摘 要：本文通過“復(fù)數(shù)的三角形式”的課程改革探究，初試在道德情境場中以培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)為目標(biāo)，促進學(xué)生自主全面發(fā)展，使學(xué)生的知、情、意、行得到有序發(fā)展.

關(guān)鍵詞：道德情境場；學(xué)科育人；核心素養(yǎng)

中圖分類號：G632"" 文獻標(biāo)識碼：A"" 文章編號：1008-0333（2023）09-0032-03

“道德”是指教育應(yīng)當(dāng)是合準(zhǔn)則、合規(guī)律、合目標(biāo)、合方式的教育.生態(tài)是指自我發(fā)展、健康互構(gòu)、良性循環(huán)的生命狀態(tài).“道德生態(tài)場”，就是培育學(xué)生內(nèi)在道德品性的“場域”，其中包含情境場、心育場、物態(tài)場，三者相互作用、相互合力、相互影響.道德情境場是構(gòu)成一定道德情境的各因子之間在相互作用中，因傳遞、交換信息所產(chǎn)生的并且影響道德場主體的道德選擇和道德行為的空間［1］.目的在于讓學(xué)生在情境中實踐、體驗、辨析、互動、選擇、踐行，真正做到“行知相融”，促進學(xué)生自主發(fā)展.下面結(jié)合《復(fù)數(shù)的三角形式》這一課題，初試在道德情境場中實現(xiàn)學(xué)科育人的目的.

1 創(chuàng)設(shè)情境，明晰方向

學(xué)生已經(jīng)掌握復(fù)數(shù)的基本知識：復(fù)數(shù)的代數(shù)式

z=a+bi（其中a，b∈R）、幾何意義（點與向量）及四則運算法則等.若考慮從代數(shù)式著手，對于復(fù)數(shù)的加、減法運算比較容易，而對復(fù)數(shù)-1+3i進行多次乘法運算呢？顯而易見，計算較繁瑣；若從幾何意義著手，將復(fù)數(shù)的加、減法對應(yīng)于向量的加、減法；實數(shù)與復(fù)數(shù)的積對應(yīng)于向量模長的改變；但復(fù)數(shù)的乘積仍是一個復(fù)數(shù)，而向量的數(shù)量積卻是一個實數(shù)，它們之間是無法一一對應(yīng)的.那么，是否存在復(fù)數(shù)的其他形式可用來簡化復(fù)數(shù)的乘、除法運算？它是否具有幾何意義呢？如何體現(xiàn)對于向量另一要素（即方向）的改變？

囿于復(fù)數(shù)簡單的線性運算，學(xué)生對復(fù)數(shù)高階計算法則存在困惑.根據(jù)這一基本學(xué)情，學(xué)生自主選擇分成兩組，第一組學(xué)生利用復(fù)數(shù)的幾何意義中的點所對應(yīng)的三角表達形式去探索復(fù)數(shù)的三角形式，第二組學(xué)生選擇從向量的兩大要素（大小與方向）著手去自主構(gòu)建復(fù)數(shù)的三角形式.由于問題的創(chuàng)設(shè)是符合學(xué)生思維發(fā)展規(guī)律的，因此它可以促使學(xué)生形成好奇心與參與熱情，開放學(xué)生的思維，同時依據(jù)問題來明晰本節(jié)課的學(xué)習(xí)任務(wù)與目標(biāo).

2 展開討論，概念辨析

問題的提出是為了讓學(xué)生更有效地自主解決問題，通過小組合作探究及互相補充，形成對復(fù)數(shù)的三角形式的認(rèn)知.教育學(xué)理論告訴我們：認(rèn)識常常始源于觀察與比較，有了比較才有相應(yīng)的鑒別，才能認(rèn)識到事物間的本質(zhì)與非本質(zhì)屬性［2］.第一組學(xué)生代表發(fā)言：復(fù)數(shù)的代數(shù)式z=a+bi對應(yīng)于復(fù)平面中點Z（a，b），而點的確定除了橫縱坐標(biāo)之外還可以用其與原點的距離及與x軸非負(fù)半軸所成的角（即三角形式）來表示，故令r=a2+b2，cosθ=ar，sinθ=br，則復(fù)數(shù)z=a+bi=r（cosθ+isinθ）.第二組學(xué)生代表發(fā)言：向量方向的改變可以用角度的改變來刻畫，因此可以用向量的模長與角度來探究復(fù)數(shù)的三角形式，與第一組同學(xué)得到相同的結(jié)論.基于對復(fù)數(shù)的三角形式有了基礎(chǔ)的認(rèn)知，學(xué)生自然而然地將復(fù)數(shù)的兩種形式即代數(shù)形式z=a+bi與三角形式z=r（cosθ+isinθ）進行對比，從而提出疑惑：這兩種形式是等價的嗎？可以相互轉(zhuǎn)化嗎？兩種形式是否存在一一對應(yīng)關(guān)系？經(jīng)過小組討論后，我們得知：復(fù)數(shù)的三角形式對應(yīng)于復(fù)數(shù)的代數(shù)式，其中a=rcosθ，b=rsinθ；復(fù)數(shù)的代數(shù)式可與復(fù)數(shù)的三角形式中的模長r=a2+b2對應(yīng)，而cosθ=ar，sinθ=br中的角度是不唯一的.為了將兩種形式能夠進行等價轉(zhuǎn)換，我們需要對角度進行合乎準(zhǔn)則的約束，結(jié)合角度的周期性，引入輻角主值的概念，即argz∈［0，2π）.這樣的關(guān)系是我們期待的，也映襯了數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性.

概念的形成并非一蹴而就，它是一個由淺入深，由片面到全面的循序漸進的過程.通過小組學(xué)生間的討論與交流，不斷鍛煉學(xué)生的溝通表達能力，培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力.在這個過程中，教師需要強化學(xué)生對復(fù)數(shù)三角形式結(jié)構(gòu)特征的辨析，引導(dǎo)其發(fā)現(xiàn)本質(zhì)屬性，進而優(yōu)化學(xué)生自我知識框架的構(gòu)建，同時訓(xùn)練學(xué)生的思維能力.

3 轉(zhuǎn)化化歸，提升思維

數(shù)學(xué)思想方法的核心是轉(zhuǎn)化（化歸）思想.通過此方法，可以化繁為簡，化難為易，化未知為已知.教師要將轉(zhuǎn)化的思想貫穿于整個教學(xué)過程中，促使知識得到遷移，讓學(xué)生逐步感知并學(xué)會解決問題，以此獲得新知.由于學(xué)生已掌握復(fù)數(shù)三角形式的結(jié)構(gòu)特征，對開始提出的問題：z=-1+3i=2（cos2π3+isin2π3）可進行乘方計算：z2=［2（cos2π3+isin2π3）］2=4［（cos2π3）2+2cos2π3sin2π3i-（sin2π3）2］=4（cos4π3+isin4π3）.由特殊到一般，教師引導(dǎo)學(xué)生自主推導(dǎo)出任意兩個復(fù)數(shù)的三角形式的乘法公式（即棣莫弗定理）：z1z2=r1r2［cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）］.除法是乘法的逆運算，借助于1z1=1r1［cos（-θ）+isin（-θ）］類比可得：z1z2=r1r2［cos（θ1-θ2）+isin（θ1-θ2）］.從復(fù)數(shù)三角形式的探究可解決本節(jié)課的難點即：復(fù)數(shù)乘除法的幾何意義主要體現(xiàn)在模長的伸縮與輻角的旋轉(zhuǎn).

歸納是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)新的一種方法.歸納是根據(jù)觀察、實驗得到的經(jīng)驗材料，進一步比較、分析、抽象概括出新知的過程.乘方是乘法的抽象，開方是除法的抽象，因而學(xué)生順理成章地總結(jié)出復(fù)數(shù)乘方公式：zn=rn［cos（nθ）+isin（nθ）］及z的n次方根：nr［cos（θ+2kπn）+isin（θ+2kπn）］，其中k=0，1，2…，n-1，且n∈N.特殊地，當(dāng)r=1時，zn會出現(xiàn)周期現(xiàn)象，周期T=2πθ.無論是類比還是歸納，它們均從特殊情況出發(fā)，所產(chǎn)生的結(jié)果并不一定正確.這是一種大膽的嘗試，必須利用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评砣フ撟C這一結(jié)論.基于高一學(xué)生的學(xué)情，教師可以對此公式作出適當(dāng)?shù)慕忉?，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，從而提升學(xué)生的核心素養(yǎng).

4 拓展研究，個性發(fā)展

課前預(yù)習(xí)、課堂探究都是利用復(fù)數(shù)的三角形式簡化復(fù)數(shù)的高階運算并理解運算中所蘊含的幾何意義.經(jīng)過本節(jié)課的深入學(xué)習(xí)，小組成員提出以下兩個問題：（1）為什么要學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的三角形式？它在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)或生產(chǎn)生活中有何應(yīng)用？（2）復(fù)數(shù)還存在其他的表達形式嗎？根據(jù)學(xué)生的疑惑，我將這兩個問題作為課后的拓展，并要求小組成員在下一節(jié)課來分享各自成果.通過翻閱資料，得到不同組的真實而有效的反饋，結(jié)果是令人驚喜的！

A組發(fā)現(xiàn)：我們使用的電話可以將人的聲音看作一個離散型的信號，再通過Fourer變換，從而實現(xiàn)人與人的交流；

B組探討出復(fù)數(shù)還存在指數(shù)形式的表達形式，通過歐拉公式：eiθ=cosθ+isinθ可以實現(xiàn)三角式與指數(shù)式的相互轉(zhuǎn)換.當(dāng)θ=π時，有eiπ+1=0.英國數(shù)學(xué)教育家大衛(wèi)·威爾斯發(fā)表的《哪一個是最美的》中包含了24個公式，此公式的排名第一.它能夠?qū)?shù)學(xué)中5個數(shù)1，0，i，e，π和3個運算符號+，×，=如此簡潔、和諧、完美地結(jié)合到一起，讓我們驚嘆于復(fù)數(shù)蘊藏的美學(xué)價值［3］.

C組同學(xué)給出了一道例題探究：設(shè)復(fù)平面中不同點A，B，C對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為z1，z2，z3，若z1-z2z1-z3=1+2i，則cos∠BAC的值為______；本題若從復(fù)數(shù)的代數(shù)式入手，采用待定系數(shù)法來尋找6個變量間的等量關(guān)系，

計算量是驚人的，需要學(xué)生很大的勇氣與毅力才有可能解決；若從復(fù)數(shù)的三角形式出發(fā)，將分式變形整理成整式，即z2-z1=（z3-z1）（1+2i）=（z3-z1）5（15+25i），再根據(jù)幾何意義：AC通過逆時針方向旋轉(zhuǎn)角度θ（其中cosθ=15，sinθ=25）得到AB，因此旋轉(zhuǎn)角度θ即為∠BAC，答案55輕而易舉獲得.

D組同學(xué)給出補充：利用歐拉公式：eiα=cosα+isinα，eiβ=cosβ+isinβ，將兩式相乘，得eiαeiβ=（cosα+isinα）（cosβ+isinβ）整理為ei（α+β）=cos（α+β）+isin（α+β）=（cosαcosβ-sinαsinβ）+（sinαcosβ+cosαsinβ）i.

由復(fù)數(shù)相等的定義，得

cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ；sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ.

因此，復(fù)數(shù)的指數(shù)形式可用來證明兩角和（差）的正、余弦公式.

得益于學(xué)生課后的拓展研究，不同的組別都有或多或少的發(fā)現(xiàn)，這樣的大膽嘗試既使教師得到更專業(yè)的發(fā)展，也能促使每位學(xué)生的個性化發(fā)展，真正做到知、情、意、行的統(tǒng)一，滿足多元化的發(fā)展需求.

本節(jié)課以探究“復(fù)數(shù)的三角形式”學(xué)習(xí)為載體和途徑，體會從特殊到一般、數(shù)形結(jié)合、抽象概括、類比歸納等合乎學(xué)情的數(shù)學(xué)思想與方法，充分發(fā)掘數(shù)學(xué)學(xué)科的育人價值.整個活動以培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)為目標(biāo)，從學(xué)科育知、育能、育情、育德、育美等豐富內(nèi)涵［4］，通過創(chuàng)設(shè)情境，推進課堂教學(xué)改革，突出學(xué)生主體地位，構(gòu)筑課堂互動平臺，讓學(xué)生在生本互動、生生互動中去致知窮理、探索研究、篤行踐履，做到“行知相融”.

參考文獻：

［1］ 王麗潔.德育場的研究現(xiàn)狀與方向［J］.法制與社會，2017（28）：190-191.

［2］ 李孝中.談“復(fù)數(shù)的三角形式”的教學(xué)［J］.遼寧教育學(xué)院學(xué)報，2002（02）：56.

［3］ 王霞.數(shù)學(xué)文化融入《復(fù)變函數(shù)與積分變換》的教學(xué)案例研究與設(shè)計［J］.高等數(shù)學(xué)研究，2017，20（03）：30-33.

［4］ 凌乾川，張澤科.新時代學(xué)科育人內(nèi)涵的校本表達［J］.教育科學(xué)論壇，2021（10）：71-73.

［責(zé)任編輯：李 璟］

收稿日期：2022-12-25

作者簡介：陳曉丹（1989-），女，江蘇省泰州人，研究生，中學(xué)一級教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.