收稿日期：2022-04-21

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金（51370265）；廣東省教育部產(chǎn)學(xué)研合作專項(xiàng)資金（2013B090500089）；廣東省自然科學(xué)基金（2018A030313010）；

廣州市科技計劃（202102021135）

通信作者：楊俊華（1965—），男，博士、教授，主要從事新能源發(fā)電及其電機(jī)控制方面的研究。yly93@gdut.edu.cn

DOI：10.19912/j.0254-0096.tynxb.2022-0548 文章編號：0254-0096（2023）08-0550-06

摘 要：為應(yīng)對海洋復(fù)雜波浪環(huán)境，改善不規(guī)則激勵力下直驅(qū)式波浪發(fā)電系統(tǒng)的功率捕獲效果，降低參數(shù)變化影響，建立水動力和直線電機(jī)模型，采用線性二次型調(diào)節(jié)器方法設(shè)計系統(tǒng)狀態(tài)反饋，通過控制代價方程中的權(quán)重矩陣，權(quán)衡系統(tǒng)輸出功率、運(yùn)動部件位移和速度三者之間的關(guān)系；計算理想電磁力，得到[q]軸期望電流跟蹤值。根據(jù)系統(tǒng)攝動數(shù)學(xué)模型，將控制器設(shè)計問題轉(zhuǎn)化為H∞魯棒控制標(biāo)準(zhǔn)型問題，通過選取適當(dāng)權(quán)函數(shù)求解控制器參數(shù)，增強(qiáng)系統(tǒng)抗干擾能力。仿真結(jié)果表明，在浮子位移和速度受限制情況下，當(dāng)系統(tǒng)模型存在參數(shù)攝動時，所提控制策略系統(tǒng)輸出功率更高、魯棒性更強(qiáng)，可較好地應(yīng)對復(fù)雜海況，提高波能轉(zhuǎn)換效率。

關(guān)鍵詞：波能轉(zhuǎn)換；波浪能；優(yōu)化控制；永磁同步直線電機(jī)；線性二次型調(diào)節(jié)器；H∞控制

中圖分類號：TM619"""""" """""""""""" """""文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

0 引 言

隨著碳達(dá)峰、碳中和的不斷推進(jìn)，新能源替代傳統(tǒng)化石能源的步伐加速。太陽能、風(fēng)能隨機(jī)性較大，而波浪能單位時間內(nèi)變化幅度小、功率密度大、可預(yù)測性好［1］，有開發(fā)利用優(yōu)勢。波浪能發(fā)電研究目前已涉及波浪預(yù)測［2］、波浪能轉(zhuǎn)換器（wave energy converter， WEC）設(shè)計及改進(jìn)［3］、波浪能功率優(yōu)化［4］等方面。雖已有各類波能轉(zhuǎn)換器問世，但相應(yīng)的控制策略卻相對滯后，性能并非最優(yōu)［5］。

海洋波浪環(huán)境復(fù)雜，文獻(xiàn)［6］將波浪發(fā)電系統(tǒng)模型等效為RLC電路，通過選取適當(dāng)參數(shù)，使WEC固有頻率與波浪頻率發(fā)生共振，系統(tǒng)可獲得最大功率，但該方法僅適用于低頻正弦波激勵力情況，與實(shí)際不符。針對振蕩浮子式波浪發(fā)電系統(tǒng)，文獻(xiàn)［7］設(shè)計受控端口耗散哈密頓模型，并在無源控制器中注入阻尼以改善系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)，波能捕獲效率顯著提高，但方案只考慮規(guī)則波輸入，不規(guī)則激勵力不適用。文獻(xiàn)［8］將浮子水動力模型等效為電路圖，采用傅氏分析法將隨機(jī)海浪分解為多個正弦子系統(tǒng)，利用反步法構(gòu)造Lyapunov函數(shù)跟蹤電機(jī)狀態(tài)，可明顯優(yōu)化傳統(tǒng)算法，其波能轉(zhuǎn)換效率高、實(shí)用性強(qiáng)，但受快速傅里葉變換分辨率影響，系統(tǒng)實(shí)時性差。文獻(xiàn)［9］結(jié)合模糊控制和傳統(tǒng)PI控制器，提出波浪發(fā)電系統(tǒng)的自適應(yīng)PI控制方案，其動態(tài)響應(yīng)速度快、能實(shí)時調(diào)整控制器參數(shù)，但實(shí)際波浪發(fā)電系統(tǒng)建模中存在參數(shù)不確定的情況，可能導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定。以系統(tǒng)轉(zhuǎn)速誤差及變化率為輸入，文獻(xiàn)［10］設(shè)計了模糊神經(jīng)PID控制器、自整定控制器參數(shù)，系統(tǒng)響應(yīng)速度更快、誤差小，但模糊控制規(guī)則選取依賴經(jīng)驗(yàn)，有局限性。文獻(xiàn)［11］引入混沌算子，結(jié)合火焰自適應(yīng)機(jī)制，可在波浪周期發(fā)生改變時提高系統(tǒng)輸出功率，但未考慮水動力參數(shù)與頻率的相關(guān)性，尋優(yōu)效果實(shí)時性未定。通過設(shè)計一個由線性狀態(tài)反饋和非因果線性前饋組成的控制器，文獻(xiàn)［12］可考慮未來入射波影響，但系統(tǒng)不確定性和波浪預(yù)測誤差影響較大。文獻(xiàn)［13］采用自抗擾控制器，其電流跟蹤效果較好、抗干擾能力較強(qiáng)，但控制器設(shè)計過程中存在多個fal函數(shù)，參數(shù)多不易選擇。結(jié)合Lyapunov穩(wěn)定性理論，文獻(xiàn)［14-15］采用滑?？刂聘檘軸電流，魯棒性較強(qiáng)、跟蹤效果好，但存在抖振和輸出功率紋波問題。文獻(xiàn)［16］提出一種分層控制策略，上層控制器可獲得最佳能量轉(zhuǎn)換效率對應(yīng)的浮子參考速度；下層控制器設(shè)計滑模變結(jié)構(gòu)控制率跟蹤速度，捕獲最大波能。文獻(xiàn)［17］采用雙自調(diào)諧二階廣義積分器鎖頻環(huán)，并引入擴(kuò)展卡爾曼算法，得到波浪實(shí)時頻率和預(yù)估主頻，系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)加快，此外還采用鯨魚算法調(diào)節(jié)計算路線，提高尋優(yōu)精度，優(yōu)化功率輸出。

波浪能發(fā)電系統(tǒng)需兼顧多個控制目標(biāo)，不僅追求系統(tǒng)輸出功率最大，還要將運(yùn)動部件位移和速度控制在穩(wěn)定可靠范圍內(nèi)。本文以永磁同步直線電機(jī)（permanent magnet synchronous linear machine，PMSLM）為載體，針對不規(guī)則波浪，研究直驅(qū)式波浪發(fā)電系統(tǒng)的功率捕獲及魯棒控制問題。采用LQR控制器［18-19］，設(shè)計系統(tǒng)狀態(tài)反饋，調(diào)節(jié)權(quán)值大小，在較低控制成本下平衡考慮多目標(biāo)，求得理想電磁力，進(jìn)而得到[q]軸期望電流；以電流誤差積分為輸入，設(shè)計H∞魯棒控制器，考慮參數(shù)攝動，建立系統(tǒng)不確定性模型。仿真結(jié)果表明，相比于PI控制，在給定的不確定性范圍內(nèi)，電流跟蹤效果較好、輸出功率高、系統(tǒng)魯棒性強(qiáng)。

1 直驅(qū)式波能轉(zhuǎn)換裝置模型

直驅(qū)式波能轉(zhuǎn)換裝置結(jié)構(gòu)如圖1所示。浮子與永磁直線電機(jī)動子之間剛性連接，二者做同步垂蕩運(yùn)動，電機(jī)動子切割磁場，產(chǎn)生電能。

generation system

根據(jù)牛頓第二定律，分析直驅(qū)式波浪發(fā)電系統(tǒng)垂蕩受力，可得浮子的時域水動力方程：

[mz（t）=Fe（t）+Fg（t）-Fs（t）-Fr（t）-Fv（t）]"" （1）

式中：[m]——系統(tǒng)運(yùn)動裝置總質(zhì)量；[z]——浮子垂蕩運(yùn)動位移；[Fe]——未知波浪激勵力；[Fg]——電機(jī)電磁力；[Fs]——浮子浮力；[Fr]——輻射力；[Fv]——摩擦和流體粘滯阻力。

浮力[Fs]可表示為：

[Fs=Kz（t）=ρgπr2z（t）] （2）

式中：[r]——浮子半徑。

輻射力[Fr]可表示為：

[Fr=m∞z（t）+-∞∞kr（τ）v（t-τ）dτ]"" （3）

式中：[m∞]——系統(tǒng)在無窮頻域下的附加質(zhì)量；[kr]——脈沖響應(yīng)函數(shù)；[v]——浮子運(yùn)動速度。

計算輻射力的方程中存在卷積項(xiàng)，表示流體有記憶效應(yīng)，即此刻流體動量變化會受到過往流體運(yùn)動影響，但卷積項(xiàng)計算復(fù)雜、求解緩慢，可用狀態(tài)空間模型近似代替，以提高計算速度［20］。

[-∞∞kr（τ）v（t-τ）≈Crγr（t）γr（t）=Arγr（t）+Brv（t）]""""" （4）

式中：[γr]——輻射力對應(yīng)的狀態(tài)向量；[Ar]、[Br]、[Cr]——狀態(tài)向量矩陣。

通常，2～4階子系統(tǒng)足以近似表達(dá)輻射力中的積分項(xiàng)［21］。當(dāng)然，階數(shù)越高準(zhǔn)確度越高，但計算速度越慢，且可能存在邊際效應(yīng)擴(kuò)大趨勢，因此四階系統(tǒng)非最佳。綜合考慮，本文選擇三階狀態(tài)向量。

[Ar=A11A12A13A21A22A23A31A32A33] （5）

[Br=100T]""""" （6）

[Cr=C1C2C3] （7）

摩擦和流體粘滯阻力[Fv]可寫為：

[Fv=R0v]"""""" （8）

式中：[R0]——摩擦和阻力系數(shù)。

聯(lián)立式（1）～式（8），可得系統(tǒng)方程：

[（m+m∞）z（t）=Fe+Fg-Kz（t）-Crγr-R0v]""""" （9）

2 PMSLM模型

PMSLM是一個非線性、多變量、強(qiáng)耦合系統(tǒng)，為簡化發(fā)電機(jī)模型，忽略電機(jī)磁滯、渦流損耗及端部效應(yīng)，d-q坐標(biāo)軸下的電機(jī)數(shù)學(xué)模型為：

[diddt=udLd-RsLdid+πvτLdψqdiqdt=uqLq-RsLqiq-πvτLqψd] （10）

式中：[id]、[iq]、[ud]、[uq]、[ψd]、[ψq]、[Ld]、[Lq]——d-q軸電流、電壓、磁鏈和電感；[Rs]——定子相電阻；[v]——動子速度；[τ]——極距。

電磁力可表示為：

[Fg=3πp2τψdiq-ψqid]""" （11）

式中：[p]——極對數(shù)。

采用磁場定向控制策略，有：

[ψd=ψf+Ldidψq=Lqiq]"""" （12）

式中：[ψf]——永磁體磁鏈。

假定氣隙均勻，即[Ld=Lq=L]，將式（9）代入式（7）、式（8），可得電機(jī)狀態(tài)方程：

[diddt=-RsLid+πτiqv+1Luddiqdt=-RsLiq-πτidv-πψfτLv+1Luq]""" （13）

電磁力方程可改寫為：

[Fg=3πp2τψfiq=kfiq]""""" （14）

3 LQR控制策略

根據(jù)系統(tǒng)狀態(tài)空間方程，設(shè)計LQR狀態(tài)反饋，求得控制增益[K]，使性能指標(biāo)函數(shù)J最小。由式（4）和式（6）可導(dǎo)出LQR控制狀態(tài)空間模型：

[x=Ax+Bu]"""" （15）

[A=01000-Kmt-R0mt-C1mt-C2mt-C3mt01A11A12A1300A21A22A2300A31A32A33]"" （16）

[B=01mt00001mt000T] （17）

式中：[x]——狀態(tài)變量，[x=[z，v，γ1，γ2，γ3]T]；其中[γ1、γ2、γ3]為式（4）中輻射力對應(yīng)的狀態(tài)向量；[u]——控制量[u=[Fe，F(xiàn)g]]；矩陣[A、B]——狀態(tài)、控制矩陣。

構(gòu)建性能指標(biāo)函數(shù)：

[J=0∞xTQx+uTRudt]"" （18）

式中：[Q、R]——狀態(tài)、輸入權(quán)重矩陣，分別是五階半正定對角矩陣和正定對稱矩陣，這里為常數(shù)。

[Q]與[R]的選取會影響系統(tǒng)速度和位移，應(yīng)謹(jǐn)慎選擇。式（15）反映了對速度、位移的要求，又反映了對控制輸入的限制性能。通過合理配置權(quán)重矩陣，可使系統(tǒng)在期望速度和位移內(nèi)得到最優(yōu)輸出功率。

最優(yōu)控制律為：

[u=-Kx"，""K=k11k12k13k14k15k21k22k23k24k25]"""" （19）

[K=-R-1BTP] （20）

[ATP+PA+Q-PBR-1BTP=0]" （21）

式中：[""K]——反饋增益；[P]——式（18）中Riccati方程的對稱正定解。

4 H∞魯棒控制策略

波浪發(fā)電系統(tǒng)為非線性時變非因果系統(tǒng)，傳統(tǒng)控制策略對系統(tǒng)模型及參數(shù)依賴性高?？紤]電機(jī)電阻變化導(dǎo)致參數(shù)攝動，建立系統(tǒng)不確定模型，采用H∞魯棒控制器，求得線性最優(yōu)反饋，穩(wěn)定系統(tǒng)。為消除系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差，引入[q]軸電流誤差積分，即[0t（i?q-iq）dt]。選取狀態(tài)變量：

[x=x1x2x3x4x5x6x7T"""" =zvγ1γ2γ3iq0t（i?q-iq）dtT]

取控制輸入[u=uq]，則含參數(shù)攝動的被控對象標(biāo)準(zhǔn)形式為：

[x=（A+ΔA）x+B1ω+B2uz=Cx+Du]""" （22）

式中：[A]、[B1]、[B2]——參數(shù)矩陣；[ω]——干擾信號；[ΔA]——參數(shù)攝動矩陣。

[A=0100000-Kmt-R0mt-C1mt-C2mt-C3mt-kfmt001A11A12A130000A21A22A230000A31A32A33000-πψfτLq000-RsLq0k21kfk22kfk23kfk24kfk25kf-10B1=01mt00000TB2=000001Lq0TΔA=E?Σ?F]"""" （23）

式（22）中第二式為干擾抑制評價信號，其中[C、D]是為調(diào)節(jié)干擾抑制效果和控制輸入大小而設(shè)定的加權(quán)矩陣。[Σ]為未知函數(shù)矩陣，且[Σ∈Ω，E、F]為已知定常陣。

對于被控對象（式（22）），為使閉環(huán)系統(tǒng)二次穩(wěn)定，設(shè)計狀態(tài)反饋控制器：

[u=kx]""" （24）

還需滿足H∞魯棒性能準(zhǔn)則：對于任意[Σ∈Ω]，閉環(huán)系統(tǒng)內(nèi)部穩(wěn)定；由[ω]到[z]的閉環(huán)傳遞函數(shù)[Gzω（s）]滿足：

[Gzω∞lt;r]""" （25）

式中：[rgt;0]。

狀態(tài)反饋系數(shù)[k]存在的充要條件及設(shè)計方法已有證明［22］，可通過求解增廣被控對象得到：

[G（s）=A1εB1EB2CF0D0I00""""""=AB11B2C10D12I00]""" （26）

式中：[εgt;0]，[ε]的取值會影響系統(tǒng)干擾抑制性能；[A]為[n]階，[B11]為[m]列，[B2]為[r]列，[C1]為[q]行。

[B11=1εB1EC1=CFD12=D0]"""" （27）

在Matlab命令窗口應(yīng)用模型構(gòu)成、模型轉(zhuǎn)換、hinffi命令，可得到狀態(tài)反饋系數(shù)[k]：

[p=[A，B11，B12;C1，zeros（q，m），D12]]；

sys=pss2sys（p，7）；

［k，g，gfin］=hinffi（sys，1，0.1，20，1，2）

5 仿真實(shí)驗(yàn)分析

為驗(yàn)證所提方案，搭建直驅(qū)式波浪發(fā)電系統(tǒng)仿真模型，如圖2所示。永磁體磁鏈[ψf=0.147 Wb]，[d、q]軸電感[Ld=Lq=8.2] mH，極對數(shù)[p=4]，阻尼系數(shù)[R0=230] N?s/m，浮力系數(shù)[K=739.57] N/m，定子電阻[Rs=2.48] Ω，無窮頻域附加質(zhì)量[m∞=83.6 ]kg，運(yùn)動部件質(zhì)量[m=242] kg。運(yùn)行過程中，定子電阻[Rs]變化范圍為±25%。

系統(tǒng)輸入為不規(guī)則波浪激勵力，如圖3所示。利用LQR控制器獲得最優(yōu)電磁力，根據(jù)式（14）得到[q]軸參考電流，通過H∞控制器跟蹤給定電流使系統(tǒng)輸出最大功率。

對于LQR控制器，?。?/p>

[Q=1000500000]，[R=0.001]。

相應(yīng)地：

K=［504.26，708.71，-31.90，-62.26，221.78；

504.26，708.71，-31.90，-62.26，221.78］

對于H∞控制器，?。?/p>

[E=00000-10000T]，

[F=000000.075610]，

[C=10000010]，

[D=0000000.01T]

得狀態(tài)反饋系數(shù)：

[k=18.663.3-1.72.033.1-7.41026.1]

由圖4、圖5可知，在H∞控制下系統(tǒng)運(yùn)動部件最大位移為2.39 m、最大速度為3.23 m/s，PI控制為2.65 m和3.63 m/s，均在合理范圍內(nèi)并保證系統(tǒng)穩(wěn)定可靠。

由圖6、圖7可知，H∞控制的q軸電流最大誤差為0.32 A、PI控制的最大誤差為2.04 A；在第15秒時改變電機(jī)定子電

阻，H∞算法響應(yīng)速度較快且能在0.02 s內(nèi)恢復(fù)正常，而PI控制超調(diào)大且不能恢復(fù)常態(tài)。由圖8可知，H∞控制下系統(tǒng)平均輸出功率比PI控制高約100 W，比恒阻尼控制高約440 W。

6 結(jié) 論

本文針對不規(guī)則激勵力，將輻射力用三階狀態(tài)空間變量近似代替，結(jié)合永磁直線同步電機(jī)和水動力模型進(jìn)行建模；設(shè)計LQR控制器，通過控制代價方程的權(quán)重矩陣Q、R平衡系統(tǒng)輸出功率、運(yùn)動部件位移和速度三者關(guān)系，求得理想電磁力；采用H∞控制，解決系統(tǒng)參數(shù)攝動時的不確定性問題，增強(qiáng)系統(tǒng)魯棒性。

仿真結(jié)果表明，在浮子位移和速度受限制情況下，所提方案能較好地應(yīng)對系統(tǒng)參數(shù)攝動帶來的不確定影響，魯棒性強(qiáng)、系統(tǒng)輸出功率提高。

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POWER OPTIMIZATION AND ROBUST CONTROL OF DIRECT-DRIVE

WAVE POWER SYSTEM

Wang Chaofan，Yang Junhua，Luo Qi，Liang Haohui，Huang Yi

（School of Automation， Guangdong University of Technology， Guangzhou 510006， China）

Abstract：In order to cope with the complex sea conditions， improve the power capture efficiency of the direct-drive wave energy conversion system under irregular wave excitation， and reduce the influence of parameter uncertainty on the system， the hydrodynamic model and linear motor model were established， and a linear quadratic regulator method was proposed to design the system state feedback. The weight matrices were used to weigh the relationships between the system output power， the displacement and speed of the moving parts， and then the ideal electromagnetic force was calculated， so that the q-axis expected current could be obtained. According to the system perturbation mathematical model， the design of the controller was converted into standard H∞ optimization problem， and the controller parameters were obtained by selecting the appropriate weight function to enhance the anti-interference of the system. The simulation results show that the proposed control strategy has higher output power and stronger robustness than PI control when the system model exists perturbations under the condition of constrained float displacement and speed， which can better cope with complex sea conditions， improve wave energy conversion efficiency.

Keywords：wave energy conversion； wave power； optimal control； permanent magnet synchronous linear motor； linear quadratic regulator； H∞ control