[摘? 要] 縱覽近些年的數(shù)學(xué)中考試題，動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題常出現(xiàn)在壓軸的位置. 此類問(wèn)題具備綜合性高、分值大等特點(diǎn)，對(duì)學(xué)生的基本功要求較高. 不少學(xué)生遇到此類問(wèn)題常常唉聲嘆氣，感覺(jué)力不從心. 鑒于此，文章以翻折（軸對(duì)稱）、平移、旋轉(zhuǎn)三類動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的解決為例，具體談?wù)勅绾吻山柘鄬?duì)運(yùn)動(dòng)原理，妙解數(shù)學(xué)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題.

[關(guān)鍵詞] 動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題;相對(duì)運(yùn)動(dòng);解題

作者簡(jiǎn)介：李斌（1986—），本科學(xué)歷，從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)工作.

物理學(xué)中，常借助相對(duì)運(yùn)動(dòng)原理解決一些運(yùn)動(dòng)問(wèn)題. 其中，參照物的選擇尤為重要，它決定著運(yùn)動(dòng)的角度、效果與運(yùn)算等. 實(shí)踐證明，相對(duì)運(yùn)動(dòng)原理除了廣泛應(yīng)用于物理學(xué)科外，對(duì)處理數(shù)學(xué)中的定點(diǎn)與動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題也有較好的效果[1].

一般情況下，遇到動(dòng)態(tài)問(wèn)題的求解，學(xué)生首先想到的就是用函數(shù)模型來(lái)解決問(wèn)題，這種方法雖然符合學(xué)生的認(rèn)知，但過(guò)程過(guò)于煩瑣. 如果根據(jù)問(wèn)題條件，從運(yùn)動(dòng)變化的角度來(lái)觀察圖形以解決問(wèn)題，這對(duì)于初中生而言，難度又相對(duì)偏高. 而巧借運(yùn)動(dòng)的相對(duì)性特征，不僅能將復(fù)雜的動(dòng)態(tài)問(wèn)題簡(jiǎn)單化，還能激活學(xué)生的思維，幫助學(xué)生建構(gòu)新的模型.

經(jīng)典例題分析

初中階段，數(shù)學(xué)教學(xué)涉及的動(dòng)態(tài)變化問(wèn)題常見(jiàn)的有翻折、平移與旋轉(zhuǎn)等. 如何快速、準(zhǔn)確地把握此類問(wèn)題的核心，實(shí)現(xiàn)求解呢？實(shí)踐發(fā)現(xiàn)，掌握規(guī)律、以靜制動(dòng)、巧用模型、應(yīng)用函數(shù)思想等方法，能起到較好的效果. 在此，筆者以三類問(wèn)題為研究方向，結(jié)合運(yùn)動(dòng)的相對(duì)性特征的應(yīng)用，進(jìn)行解題分析.

1. 翻折（軸對(duì)稱）相對(duì)運(yùn)動(dòng)

此類問(wèn)題一般以軸對(duì)稱類問(wèn)題為代表，學(xué)生解題時(shí)常因缺乏良好的空間感而出現(xiàn)思維障礙. 若能借助相對(duì)運(yùn)動(dòng)原理解題，則能化繁為簡(jiǎn)，突破思維的瓶頸，使解題得心應(yīng)手.

例1? 如圖1所示，在矩形ABCD中，已知AB=12，BC=9，AE為∠CAB的平分線，其中點(diǎn)O為射線AE上的動(dòng)點(diǎn)，若以點(diǎn)O為圓心作圓，使得☉O分別與直線AC，AB相切于點(diǎn)G，F(xiàn)，再作☉O關(guān)于射線AC的對(duì)稱圖形☉O′. 當(dāng)☉O′與直線CD為相切的關(guān)系時(shí)，此時(shí)☉O的半徑為多少？

分析? 從問(wèn)題條件著手進(jìn)行分析，如圖2所示，將☉O翻折，獲得☉O′，但點(diǎn)O為一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，☉O會(huì)隨著點(diǎn)O位置的變化而變化. 因此，解決本題的關(guān)鍵步驟在于刻畫(huà)出☉O′的活動(dòng)軌跡，找出它與直線CD發(fā)生相切關(guān)系的具體位置，位置一旦固定，求☉O的半徑就不成問(wèn)題了.

處于運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的☉O本身就比較復(fù)雜，若再將它翻折，則給學(xué)生思考增加了難度. 面對(duì)如此復(fù)雜的問(wèn)題，若換個(gè)角度去分析，可能會(huì)有新的收獲.

如圖3所示，根據(jù)題意可知，☉O的軸對(duì)稱圖形☉O′是相對(duì)于直線CD在運(yùn)動(dòng)的，CD這條直線一直處于靜止?fàn)顟B(tài)，若將CD這條直線沿著對(duì)角線AC翻折，僅需考慮☉O與CD的翻折線相切的情況即可.

解答：將CD沿著AC翻折，獲得CD′，由∠ACD′=∠ACD=∠CAH可知△ACH為一個(gè)等腰三角形. 容易證明點(diǎn)G為AC的中點(diǎn)，可得AG=CG=7.5，再?gòu)那芯€長(zhǎng)定理出發(fā)，可得FA=GA=7.5.

分別連接OG，OF，根據(jù)切線性質(zhì)，容易獲得Rt△OGA，Rt△OFA，BC∥OF，通過(guò)相似比可得=.

根據(jù)題設(shè)條件與證明，AB，AF的長(zhǎng)已經(jīng)知道了，那么該如何求得BE的長(zhǎng)呢？

根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可知BE的長(zhǎng)與點(diǎn)E到AC的距離相等，因此自然想到，過(guò)點(diǎn)E作AC的垂線，再運(yùn)用面積法得（12+15）BE=9×12，計(jì)算得BE=4，將其代入式子=，得=，計(jì)算得OF=2.5.

至此，就完美地解決了本題. 從該解題過(guò)程來(lái)看，相對(duì)運(yùn)動(dòng)原理的應(yīng)用，有效地解決了這個(gè)復(fù)雜的軸對(duì)稱翻折問(wèn)題，而且解題過(guò)程思路清晰，學(xué)生順利解決這一道題就能獲得解決這一類問(wèn)題的能力.

例2? 如圖4所示，四邊形ABCD為一個(gè)菱形，其中AC=6，BD=6，點(diǎn)E為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P，M分別為AC，AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，若分別連接PE，PM，求PE+PM的最小值.

分析? 觀察題設(shè)條件，可知點(diǎn)P，M為兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E為定點(diǎn)，那么點(diǎn)P，M在相對(duì)于點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)中，在什么情況下PE+PM的值最小呢？學(xué)生參考自身已有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，得到P，M，E三點(diǎn)共線時(shí)，PE+PM的值是最小的. 問(wèn)題是，這三點(diǎn)并沒(méi)有實(shí)質(zhì)運(yùn)動(dòng)到同一條直線上，該怎么辦呢？這讓不少學(xué)生感到茫然.

如圖5所示，反過(guò)來(lái)思考，將點(diǎn)E看作相對(duì)于點(diǎn)P，M運(yùn)動(dòng)的一點(diǎn)，從菱形的性質(zhì)出發(fā)，利用翻折法將PE轉(zhuǎn)化成PE′，這相當(dāng)于E，P，M三點(diǎn)就在同一條直線上，當(dāng)E′M與AB垂直時(shí)，待求的PE+PM的值最小.

解答：如圖5所示，作點(diǎn)E關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)E′，再過(guò)點(diǎn)E′作E′M垂直于AB，點(diǎn)M為垂足，且與AC相交于點(diǎn)P，此時(shí)點(diǎn)P，M的位置為PE+PM取最小值的位置（證明過(guò)程略），因此PE+PM=PE′+PM=ME′.

因?yàn)樗倪呅蜛BCD為一個(gè)菱形，所以點(diǎn)E′位于CD上，又AC=6，BD=6，因此AB=3. 根據(jù)菱形的性質(zhì)可得S=AC·BD=ME′·AB，計(jì)算得ME′=2，即PE+PM的最小值為2.

運(yùn)動(dòng)與靜止是相對(duì)而言的，本題將定點(diǎn)視為動(dòng)點(diǎn)，將動(dòng)點(diǎn)理解為定點(diǎn)，有效突破了思維的障礙，讓解題變得簡(jiǎn)便. 通過(guò)本題的解決，讓學(xué)生深切體會(huì)到，解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，必須學(xué)會(huì)從多角度分析問(wèn)題，當(dāng)一條路行不通時(shí)，要換一種思維方式，則有可能見(jiàn)到曙光.

2. 平移類相對(duì)運(yùn)動(dòng)

平移類問(wèn)題是近些年的熱門話題，一個(gè)點(diǎn)、一條線或一個(gè)圖形的移動(dòng)，會(huì)帶動(dòng)整個(gè)圖形的變化，這讓不少學(xué)生感到難以想象. 其實(shí)，相對(duì)運(yùn)動(dòng)能化動(dòng)為靜，也能化靜為動(dòng)，可降低問(wèn)題難度，突破解題障礙.

例3? 在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)O的坐標(biāo)為（0，0），已知點(diǎn)At

，t為第一象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B（0，m）為y軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn). 求AB=4時(shí)，△ABO的最大面積值.

分析? 從動(dòng)點(diǎn)A的特征出發(fā)，能判斷出點(diǎn)A在直線y=x（x>0）上運(yùn)動(dòng)，而點(diǎn)B則在y軸上運(yùn)動(dòng). 那么待求的△ABO就存在兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，想要直接求出該三角形的面積，幾乎不可能.

觀察圖形，從圖中的幾何元素來(lái)思考，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)A，B分別相對(duì)于點(diǎn)O在進(jìn)行運(yùn)動(dòng). 若將點(diǎn)A，B理解成靜止的，那么點(diǎn)O則相對(duì)于點(diǎn)A，B在運(yùn)動(dòng). 從這個(gè)角度出發(fā)，問(wèn)題則簡(jiǎn)單多了.

解答：如圖6所示，根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)，可知點(diǎn)A為直線y=x（x>0）上運(yùn)動(dòng)的點(diǎn). 根據(jù)k=，不難發(fā)現(xiàn)∠AOB=60°. 又點(diǎn)O相對(duì)于A，B兩點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)，可確定點(diǎn)O的活動(dòng)軌跡為圓，由此可知△ABO為該圓（活動(dòng)軌跡）的內(nèi)接三角形. 若想使得△ABO的面積最大，那它應(yīng)為一個(gè)等邊三角形. 根據(jù)AB=4，可得該等邊三角形的高為2，故（S）=×4×2=4.

3. 旋轉(zhuǎn)型相對(duì)運(yùn)動(dòng)

例4? 如圖7所示，在△ABC中，已知∠ACB=90°，AC=BC=6，點(diǎn)D為AB邊延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，AB=CD. 若將△ACD圍繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α°（0<α<360），可得△A′CD′，如果點(diǎn)M恰巧為AC的中點(diǎn)，而點(diǎn)N為A′D′上的任意點(diǎn)，那么在三角形的旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，線段NM長(zhǎng)的取值范圍是多少？

分析? 根據(jù)題意可知，點(diǎn)M為定點(diǎn)，N為動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N會(huì)隨著△A′CD′的旋轉(zhuǎn)而發(fā)生旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N為相對(duì)于點(diǎn)M在一個(gè)動(dòng)圓中不斷變化的點(diǎn). 至于運(yùn)動(dòng)到哪個(gè)位置距離最大，哪個(gè)位置距離最小為本題的難點(diǎn)所在. 不少學(xué)生受空間想象力的限制，很難把握住NM長(zhǎng)的取值范圍.

若將△ACD理解為一個(gè)固定不動(dòng)的三角形，點(diǎn)N的位置一直落于線段AD上，將點(diǎn)M理解成相對(duì)于點(diǎn)N在不斷運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)，點(diǎn)M到點(diǎn)C的距離不變，那么點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡就是以點(diǎn)C為圓心，以線段MC為半徑的圓.

解答：如圖8所示，當(dāng)CN垂直于AD，與圓C相交于點(diǎn)M時(shí)，線段NM的長(zhǎng)是最短的;當(dāng)點(diǎn)N重合于點(diǎn)D時(shí)，延長(zhǎng)DC可與圓C相交于點(diǎn)M，這時(shí)的NM最長(zhǎng).

依照直角三角形的相關(guān)性質(zhì)，可得CN=3，CN=6，M1C=M2C=3，由此可確定NM長(zhǎng)的取值范圍是

通過(guò)以上三類例題的分析，不難發(fā)現(xiàn)，它們雖然是不同種類的問(wèn)題，但都蘊(yùn)含著共性：以題設(shè)條件所提供的圖形進(jìn)行分析并試圖求解，反而會(huì)將問(wèn)題變得更加復(fù)雜，難度更大，而換個(gè)思維角度，引入相對(duì)運(yùn)動(dòng)的方法，則能讓原本動(dòng)態(tài)、復(fù)雜的圖形變?yōu)殪o止、簡(jiǎn)單的圖形. 隨著參照物的變化，問(wèn)題變得越發(fā)簡(jiǎn)單，學(xué)生能從中感知到一片新的解題天地.

借助相對(duì)運(yùn)動(dòng)解決問(wèn)題的關(guān)鍵，在于明確其中的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，并結(jié)合問(wèn)題中所涉及的翻折、平移與旋轉(zhuǎn)等性質(zhì)，可巧妙地結(jié)合圖形中運(yùn)動(dòng)的相對(duì)性原理，破解思維上的難點(diǎn)，達(dá)到解決問(wèn)題的目的.

教學(xué)思考

1. 注重思維過(guò)程，提煉知識(shí)本質(zhì)

解題過(guò)程反映了學(xué)生的思維能力，教師應(yīng)注意避免學(xué)生出現(xiàn)“思維劃過(guò)”的現(xiàn)象，所謂思維劃過(guò)就是指“知其然而不知其所以然”的狀態(tài)，即看到問(wèn)題能知曉答案，卻不知道答案的由來(lái);或只能就題論題，知道某一題的解答方法，卻無(wú)法理解一類題的解答通法，更談不上變通與舉一反三. 通過(guò)一道題的解決，獲得觸類旁通的解題能力，才是真正掌握了知識(shí)的本質(zhì).

弗賴登塔爾提出，再創(chuàng)造是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)最正確的方法[2]. 也就是說(shuō)，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生將所學(xué)知識(shí)再創(chuàng)造一次，讓學(xué)生親歷知識(shí)的形成與發(fā)展過(guò)程，對(duì)知識(shí)的本質(zhì)產(chǎn)生深刻理解，為知識(shí)的靈活應(yīng)用奠定基礎(chǔ).

鑒于此，教師在課程設(shè)計(jì)、教學(xué)實(shí)施的過(guò)程中，應(yīng)做個(gè)有心人，通過(guò)對(duì)例題的精挑細(xì)選，營(yíng)造民主、和諧的教學(xué)氛圍，鼓勵(lì)學(xué)生在獨(dú)立思考、自主分析與合作交流中，經(jīng)歷問(wèn)題的辨析過(guò)程，提出合理的解題策略，自覺(jué)發(fā)現(xiàn)知識(shí)的核心性質(zhì)以及解題的通法與技巧等，從而體悟出數(shù)學(xué)的本源與意義.

巧借相對(duì)運(yùn)動(dòng)原理解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的教學(xué)中，教師應(yīng)注重結(jié)合學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，應(yīng)用同化與順應(yīng)的教學(xué)方法，引導(dǎo)學(xué)生充分感知運(yùn)動(dòng)過(guò)程，以及參照物發(fā)生改變后的運(yùn)動(dòng)與靜止的相對(duì)關(guān)系，以提升學(xué)生的空間想象力與數(shù)學(xué)思維.

2. 立足實(shí)踐操作，親歷體驗(yàn)感悟

對(duì)初中生而言，相對(duì)運(yùn)動(dòng)確實(shí)有點(diǎn)抽象，想要讓學(xué)生從“紙上談兵”中理清圖形間運(yùn)動(dòng)與靜止的關(guān)系，真不是一件容易的事情. 若借助實(shí)踐操作，則能讓學(xué)生通過(guò)直觀感受發(fā)現(xiàn)問(wèn)題中圖形元素靜止與運(yùn)動(dòng)的相對(duì)狀態(tài)，為解題奠定基礎(chǔ)[3].

隨著社會(huì)的發(fā)展，科技的進(jìn)步，幾何畫(huà)板、多媒體等的應(yīng)用越來(lái)越廣泛. 為了增強(qiáng)學(xué)生的空間想象力，并理解運(yùn)動(dòng)與靜止的相對(duì)關(guān)系，教師可借助這些先進(jìn)的多媒體工具，鼓勵(lì)學(xué)生親自參與動(dòng)態(tài)圖形的繪制，讓學(xué)生在操作、觀察、演示與測(cè)量中，更加直觀地感知問(wèn)題中的相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系，為發(fā)現(xiàn)并深刻理解動(dòng)態(tài)問(wèn)題的本質(zhì)奠定基礎(chǔ)，也為形成良好的解題能力夯實(shí)基礎(chǔ).

3. 加強(qiáng)知識(shí)梳理，提高思維能力

數(shù)學(xué)是一門系統(tǒng)性學(xué)科，教學(xué)過(guò)程遵循循序漸進(jìn)的原則. 在整合圖形變化類的知識(shí)點(diǎn)時(shí)，教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生自主感知題組解答與互動(dòng)過(guò)程，為有效推動(dòng)知識(shí)入網(wǎng)做準(zhǔn)備. 上述幾個(gè)例題，都是筆者精心篩選出來(lái)的問(wèn)題，主要是從圖形運(yùn)動(dòng)變化的規(guī)律來(lái)思考相對(duì)運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題，幫助學(xué)生梳理此部分知識(shí)，為后期解決更多綜合性動(dòng)態(tài)問(wèn)題提供強(qiáng)有力的支撐.

日常教學(xué)中，教師可以時(shí)常帶領(lǐng)學(xué)生總結(jié)各類基本圖形，通過(guò)多次、反復(fù)的有效訓(xùn)練，讓學(xué)生形成一種解題的條件反射. 尤其要注重對(duì)知識(shí)本身的追溯，讓學(xué)生學(xué)會(huì)思考、善于思考，并在思考中形成自己獨(dú)有的解題經(jīng)驗(yàn)與技巧. 當(dāng)再次遇到同類型的問(wèn)題時(shí)，學(xué)生即使搞不清問(wèn)題的來(lái)龍去脈，也能快速地想到作輔助線去解決問(wèn)題.

當(dāng)然，最關(guān)鍵的在于教師要做到心中有數(shù)，只有引導(dǎo)學(xué)生做好知識(shí)梳理工作，幫助學(xué)生建立完備的認(rèn)知體系，學(xué)生才能自主地打通各個(gè)知識(shí)點(diǎn)之間的脈絡(luò)，建立良好的知識(shí)體系，獲得問(wèn)題的本源，提高解題能力與數(shù)學(xué)素養(yǎng).

總之，巧借相對(duì)運(yùn)動(dòng)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題并不復(fù)雜，關(guān)鍵是要抓住相對(duì)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程，結(jié)合翻折、平移、旋轉(zhuǎn)等性質(zhì)，巧妙地改變圖形相對(duì)運(yùn)動(dòng)的關(guān)系，則能順利解決問(wèn)題. 解題中，常會(huì)涉及數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想、極端化思想以及建模思想等，這些數(shù)學(xué)思想作為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要組成部分，也是課堂教學(xué)中滲透的重點(diǎn).

參考文獻(xiàn)：

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[2]弗賴登塔爾. 作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)[M]. 上海：上海教育出版社，1995.

[3]李健. 妙用相對(duì)運(yùn)動(dòng)? 巧解動(dòng)態(tài)問(wèn)題[J]. 初中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2019（11）：35-37.