[摘? 要] 在“雙減”背景下，如何將過(guò)程教育落到實(shí)處是研究者一直在探索的問(wèn)題之一. 文章以“多邊形及其內(nèi)角和”的教學(xué)為例，從“回顧舊知，引出主題”“開(kāi)展活動(dòng)，抽象概念”“積極探索，建構(gòu)新知”“合作交流，促進(jìn)應(yīng)用”“歸納總結(jié)，反思提升”五個(gè)環(huán)節(jié)著手展開(kāi)分析，并談一些拙見(jiàn).

[關(guān)鍵詞] 過(guò)程教育;課例分析;數(shù)學(xué)思想

作者簡(jiǎn)介：孫冬艷（1985—），本科學(xué)歷，中小學(xué)二級(jí)教師，從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)工作.

過(guò)程教育是指在滿足學(xué)生全面、和諧發(fā)展的基礎(chǔ)上，關(guān)注數(shù)學(xué)結(jié)論形成與知識(shí)應(yīng)用過(guò)程的教育方法，這是一種培養(yǎng)學(xué)生形成良好思維習(xí)慣與數(shù)學(xué)思想方法的教育模式[1]. “多邊形及其內(nèi)角和”是人教版八年級(jí)上冊(cè)的教學(xué)內(nèi)容，盡管大家對(duì)平面圖形并不陌生，但部分教師在執(zhí)教中仍存在一些觀念或操作的偏差. 若想寓“過(guò)程教育”于“多邊形及其內(nèi)角和”的教學(xué)，究竟該如何操作？筆者在教學(xué)實(shí)踐中進(jìn)行了一些探索，并通過(guò)教學(xué)簡(jiǎn)錄，展開(kāi)分析與點(diǎn)評(píng).

教學(xué)簡(jiǎn)錄

環(huán)節(jié)1：回顧舊知，引出主題

師：上課之前，大家一起來(lái)說(shuō)說(shuō)三角形的概念及其相關(guān)性質(zhì).

生1：所謂的三角形是指在非同一直線上的三條線段，首尾順次相連所形成的圖形.

生2：三角形的內(nèi)角和為180°，外角和為360°，每個(gè)外角的度數(shù)都等于與該角不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.

生3：所有三角形的兩邊之和必然大于第三邊，且每個(gè)角的外角都大于與它不相鄰的任意內(nèi)角.

師：非常好！如果我們將“三條線段的首尾順次連接”更換成“四條、五條或n條（n≥3，且為正整數(shù)）線段首尾順次連接”，所形成的圖形可以稱為什么圖形呢？這就是本節(jié)課我們需要探討的主要話題之一.

設(shè)計(jì)意圖? 通過(guò)對(duì)舊知的回顧，教師引導(dǎo)學(xué)生提取記憶中的信息，能自然而然地揭示課題，讓學(xué)生的思維經(jīng)歷一個(gè)循序漸進(jìn)的過(guò)程. 研究三角形的方式是研究其他多邊形的基礎(chǔ)，教師從三角形著手，能快速啟發(fā)學(xué)生的思維.

環(huán)節(jié)2：開(kāi)展活動(dòng)，抽象概念

師：現(xiàn)在請(qǐng)各位同學(xué)在草稿紙上連接四條線段都不在一條直線上的圖形，遵循首尾順次相接的原則，觀察所形成的圖形具備怎樣的特征.

（學(xué)生自主畫(huà)圖、分析）

生4：經(jīng)分析發(fā)現(xiàn)，在同一平面內(nèi)順次連接四條不在一條直線上的線段，所得到的圖形為四邊形.

師：若線段的數(shù)量增加為五條呢？

（學(xué)生畫(huà)圖）

生5：能獲得五邊形.

師：很好！以此類推，如果連接不在一條直線上的n條（n≥3，且為正整數(shù)）線段，所得的圖形是什么圖形？

生6：結(jié)合三角形、四邊形以及五邊形的規(guī)律來(lái)看，應(yīng)該為n邊形.

師：非常好！這就是我們今天所探討的“多邊形”. 多邊形相鄰的兩條邊所組成的角為“內(nèi)角”;而一邊的延長(zhǎng)線和相鄰的另一條邊所構(gòu)成的角，我們稱為“外角”;每個(gè)內(nèi)角的頂點(diǎn)為多邊形的“頂點(diǎn)”;將不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)相連，所形成的線段為“對(duì)角線”. 針對(duì)這些概念，現(xiàn)在請(qǐng)大家一起來(lái)分析圖1這個(gè)四邊形.

生7：這是一個(gè)四邊形，四條邊分別為AB，BC，CD，AD;四個(gè)內(nèi)角分別為∠A，∠B，∠C，∠D.

生8：如圖2所示，四邊形ABCD的外角為∠CDF，∠ADE，∠DCG，∠BCH，∠JBA，∠IBC，∠BAK，∠LAD;對(duì)角線為AC，BD.

師：很好，從你們的結(jié)論來(lái)看，四邊形存在四條邊、四個(gè)內(nèi)角、八個(gè)外角以及兩條對(duì)角線，其中外角之間存在什么特點(diǎn)呢？

生9：從結(jié)論來(lái)看，同一頂點(diǎn)的兩個(gè)外角是相等的關(guān)系，如∠CDF=∠ADE.

師：總結(jié)得很到位，現(xiàn)在留一個(gè)思考題供你們課后探索：五邊形的邊、內(nèi)角、外角、對(duì)角線分別有多少個(gè)？n（n≥3，且為正整數(shù)）邊形呢？

設(shè)計(jì)意圖? 學(xué)生通過(guò)畫(huà)圖，自主探索四邊形的邊、角、外角和對(duì)角線的數(shù)量，不僅活躍了思維，更重要的是獲得了良好的猜想能力，從四邊形的分析延伸到多邊形的分析.

環(huán)節(jié)3：積極探索，建構(gòu)新知

師：眾所周知，三角形的內(nèi)角和為180°，那么四邊形的內(nèi)角和究竟是多少呢？現(xiàn)在請(qǐng)大家完成以下活動(dòng)：①在自己的草稿紙上任意畫(huà)一個(gè)四邊形;②結(jié)合探索三角形內(nèi)角和的經(jīng)驗(yàn)，通過(guò)折疊、剪拼或測(cè)量等方法探尋自己所畫(huà)四邊形的內(nèi)角和.

學(xué)生經(jīng)過(guò)自主探索，獲得了以下結(jié)論：①用測(cè)量法，先分別測(cè)量出四個(gè)角的度數(shù)，相加后獲得四邊形的內(nèi)角和為360°;②添加對(duì)角線，將一個(gè)四邊形分割成兩個(gè)三角形，內(nèi)角和為180°×2=360°.

師：大家運(yùn)用了不同的探索方法，結(jié)論都指向于360°，據(jù)此我們可以形成什么猜想？

生10：由此可猜想四邊形的內(nèi)角和為360°，也就是說(shuō)圖1中的∠A+∠B+∠C+∠D=360°.

師：非常好！面對(duì)猜想，接下來(lái)應(yīng)該干什么？

生11：接下來(lái)就是驗(yàn)證猜想是否正確，可以用推理法來(lái)證明. 如圖3所示，連接AC，將四邊形ABCD分成△ABC與△ACD，因?yàn)槿切蔚膬?nèi)角和為180°，那么△ABC+△ACD=360°.

師：非常好！這是化歸思想在數(shù)學(xué)證明中的應(yīng)用，除此之外，大家還有其他推理方法嗎？

生12：如圖4所示，分別延長(zhǎng)AB，DC相交于點(diǎn)E，則∠A+∠D=180°-∠E，∠ABC=180°-∠EBC，∠BCD=180°-∠BCE，所以∠A+∠D+∠ABC+∠BCD=180°-∠E+180°-∠EBC+180°-∠BCE=540°-（∠E+∠EBC+∠BCE）=360°.

師：不錯(cuò)，這也是化歸思想的體現(xiàn)，現(xiàn)在我們一起來(lái)思考一下，分別延長(zhǎng)AB，DC一定是相交的關(guān)系嗎？

生13：不一定相交，如果AB與DC為平行的關(guān)系，那么它們肯定不會(huì)相交.

師：也就是說(shuō)這種推理方法并不具備普遍性，可通過(guò)分類討論法補(bǔ)充平行. 大家還有其他方法嗎？

學(xué)生經(jīng)過(guò)討論，一致認(rèn)為在四邊形的邊上、內(nèi)部或外部取一點(diǎn)，將各個(gè)頂點(diǎn)與該點(diǎn)相連，也可以將四邊形轉(zhuǎn)化成三角形而獲得四邊形的內(nèi)角和為360°的結(jié)論.

師：太棒了！看來(lái)大家對(duì)化歸思想掌握得非常透徹.

生14：還可以借鑒證明三角形內(nèi)角和定理的方法，通過(guò)一個(gè)角的頂點(diǎn)添加四邊形一邊的平行線，將分散的角集中在一起獲得結(jié)論.

師：給力！這種方法涉及數(shù)學(xué)中的平移思想、類比思想等. 我們有沒(méi)有辦法將四邊形的四個(gè)角集中到四邊形的內(nèi)部或外部呢？

（學(xué)生討論并獲得結(jié)論）

師：通過(guò)以上探究，我們現(xiàn)在都能確定四邊形的內(nèi)角和，那么它的外角和是多少度呢？

（學(xué)生探索）

設(shè)計(jì)意圖? 教師引導(dǎo)學(xué)生積極探索四邊形的內(nèi)角和，在初步獲得猜想的基礎(chǔ)上再進(jìn)行證明，這種方法符合一般概念的抽象過(guò)程. 隨著探究的逐漸深入，學(xué)生對(duì)四邊形的內(nèi)角和、外角和有了更加清晰的認(rèn)識(shí)，為接下來(lái)的交流與實(shí)際應(yīng)用奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

環(huán)節(jié)4：合作交流，促進(jìn)應(yīng)用

要求學(xué)生以小組合作學(xué)習(xí)的方式思考以下四個(gè)問(wèn)題：

問(wèn)題1：一個(gè)四邊形的風(fēng)箏，四角之比為1 ∶ 1 ∶ 0.6 ∶ 1，求此風(fēng)箏四個(gè)內(nèi)角的度數(shù);

問(wèn)題2：已知四邊形ABCD中的∠A，∠C互補(bǔ)，∠B為80°，求∠D的度數(shù);

問(wèn)題3：四個(gè)全等的四邊形紙片能否組成一幅鑲嵌圖？

問(wèn)題4：一個(gè)四邊形的內(nèi)角，最多會(huì)出現(xiàn)幾個(gè)鈍角？說(shuō)明理由.

（學(xué)生合作交流）

問(wèn)題1的結(jié)論：應(yīng)用方程思想解決這個(gè)問(wèn)題，假設(shè)四邊形ABCD的內(nèi)角∠A=x°，根據(jù)四個(gè)角的比，可列出方程3x+0.6x=360，解得∠A=100°，其他角分別為100°，60°，100°.

問(wèn)題2的結(jié)論：從四邊形的內(nèi)角和定理出發(fā)，解得∠D的度數(shù)為100°.

問(wèn)題3的結(jié)論：根據(jù)四張紙片的內(nèi)角和均為360°這個(gè)條件，可以確定能組成鑲嵌圖.

問(wèn)題4的結(jié)論：最多只能存在三個(gè)鈍角，若出現(xiàn)四個(gè)鈍角，那么內(nèi)角和必然大于360°，顯然不合常理.

師：通過(guò)大家的結(jié)論，可見(jiàn)同學(xué)們對(duì)四邊形內(nèi)角和的概念與性質(zhì)已經(jīng)有了比較深刻的理解. 現(xiàn)在我們一起來(lái)看第三個(gè)問(wèn)題，用一樣大小的四邊形紙片可以組成鑲嵌圖，我們生活中鋪設(shè)四邊形地磚就是根據(jù)這個(gè)原理來(lái)的. 大家還能列舉一些與四邊形相關(guān)的生活實(shí)例嗎？

生15：如教室里的黑板、課桌、電子白板等都是典型的四邊形.

師：不錯(cuò)，由此可見(jiàn)四邊形在生活中的應(yīng)用非常普遍. 結(jié)合問(wèn)題4，大家思考一下一個(gè)四邊形最多可以有幾個(gè)直角.

生16：四個(gè)，如我們所熟悉的長(zhǎng)方形與正方形.

師：很好，那么一個(gè)四邊形中，最多有幾個(gè)銳角？

生17：最多有三個(gè)銳角，不可能存在四個(gè)，因?yàn)樗膫€(gè)銳角的和必定小于360°.

師：分析得很到位.

設(shè)計(jì)意圖? 合作交流是學(xué)生取長(zhǎng)補(bǔ)短、查漏補(bǔ)缺的好方法，學(xué)生在合作過(guò)程中，思維不僅會(huì)受同伴的啟發(fā)，還能促進(jìn)團(tuán)體凝聚力，形成良好的合作精神[2]. 四個(gè)小問(wèn)題的討論，讓學(xué)生從實(shí)際應(yīng)用的角度對(duì)本節(jié)課的知識(shí)有了更加深刻的理解.

環(huán)節(jié)5：歸納總結(jié)，反思提升

師：現(xiàn)在我們一起回顧一下本節(jié)課都研究了哪些知識(shí).

生18：本節(jié)課我們探討了多邊形的定義，四邊形內(nèi)角和、外角和定理及應(yīng)用等.

師：四邊形內(nèi)角和的探索方法有哪些？

生19：有測(cè)量、剪拼、推理等方法，還運(yùn)用了從特殊到一般的歸納法.

師：四邊形內(nèi)角和定理的證明，涉及什么基本思想？

生20：主要是將四邊形轉(zhuǎn)化成三角形，也可以通過(guò)平行線的添加把四個(gè)角集中到一起，應(yīng)該應(yīng)用了化歸思想.

師：很好！在此學(xué)習(xí)過(guò)程中，大家有什么感觸嗎？

面對(duì)此問(wèn)，學(xué)生暢所欲言，提出的感觸主要有：①與三角形類似，四邊形在生活實(shí)際應(yīng)用中也很豐富;②研究發(fā)現(xiàn)，四邊形和三角形有著密不可分的聯(lián)系，可將四邊形轉(zhuǎn)化成三角形進(jìn)行分析;③通過(guò)研究發(fā)現(xiàn)，類比是尋找解題思路與發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論的重要方法之一;④解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，化歸思想具有化繁為簡(jiǎn)的作用;⑤通過(guò)平移，可以將幾何圖形中分散的條件集中到一起，便于分析;⑥方程思想是幾何計(jì)算常用的方法之一……

師：非常好！看來(lái)大家對(duì)本節(jié)課的感悟與體驗(yàn)頗多，這些學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)與感悟?qū)罄^學(xué)習(xí)具有重要的指導(dǎo)意義. 本節(jié)課至此，大家覺(jué)得接下來(lái)應(yīng)該探討什么內(nèi)容了？

生（齊）：研究完四邊形，接下來(lái)應(yīng)該研究五邊形、六邊形、n邊形的內(nèi)角和等問(wèn)題了吧.

師：確實(shí)，下節(jié)課我們要研究的重點(diǎn)是n（n≥3，且為正整數(shù)）邊形的內(nèi)角和.

設(shè)計(jì)意圖? 課堂總結(jié)在一節(jié)課中具有畫(huà)龍點(diǎn)睛的重要作用，學(xué)生通過(guò)對(duì)課堂內(nèi)容的回顧與交流，不僅能深化對(duì)知識(shí)的認(rèn)識(shí)，還能理清思路，為更好地接納、建構(gòu)、內(nèi)化新知奠定基礎(chǔ).

教學(xué)分析

本節(jié)課是“多邊形及其內(nèi)角和”的第一課時(shí)，教學(xué)內(nèi)容涵蓋了多邊形的概念、四邊形內(nèi)角和的定義、數(shù)學(xué)思想與活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)等. 因此，本節(jié)課教學(xué)涉及概念教學(xué)、數(shù)學(xué)思想的滲透以及科學(xué)研究方法的培養(yǎng)等.

四邊形作為本節(jié)課的重點(diǎn)研究對(duì)象，與學(xué)生所熟悉的線段、三角形等有著密切的聯(lián)系，其內(nèi)角和定理作為知識(shí)基礎(chǔ)，在一般的幾何證明或計(jì)算中時(shí)常會(huì)應(yīng)用到. 因此，本節(jié)課的知識(shí)在后期解題或?qū)嶋H應(yīng)用中具有普適性. 實(shí)踐證明，三角形、四邊形，乃至多邊形的研究過(guò)程，蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想方法，常見(jiàn)的有類比、歸納、化歸、平移、方程、演繹等，大量的數(shù)學(xué)思想方法對(duì)促進(jìn)學(xué)生智力的發(fā)展以及能力的提升具有直接的影響力.

此課例結(jié)合四邊形的概念、內(nèi)角和、教學(xué)性質(zhì)等所富含的教育價(jià)值，精心設(shè)計(jì)了以下教學(xué)過(guò)程：通過(guò)類比法提出問(wèn)題—應(yīng)用各種探索法定義多邊形—運(yùn)用各類數(shù)學(xué)思想方法與手段證明四邊形的內(nèi)角和—解決具有代表性的實(shí)際問(wèn)題—反思內(nèi)化. 教師將課堂教學(xué)重點(diǎn)放在問(wèn)題的探索與證明上，以解決問(wèn)題為目標(biāo)，讓學(xué)生從中體悟常見(jiàn)的數(shù)學(xué)思想，積累豐富的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

本課例以教材為載體，結(jié)合學(xué)生日常生活經(jīng)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生親自感知知識(shí)的發(fā)展過(guò)程，調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，引發(fā)學(xué)生思考，為學(xué)生形成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣奠定了基礎(chǔ)，也有效恰當(dāng)?shù)貛椭鷮W(xué)生掌握了一定的數(shù)學(xué)研究方法. 這種教學(xué)模式，不僅遵循了概念、定理類教學(xué)的規(guī)范要求，還充分體現(xiàn)了“以生為本”的教育過(guò)程，兼顧了課程教學(xué)的過(guò)程與結(jié)果.

學(xué)生通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，獲得了自主陳述多邊形概念的能力，同時(shí)還能結(jié)合圖形完整地表達(dá)多邊形的組成要素等. 豐富的教學(xué)過(guò)程，滲透了眾多數(shù)學(xué)思想方法，使學(xué)生靈活地掌握了探索多邊形內(nèi)角和及定理的策略與方法，這對(duì)促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成與發(fā)展具有積極的影響力[3].

總之，強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)的過(guò)程性，將豐富的數(shù)學(xué)思想方法滲透在課堂的每一個(gè)環(huán)節(jié)是新課改背景下的教學(xué)需求，也是學(xué)生實(shí)際發(fā)展的需要. 因此教師應(yīng)注重教學(xué)過(guò)程中“以生為本”的原則，鼓勵(lì)學(xué)生通過(guò)自主探究與合作交流等方式，尋找數(shù)學(xué)規(guī)律，感悟數(shù)學(xué)思想，從真正意義上形成可持續(xù)性發(fā)展的能力.

參考文獻(xiàn)：

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