jì)算同一個(gè)事件的概率呢？這就要看樣本空間中每個(gè)樣本點(diǎn)的發(fā)生是否是等可能的.有的學(xué)生在解決問題的時(shí)候，以為找到了樣本空間，就可以直接利用古典概型的計(jì)算公式來計(jì)算概率，而忽略了古典概型的概念中“樣本點(diǎn)發(fā)生的等可能性”這一前提條件.3.3 第三步：學(xué)生應(yīng)用概念做題

教學(xué)活動(dòng)中，全班學(xué)生按小組進(jìn)行討論，提出解題方法，寫出解題過程.將有代表性的小組結(jié)論進(jìn)行展示和討論.

3.3.1 提出數(shù)學(xué)問題

擲骰子問題：同時(shí)擲兩顆骰子，求出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)和為7的概率.

3.3.2 找樣本空間并計(jì)算概率

首先，由生活經(jīng)驗(yàn)知道，每顆骰子都有6個(gè)面，分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4、5、6.當(dāng)同時(shí)擲兩顆骰子時(shí)，每顆骰子出現(xiàn)各個(gè)數(shù)字是等可能的.記事件A表示兩顆骰子點(diǎn)數(shù)和為7.

小組成果展示1：

考慮骰子的順序，第一顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)有6種不同情況，第二顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)有6種不同情況，因此樣本空間含有6×6=36個(gè)樣本點(diǎn)，具體為：

Ω1={（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）}，

A={（1，6），（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），（6，1）}.

根據(jù)題意可知樣本空間Ω1中的36個(gè)樣本點(diǎn)是等可能發(fā)生的，所以在此樣本空間下，可以用古典概型來計(jì)算事件A的概率，并且概率為P（A）=636=16.

教師點(diǎn)評(píng)：此處的分析非常好，檢驗(yàn)了概念的適用條件，正確使用概念解決問題.

小組成果展示2：

不考慮骰子的順序，樣本空間含有21個(gè)樣本點(diǎn)，具體為：

Ω2={（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，4），（4，5），（4，6），（5，5），（5，6），（6，6）}，

A={（1，6），（2，5），（3，4）}.

此時(shí)概率為P（A）=321=17.

教師點(diǎn)評(píng)：注意到樣本空間Ω2中的每個(gè)樣本點(diǎn)都可以用Ω1中的樣本點(diǎn)來表示，由此可知這21個(gè)樣本點(diǎn)不是等可能發(fā)生的，所以在此樣本空間下不能用古典概型來計(jì)算事件A的概率.

小組成果展示3：

直接考慮兩顆骰子點(diǎn)數(shù)和的不同情況，樣本空間含有11個(gè)樣本點(diǎn)，具體為：

Ω3={2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}，A={7}.

此時(shí)概率為P（A）=111.

教師點(diǎn)評(píng)：注意到樣本空間Ω3中的每個(gè)樣本點(diǎn)都可以用Ω1中的樣本點(diǎn)來表示，由此可知這11個(gè)樣本點(diǎn)不是等可能發(fā)生的，所以在此樣本空間下不能用古典概型來計(jì)算事件A的概率.

3.3.3 教師總結(jié)

只有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)仳?yàn)證古典概型的前提條件，確保樣本空間中樣本點(diǎn)的等可能性，才能找到符合要求的樣本空間，計(jì)算出正確的概率.

3.4 第四步：學(xué)生自主完成練習(xí)

抽簽問題：袋中有a根紅簽，b根白簽，它們除顏色不同外，其他方面沒有差別.現(xiàn)有a+b個(gè)人依次無放回地去抽簽，求第k個(gè)人抽到紅簽的概率.

學(xué)生們認(rèn)真思考，經(jīng)過小組討論，得到了如下幾種解決問題的方法.

根據(jù)題意，抽到每根簽都是等可能的，因此這是一個(gè)古典概型問題，并且問題等價(jià)于把簽一根一根抽出來排成一列，求第k次抽到紅簽的概率.記事件A表示第k個(gè)人抽到紅簽.

方法1

把a(bǔ)根紅簽和b根白簽看作是不同的，那么a+b根不同簽的所有全排列種數(shù)為（a+b）！，即樣本空間Ω1含有（a+b）！個(gè)樣本點(diǎn).根據(jù)題意可以判斷每個(gè)樣本點(diǎn)是等可能發(fā)生的，符合古典概型的前提條件.

事件A可以理解為：在第k個(gè)位置上排列的一定是紅簽，有a種排法；在其他a+b-1個(gè)位置上的簽的排列種數(shù)為（a+b-1）！.因此，事件A含有a（a+b-1）！個(gè)樣本點(diǎn).由古典概型公式可得P（A）=a（a+b-1）！（a+b）！=aa+b.

方法2

把a(bǔ)根紅簽看作是沒有區(qū)別的，把b根白簽也看作是沒有區(qū)別的，仍把抽出的簽依次排列成一列，這是含有相同元素的全排列.此時(shí)a+b根簽的所有全排列種數(shù)為（a+b）！a！b！，即樣本空間Ω2含有（a+b）！a！b！個(gè)樣本點(diǎn).根據(jù)題意可以判斷每個(gè)樣本點(diǎn)是等可能發(fā)生的，符合古典概型的前提條件.

事件A可以理解為：在第k個(gè)位置上放紅簽，只有1種放法；在其他a+b-1個(gè)位置上放余下的a+b-1根簽，其中a-1根是沒有區(qū)別的紅簽，b根是沒有區(qū)別的白簽，共有（a+b-1）?。╝-1）！b！種方法，即事件A含有（a+b-1）?。╝-1）！b！個(gè)樣本點(diǎn).由古典概型公式可得

P（A）=（a+b-1）！（a-1）！b！÷（a+b）！a！b！=aa+b.

方法3

根據(jù)題意知，第k次抽到紅簽僅與前面k-1次所取的簽的情況有關(guān)，而與以后抽簽的情況無關(guān).因此只需要研究前面k次抽簽情況.把各簽看作不同，前k次的每一種抽簽情況相當(dāng)于從a+b根不同的簽中任取k根的全排列，共有Aka+b種方法，即樣本空間Ω3含有Aka+b個(gè)樣本點(diǎn).根據(jù)題意可以判斷每個(gè)樣本點(diǎn)是等可能發(fā)生的，符合古典概型的前提條件.

事件A可以理解為：在第k次取紅簽，有a種取法；在其他k-1次，是從a+b-1根不同的簽中任取k-1根的全排列，共有Ak-1a+b-1種方法，即事件A含有Ak-1a+b-1個(gè)樣本點(diǎn).由古典概型公式可得P（A）=Ak-1a+b-1Aka+b=aa+b.

教師點(diǎn)評(píng)：從三種角度尋找生活中最常見的抽簽問題的樣本空間，并發(fā)現(xiàn)樣本空間中的樣本點(diǎn)都符合等可能性的，因此均可以使用古典概型公式計(jì)算概率.這三種方法中，方法1是最常規(guī)的最容易想到的，方法2和方法3的技巧性都要強(qiáng)一點(diǎn).

完成練習(xí)后，仍然有“愛思考”的學(xué)生提出如下質(zhì)疑：

學(xué)生說：老師，第一個(gè)人抽簽后，還剩下（a+b-1）根簽.如果第一個(gè)人抽到紅簽，那么第二個(gè)人抽到紅簽的概率就變小了；如果第一個(gè)人沒有抽到紅簽，那么第二個(gè)人抽到紅簽的概率就變大了.因此，第二次抽簽的概率會(huì)受到第一次抽簽結(jié)果的影響，從而抽簽問題不是公平的.

此時(shí)很多學(xué)生也深以為然.這樣，就產(chǎn)生了沖突.

教師引導(dǎo)：我們后面會(huì)學(xué)習(xí)條件概率的概念.“如果第一個(gè)人抽到紅簽，那么第二個(gè)人抽到紅簽的概率就變小了”，這里的概率實(shí)際上是條件概率了，與我們題目中的概率是不同的概率.請(qǐng)同學(xué)們接下來預(yù)習(xí)條件概率并用條件概率來分析抽簽問題的公平性.

4 “試錯(cuò)法”教學(xué)效果提升

傳統(tǒng)教學(xué)中教師是主體，主導(dǎo)學(xué)生的概念學(xué)習(xí)；“試錯(cuò)法”教學(xué)中學(xué)生為主導(dǎo)，學(xué)生自主探索解決問題.試錯(cuò)教學(xué)方法，讓數(shù)學(xué)課堂更真實(shí)，更有趣，學(xué)生參與度更大.缺點(diǎn)是會(huì)有不自覺的學(xué)生出現(xiàn)“渾水摸魚”現(xiàn)象，沒有進(jìn)行比較有效的思考和學(xué)習(xí)，這就需要教師及時(shí)地觀察和督促以及幫助.

一次課的教學(xué)方法的改變可能不容易區(qū)分兩種教學(xué)方式的差異，但是若長期堅(jiān)持“試錯(cuò)法”教學(xué)方式，學(xué)生能自主思考，提出更有深度的問題，能更清晰正確地使用概念解決問題，那么一定能更有效地培養(yǎng)和提升學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力、創(chuàng)新思考能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

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［責(zé)任編輯：李 璟］

收稿日期：2022-12-25

作者簡介：唐金芳，四川省仁壽人，碩士，教授，從事泛函分析研究與中學(xué)數(shù)學(xué)研究；

曾嬌，四川省隆昌人，碩士，講師，從事中學(xué)數(shù)學(xué)研究.