顧言

摘 要：向量是近代數(shù)學(xué)中重要和基本的概念之一，具有物理背景和幾何背景.本文以人教A版必修二平面向量的概念教學(xué)為例，基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，通過創(chuàng)設(shè)情境，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自主探究、知識遷移，以達(dá)到更高的思維教學(xué)目標(biāo).

關(guān)鍵詞：平面向量；概念教學(xué)；自主探究；數(shù)學(xué)思維

1 問題提出

對于“平面向量的概念”這一課時，教師往往會以梳理教材中的概念為主線，著重對相關(guān)題目的反復(fù)練習(xí)，而對概念的講解一帶而過.這樣的教學(xué)設(shè)計忽視了學(xué)生對概念的理解，忽視了學(xué)生實(shí)踐能力的培養(yǎng)，忽視了學(xué)生數(shù)學(xué)思維的提升.因此，筆者在本節(jié)評優(yōu)課的設(shè)計中，著重

創(chuàng)設(shè)探究情境，

積累學(xué)生的基本活動經(jīng)驗(yàn)，從生活實(shí)例中抽象出平面向量，通過學(xué)生的動手操作逐步引出平面向量的相關(guān)概念并引發(fā)進(jìn)一步思考，旨在培養(yǎng)學(xué)生動手操作的能力以及思考問題的能力，整體提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

2 教學(xué)實(shí)錄（片段）

師：有沒有哪位同學(xué)了解中國象棋，知道中國象棋的規(guī)則是什么？

生：象棋口訣：馬走日字象飛田，車走直路炮翻山.士走斜路護(hù)將邊，小卒一去不復(fù)返.

師：今天老師帶來了一副棋局，下一步這些棋子可以怎么走呢？請一位同學(xué)上來演示一下.

師：這個口訣實(shí)際上描述了棋子每走一步的位移.大家能說說其他類似位移的量嗎？

生：力，速度……

師：（位移、速度、力……）這些量有什么共同的特點(diǎn)？

生：既有大小又有方向.

師：像距離、質(zhì)量、面積這樣只有大小的量在物理中叫作標(biāo)量，數(shù)學(xué)中叫作數(shù)量.像位移、速度、力這樣既有大小又有方向的量是什么量呢？

生：矢量.

師：在物理中這樣的量稱為矢量，在數(shù)學(xué)中它被稱為向量.

師：既有大小又有方向的量叫做向量.這就是向量的概念，今天我們來一起學(xué)習(xí)平面向量的概念.

設(shè)計意圖：這里以學(xué)生比較熟悉的棋盤為背景，抽象出棋子的位移，讓學(xué)生通過理解位移包含方向和大小兩個元素，舉例出類似的量——力和速度.教師通過歸納位移、力和速度這些量的共性引入向量的概念，即既有大小又有方向的量.

師：我們知道數(shù)量可以用實(shí)數(shù)來表示，實(shí)數(shù)可以與實(shí)數(shù)軸上的點(diǎn)一一對應(yīng)，實(shí)際上是用幾何圖形也就是數(shù)軸上的一個點(diǎn)表示了這個實(shí)數(shù).那么我們能不能也找到一種幾何圖形來表示向量？同學(xué)們可以試著表示棋盤上棋子的位移嗎？

師：為什么選擇用這樣一個帶箭頭的線段表示位移呢？

生：物理中是這樣表示的.

師：你知道物理中為什么要這樣表示嗎？

生：線段長度表示大小，箭頭表示方向.

師：是的，像這樣具有方向的線段叫做有向線段，它和線段一樣可以表示長度，再加上箭頭來表示方向.

師：在線段AB的兩個端點(diǎn)中，規(guī)定一個順序，假設(shè)A為起點(diǎn)，B為終點(diǎn)，那么線段AB具有方向，通常在有向線段的終點(diǎn)處畫上箭頭表示它的方向.這樣具有方向的線段叫做有向線段.

師：以A為起點(diǎn)、B為終點(diǎn)的有向線段記作AB，起點(diǎn)在左終點(diǎn)在右，字母上加上指向右側(cè)的箭頭.知道了有向線段的起點(diǎn)、方向、長度，它的終點(diǎn)就唯一確定了.

師：向量可以用有向線段AB來表示，我們把這個向量記作向量AB.向量也可以類似線段用小寫字母a，b，c……表示，為了以示區(qū)分，這些小寫字母要加粗，書寫時需要在小寫字母上加上向右的箭頭.

師：用有向線段表示向量，可以讓向量更加形象更加直觀.

師：向量AB表示向量的方向是由A指向B，向量的大小如何用符號表示呢？

師：線段AB的長度是如何用符號表示的？

生：用|AB|表示.

師：類似地，我們在向量AB兩側(cè)加上相同的符號表示向量AB的大小，也就是向量AB的長度（或特殊的向量）.

師：在實(shí)數(shù)軸上，哪幾個實(shí)數(shù)比較特殊？

生：0，它是數(shù)軸正負(fù)的分界點(diǎn).1，它到0的距離定義了數(shù)軸的單位長度.

師：我們將這種特殊性遷移到平面向量中，在向量中也有兩個特殊的向量：模長為0的向量叫做零向量，記作0（書寫時在必須0上加上向右的箭頭）.模長為1的向量叫做單位向量.

設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生利用遷移的思想方法，根據(jù)數(shù)量和數(shù)軸上的點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系，尋找一種集方向和大小于一身的幾何圖形表示向量，即有向線段.有向線段的長度和方向可以分別表示向量的長度和方向.在用數(shù)學(xué)符號描述向量時，類比線段的描述方法，對線段AB加上箭頭得到向量AB，用線段的長度符號|AB|也可以描述向量AB的模長|AB|.最后，引導(dǎo)學(xué)生將0和1在數(shù)軸上的這種特殊性遷移到向量中，定義零向量和單位向量，同時強(qiáng)調(diào)零向量的寫法以免與數(shù)量0混淆.

師：剛才同學(xué)們在棋盤上畫出的實(shí)際就是一個個向量，根據(jù)這些向量請同學(xué)們回答以下問題：

設(shè)計意圖：這里根據(jù)學(xué)生在棋盤上作出的向量，定義共線向量和相等向量、相反向量，重點(diǎn)在于概念辨析，理解共線向量關(guān)注的是兩個向量的方向，相等向量、相反向量則同時關(guān)注兩個向量的方向和大小.其中，特別強(qiáng)調(diào)零向量對判斷向量共線的干擾性以及向量平行和直線平行的聯(lián)系和區(qū)別.

師：剛才這位同學(xué)提到，單位向量的模長都為1，但方向不確定，那么如果將所有單位向量的起點(diǎn)移到同一點(diǎn)O，這些向量的終點(diǎn)軌跡是什么呢？

思考（1）：將所有單位向量起點(diǎn)移到同一點(diǎn)O，則它們終點(diǎn)的集合（軌跡）是什么圖形？

生：以O(shè)為圓心，1為半徑的圓.

思考（2）：當(dāng)OM與ON是相等向量時，判斷終點(diǎn)M與N的位置關(guān)系.

生：兩點(diǎn)重合.

師：是的，當(dāng)兩個向量起點(diǎn)相同，模長相同，方向相同時，它們的終點(diǎn)就被唯一確定了.

思考（3）：當(dāng)OM與ON是平行向量，且|OM|=2|ON|時，判斷向量MN的方向與ON的方向之間的關(guān)系.

生：（學(xué)生板演）分兩種情況考慮，當(dāng)OM與ON方向相同時，MN與ON方向相反；當(dāng)OM與ON方向相反時，MN與ON方向相同.

設(shè)計意圖：思考1和思考2結(jié)合單位向量、相等向量、相反向量的定義，培養(yǎng)學(xué)生對于抽象的研究對象的邏輯推理能力；思考3由平行向量的方向相同或相反兩種情況，培養(yǎng)學(xué)生分類討論的能力.這一思考題需要整合新學(xué)的概念和定義解決問題，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)對新定義的臨場思考能力.

師：請同學(xué)們回憶一下本節(jié)課學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容？向量是既有大小又有方向的量，相比數(shù)量，向量增加了方向這一重要的元素.今天這節(jié)課我們將數(shù)量和數(shù)軸上的點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系遷移到向量中，用有向線段來表示向量.有向線段可以具象刻畫向量的方向和大小，通過幾何方法直觀展現(xiàn)向量這一抽象的概念.在解決問題時，同學(xué)們利用幾何直觀想象、分析、構(gòu)思，建立數(shù)學(xué)模型，對復(fù)雜的問題我們還進(jìn)行了分類討論.

師：結(jié)合本節(jié)課的內(nèi)容，下面我們來做一個接龍游戲，參與有獎.

問題1：以方格紙的格點(diǎn)為向量的起點(diǎn)和終點(diǎn)，你能畫出與給出的這個向量相等/相反/共線……的（單位）向量嗎？你來畫一畫.畫好以后請你再叫一位同學(xué)上來完成你的要求.

問題2：令小正方形的邊長為1，以上這些向量的長度分別是多少？

問題3：以1×3的方格的格點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)的所有非零向量中，有多少種大小不同的模？有多少種不同的方向？

生：6種模，16種方向.

問題4：以方格紙的格點(diǎn)為向量的起點(diǎn)和終點(diǎn)，是否能畫出任意模長的向量？

生：必須滿足勾股定理，即模長的平方等于兩個正整數(shù)的平方之和.

設(shè)計意圖：這一部分作為開放性問題，由學(xué)生自由發(fā)揮提出和本節(jié)課內(nèi)容有關(guān)的作圖要求，并由同伴來完成作圖，實(shí)際是對新授課內(nèi)容的靈活運(yùn)用，讓學(xué)生積累基本活動經(jīng)驗(yàn)，從活動中引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)計數(shù)的思路和方法.最后，讓學(xué)生思考是否可以提出任意模長的作圖要求，從特殊到一般，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會思考并主動思考的能力.

師：向量是一門新的數(shù)學(xué)語言，是描述幾何圖形的基本工具，是數(shù)與形的橋梁.我們的身邊有很多向量，我們的身邊也處處都有數(shù)學(xué).今天我們用數(shù)學(xué)的思想從大家非常熟悉的棋盤中抽象出平面向量的概念，接下來我們還要用向量這個工具去解決實(shí)際問題.學(xué)習(xí)語言最好的方法是用語言去表達(dá)，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)最好的方法就是用數(shù)學(xué)的眼光看世界，用數(shù)學(xué)的思維思考世界，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界.

3 教學(xué)反思

本節(jié)課從學(xué)生熟悉的生活情境入手，從棋盤中抽象出平面向量的概念，通過知識的類比、遷移引入平面向量的概念、表示及性質(zhì)，基于學(xué)生的基本活動經(jīng)驗(yàn)，以直觀想象的核心素養(yǎng)貫穿始終，旨在培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會觀察、學(xué)會思考、學(xué)會反思的能力.

3.1 學(xué)會觀察

課堂開始時筆者請學(xué)生1描述中國象棋的規(guī)則，并在課件中展示這一規(guī)則的口訣，再請學(xué)生2到黑板上演示各種棋子的走法.盡管學(xué)生2不會下象棋，但通過同學(xué)的描述以及閱讀老師給出的口訣，理解并作出了正確的演示.在生活中有很多需要學(xué)習(xí)的新知識，復(fù)雜情境也是高考的大勢所趨，能夠?qū)π碌牟牧嫌^察、閱讀、理解并實(shí)踐是學(xué)生未來發(fā)展的基本技能.

在引入零向量及單位向量的定義時，筆者提問數(shù)軸上有哪些特殊的實(shí)數(shù)，試圖將這種特殊性遷移到向量中.在回答這個問題時，學(xué)生3能夠感受到0和1這兩個數(shù)字是特殊的，但在回答其特殊之處時描述的是0和1作為實(shí)數(shù)的特殊性，沒有準(zhǔn)確理解問題的本質(zhì)是0和1在數(shù)軸上的作用.能夠理解題意并作出對應(yīng)的解答，是解決問題的基本要求.

在回答思考2當(dāng)OM與ON是相等向量時判斷終點(diǎn)M與N的位置關(guān)系時，學(xué)生4回答兩點(diǎn)都在以O(shè)為圓心、1位半徑的圓上，這一回答暴露了學(xué)生沒有準(zhǔn)確理解相等向量的定義，即向量大小相等同時方向相同，實(shí)際上兩點(diǎn)應(yīng)是重合的.對于給出的新定義，將題目條件和定義中的條件一一對應(yīng)，才能準(zhǔn)確地使用這個定義.

3.2 學(xué)會思考

在學(xué)習(xí)相等向量與共線向量的這一部分，筆者提問學(xué)生PQ，OZ，MN在大小和方向上的關(guān)系、JK，XY在大小和方向上的關(guān)系，并提問學(xué)生是否還有其他向量具有類似的關(guān)系.這里學(xué)生首先需要理解老師提出的兩組向量存在的關(guān)系，再在所有的向量中篩選找出對應(yīng)關(guān)系的其他向量.這需要學(xué)生具備歸納共性的能力和轉(zhuǎn)化應(yīng)用的能力.

對向量進(jìn)行概念辨析時，需要學(xué)生思考概念和定義中的充分性和必要性，從多個角度思考問題，發(fā)現(xiàn)命題的漏洞.例如零向量對向量共線的干擾性，以及向量平行和直線平行的聯(lián)系和區(qū)別.

在最后一個學(xué)生活動后的問題3中，學(xué)生需要對不同的模和方向進(jìn)行計數(shù).在回答模有多少種這個問題時，學(xué)生回答“1，2，5，10，2，3共6種”，筆者追問學(xué)生這樣數(shù)是否有什么規(guī)律，學(xué)生回答是先固定向量的起點(diǎn)，再調(diào)整向量的終點(diǎn)以得到不同的模長，這是一種不錯的思考角度，筆者引導(dǎo)學(xué)生也可以把向量分為沿著格邊和對角線兩類再進(jìn)行計數(shù).在回答第二個問題時，該生一時無法數(shù)清有多少種方向，這時候說明學(xué)生的分類方法并不適用方向的討論，進(jìn)而筆者建議用老師的分類方法試一試，學(xué)生很快就算出了結(jié)果.在這個問題中，學(xué)生需要思考如何不重復(fù)、不遺漏地計數(shù)，根據(jù)不同的情境選擇合適的分類依據(jù)，先思考再行動才能高效準(zhǔn)確地解決問題.同時，此處提到的先分類再計數(shù)是計數(shù)原理中一種重要的思想方法，在此為計數(shù)原理一節(jié)作鋪墊，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中大單元整體設(shè)計的思想.

3.3 學(xué)會反思

在本節(jié)課的最后，筆者設(shè)計了一個開放性活動，筆者作出一個向量后，要求學(xué)生畫出和這個向量共線的一個向量，再由學(xué)生提出新的作圖要求后由另一位學(xué)生來完成作圖.學(xué)生們分別提出了這樣幾種要求：與之模長相等的向量、與之方向相反的向量、模長為13的向量、這張方格紙內(nèi)可以作出的模長最長的向量……活動結(jié)束后筆者提問學(xué)生，當(dāng)以格點(diǎn)作為向量的起點(diǎn)和終點(diǎn)時，是否可以要求下一位同學(xué)作出任意模長的向量？這是對活動內(nèi)容的反思，也是對問題本質(zhì)的拷問.學(xué)生回答13是由22+32得到的，但沒有在課堂上總結(jié)出一般化的結(jié)論，這樣站在出題者角度進(jìn)行思考的高階思維能力需要得到不斷培養(yǎng)和提升.

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