孫謙

摘要：數(shù)學(xué)教育的重要目的是促進兒童思維的深度發(fā)展。結(jié)構(gòu)化學(xué)材是兒童思維發(fā)展的有效支架。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，可以利用結(jié)構(gòu)化學(xué)材的融通性、多元性和生長性，支持兒童思維的整體性、轉(zhuǎn)換性和自調(diào)性，促進兒童的思維抵達深處。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；結(jié)構(gòu)化學(xué)材；思維發(fā)展

*本文系江蘇省基礎(chǔ)教育內(nèi)涵發(fā)展項目“小學(xué)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)課程基地建設(shè)”的階段性研究成果。

結(jié)構(gòu)化學(xué)材是在單元整體甚至跨單元、跨學(xué)科視角下對教材內(nèi)容進行重組，基于兒童認知特點，指向兒童結(jié)構(gòu)性思維發(fā)展的可視化、易操作的學(xué)習(xí)支架。它采用多樣的表達形式吸引兒童注意，適合兒童同時進行外在的具象操作和內(nèi)在的心理經(jīng)歷，支持兒童思維向縱深發(fā)展。在結(jié)構(gòu)化學(xué)材的支持下，促進兒童思維的深度發(fā)展，促進兒童學(xué)習(xí)的深度發(fā)生，可以從思維的整體性、轉(zhuǎn)換性和自調(diào)性三個方面尋找路徑。

一、結(jié)構(gòu)化學(xué)材的融通性，支持思維整體性

所謂思維整體性，是指在研究問題時，使用全方位視角去思考知識整體及局部的內(nèi)在結(jié)構(gòu)。整體性思維與系統(tǒng)性思維、拓廣性思維、同構(gòu)性思維不可分，三方面目標指向整體性思維的高度、廣度和深度。［1］結(jié)構(gòu)化學(xué)材是在貫穿數(shù)學(xué)思想方法、洞察知識內(nèi)在聯(lián)系、厘清認知思維結(jié)構(gòu)［2］的基礎(chǔ)上開發(fā)出來的，具有融通性，可以幫助兒童從整合的視角，將學(xué)習(xí)對象分類、歸納、抽象，演繹內(nèi)在的邏輯關(guān)系，形成對一類對象的整體性認識，發(fā)展模型意識和推理意識。

結(jié)構(gòu)化學(xué)材助推兒童系統(tǒng)性思維發(fā)展。系統(tǒng)性思維是把事物整體當作一個系統(tǒng)加以思考的思維方式，具有整體性、綜合性、定量化和精確化等特點。結(jié)構(gòu)化學(xué)材的開發(fā)，從宏觀角度，能夠?qū)崿F(xiàn)數(shù)學(xué)現(xiàn)實與生活現(xiàn)實的系統(tǒng)耦合：從日常生活實際抽象出的有待解決的數(shù)學(xué)問題，可以利用結(jié)構(gòu)化學(xué)材貫通意義，如利用日常生活中稱重的天平作為學(xué)材理解等式和不等式的意義。從中觀角度，能夠?qū)崿F(xiàn)數(shù)學(xué)單元之間的系統(tǒng)耦合：義務(wù)教育階段不同領(lǐng)域的數(shù)學(xué)知識可以通過結(jié)構(gòu)化學(xué)材統(tǒng)整，如數(shù)與運算、圖形的認識與測量分屬于數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何領(lǐng)域，利用數(shù)形結(jié)合的結(jié)構(gòu)化學(xué)材，可以通過圖形度量來解釋運算的原理，也可以通過計算來找到圖形度量的關(guān)系。從微觀角度，能夠?qū)崿F(xiàn)數(shù)學(xué)單元內(nèi)部知識的系統(tǒng)耦合：一個單元內(nèi)部的各個知識點緊密聯(lián)系，自然可以利用結(jié)構(gòu)化學(xué)材來促進關(guān)聯(lián)。

結(jié)構(gòu)化學(xué)材助推兒童同構(gòu)性思維發(fā)展。同構(gòu)性思維的核心是建立知識之間的橫向聯(lián)系——通過類比，發(fā)現(xiàn)同構(gòu)，關(guān)聯(lián)方法，實現(xiàn)遷移。發(fā)展同構(gòu)性思維與《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022年版）》中強調(diào)“學(xué)科內(nèi)容的一致性”高度統(tǒng)一。一致性的實現(xiàn)是聚焦核心概念，通過將零散的內(nèi)容建立關(guān)聯(lián)，形成有關(guān)學(xué)科的大概念、大觀念，在這個過程中一定伴隨著類比、關(guān)聯(lián)和遷移等思維操作。小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，數(shù)學(xué)單元知識呈現(xiàn)分散編排、內(nèi)在聯(lián)系的特點，可以利用結(jié)構(gòu)化學(xué)材進行知識同構(gòu)、方法同構(gòu)和思想同構(gòu)。例如，結(jié)構(gòu)化學(xué)材——可彎可直的一組軟米尺（如圖1所示），將形的連續(xù)（數(shù)軸的延展）和數(shù)的連續(xù)（計數(shù)單位的累加）兩種思想聯(lián)系起來。

結(jié)構(gòu)化學(xué)材助推兒童拓廣性思維發(fā)展。思維的廣度是指思維所涉及范圍的廣闊程度。培養(yǎng)兒童的拓廣性思維，就是讓兒童在不同的抽象層次上，從已有的模式、概念出發(fā)，通過類比等去拓廣已有的結(jié)果，對可能產(chǎn)生的模式、概念進行研究，從而使數(shù)學(xué)研究的對象不斷擴充。這種拓廣，存在兩種形式：一種是對內(nèi)縱向拓廣，表現(xiàn)為對概念研究程序的進一步細化；一種是對外橫向拓廣，表現(xiàn)為根據(jù)已有概念的研究性質(zhì)推想出同類概念是否也具有同樣的研究性質(zhì)。［3］兒童在小學(xué)階段學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)內(nèi)容以各種概念為主，概念學(xué)習(xí)中的拓廣性思維發(fā)展可以借助結(jié)構(gòu)化學(xué)材。例如，利用結(jié)構(gòu)化學(xué)材——小巧型組合式計數(shù)器（如圖2所示），來研究各種各樣的數(shù)。兒童先利用在算桿上串珠學(xué)習(xí)自然數(shù)1—9；再利用算桿的增加學(xué)習(xí)自然數(shù)的數(shù)位和位值原理；接著類推到小數(shù)，利用計數(shù)器左右兩邊的延展將“十進制”遷移到小數(shù)。計數(shù)器的直觀組合過程成為搭建數(shù)位順序表的工具支架與模型支架，也是學(xué)習(xí)“數(shù)系”的重要載體。［4］

二、結(jié)構(gòu)化學(xué)材的多元性，支持思維轉(zhuǎn)換性

思維轉(zhuǎn)換性體現(xiàn)思維的多視角，即從多個角度觀察同一現(xiàn)象，用聯(lián)系的、發(fā)展的眼光看問題，會得到更加全面的認識；從多個層次、多個方面、多個角度思考同一問題，會得到更加完滿的解決方案。發(fā)展兒童思維的轉(zhuǎn)換性，就是要引導(dǎo)兒童根據(jù)不同的需求，靈活切換三種不同層次的思維形式——直覺行動思維、具體形象思維和抽象邏輯思維，達到多層面、多視角全面認知的目的。數(shù)學(xué)學(xué)科本身具有高度抽象性，大量的信息都是由符號和數(shù)字組成的。以兒童現(xiàn)有的思維水平，難以直接進行心理運演，必須借助結(jié)構(gòu)化學(xué)材的多元表征方式，如圖像、實物操作、口頭語言、文字符號等，將個體思考的過程再現(xiàn)出來，實現(xiàn)知識結(jié)構(gòu)的關(guān)聯(lián)。具體來說，多元表征具身、離身的不同體驗，可以讓兒童從不同的感覺通道豐富對被表征對象的認識；多元表征文本、非文本的呈現(xiàn)方式，可以讓兒童獲得的數(shù)學(xué)概念信息優(yōu)勢互補、相輔相成；本質(zhì)相同的言語化和視覺化表征的多種變式，可以對接不同兒童的不同思維方式，產(chǎn)生多元的學(xué)習(xí)視角。教師可以基于知識和兒童認識的特點，設(shè)計一系列知識內(nèi)在關(guān)聯(lián)、形象具體直觀的學(xué)材，組成基于意義學(xué)習(xí)的“學(xué)材包”，幫助兒童進行多元表征，抓住新舊知識之間的聯(lián)系，促發(fā)其將所學(xué)習(xí)的知識積極、主動地遷移到新的問題解決中，達到舉一反三、融會貫通、助推思維深度發(fā)展的目的。

例如，教學(xué)“兩位數(shù)加一位數(shù)的進位口算”時，教師開發(fā)了“天平”系列多層級的結(jié)構(gòu)化學(xué)材包。第一層次的學(xué)材包，包括三種意義形態(tài)的天平：實物天平、圖片天平和腦海中的抽象天平。第二層級的學(xué)材包，則是針對“平衡”情況下解決“24+6=？”的進位加法口算開發(fā)的小棒、計數(shù)器和紙筆等學(xué)材包。對第一層次三種天平學(xué)材的操作，指向直覺行動思維、具體形象思維和抽象邏輯思維。首先，通過實物天平來稱量具體的物體，在天平兩邊增減砝碼或者稱量的物品，來具身感知什么是“平衡”和“相等”。接著，通過圖片天平兩臂的高、低、平狀態(tài)，和=、>、<建立一一對應(yīng)的聯(lián)系，抽象“等式”和“不等式”的意義。最后，解決“47+□=52”“6+□□>70”的問題，依托腦海中的抽象天平，拋開實物與圖片，完全進行心理操作。三個環(huán)節(jié)，三個層次，讓兒童的動作從具身到離身，思維從具象到抽象。而第二個層次小棒、計數(shù)器和紙筆等組成的學(xué)材包，在探究“24+6何以等于30”中發(fā)揮了重要作用。兒童可以根據(jù)自己的水平選擇適合自己的學(xué)材，并在合作交流中呈現(xiàn)不同的方法——小棒擺、計數(shù)器撥，畫小棒和計數(shù)器，直接用分解式來計算，反映出直覺行動思維、具體形象思維和抽象邏輯思維三個不同的層次。再通過合作學(xué)習(xí)的方式互相理解認識，互相轉(zhuǎn)換思維。在此基礎(chǔ)上，對不同的方法進行歸納——無論采用什么動作和學(xué)材，都是先把個位上的4和6加起來，再加上十位上的2（20）。此時，兒童各種形式、層次的思維轉(zhuǎn)換自如，“通”卻“不同”，思維靈活性不斷提高。

三、結(jié)構(gòu)化學(xué)材的生長性，支持思維自調(diào)性

思維結(jié)構(gòu)中存在自我意識，可以監(jiān)控思維結(jié)構(gòu)發(fā)展。認知結(jié)構(gòu)中包含元認知，它是組織、提煉、監(jiān)控、調(diào)節(jié)、反省知識的知識及方法。思維自調(diào)性是一種思維自覺的行動，是學(xué)習(xí)者作為獨立的學(xué)習(xí)主體，主動、自覺地從事學(xué)習(xí)活動，目的在于采用各種調(diào)控措施使得自己的學(xué)習(xí)達到最優(yōu)化的過程，具有能動性、有效性和相對獨立性等特點。［5］對于兒童來說，在學(xué)習(xí)的過程中，除了憑借努力去探索和發(fā)現(xiàn)未知的領(lǐng)域，掌握解決問題的方法與策略，也要主動對自己的學(xué)習(xí)過程進行反思和審視， “通過對已有的結(jié)構(gòu)的反省，構(gòu)造出不同于原來的新結(jié)構(gòu)”［6］ ，發(fā)展內(nèi)在的學(xué)習(xí)心理機制。實現(xiàn)兒童思維自調(diào)性的發(fā)展，就要讓兒童處于特殊的生活情境和特定領(lǐng)域的知識背景中，面臨真實的問題或挑戰(zhàn)，自始至終將自己作為一個具有主觀能動性的學(xué)習(xí)主體，完整經(jīng)歷和體驗觀察、發(fā)現(xiàn)、探究、反思、修正的過程，在解決遇到的問題和困難時，自覺調(diào)整思維，成功地遷移甚至創(chuàng)造性地使用數(shù)學(xué)知識，順利解決生活中的實際問題。達到這樣的目標，需要借助于結(jié)構(gòu)化學(xué)材的趣味性、豐富性和能動性，激發(fā)兒童的興趣，讓兒童手腦結(jié)合，運用多種探究方式。更為重要的是，要利用結(jié)構(gòu)化學(xué)材的生長性，將其作為一種“沖突性”工具技術(shù)，不斷激起新的“學(xué)習(xí)困境”，動搖兒童已有認知結(jié)構(gòu)的平衡狀態(tài)，讓兒童自覺根據(jù)實際需求，主動調(diào)整思考的方向和思維的節(jié)奏，從淺表問題開始，逐步逼近問題核心。首先，利用結(jié)構(gòu)化學(xué)材的“植根”設(shè)計，讓兒童明確思維的終極目標。結(jié)構(gòu)化學(xué)材是基于知識結(jié)構(gòu)和認知結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)的學(xué)習(xí)材料，是在分解某個概念知識與認知結(jié)構(gòu)核心元素的基礎(chǔ)上設(shè)計出來的，自始至終都指向這個核心元素。其次，利用結(jié)構(gòu)化學(xué)材的“延展”設(shè)計，讓兒童自主明晰思維的發(fā)展路徑。結(jié)構(gòu)化學(xué)材的層級性和發(fā)展性，圍繞概念內(nèi)部關(guān)聯(lián)的核心元素，引導(dǎo)兒童由淺入深、逐級展開探究活動，最終抵達解決問題的終點。最后， 利用結(jié)構(gòu)化學(xué)材的“留白”設(shè)計，給兒童思維的自我調(diào)整留下空間。結(jié)構(gòu)化學(xué)材在大概念統(tǒng)整理念下進行設(shè)計，針對學(xué)習(xí)對象處于多層級不同思維水平的特點，抓大放小，凸顯兒童心理軌跡的過程，讓不同的兒童在數(shù)學(xué)思維上得到不同的發(fā)展。

例如，教學(xué)“認識小數(shù)”時，提供結(jié)構(gòu)化學(xué)材——沒有標識的米尺（1米長）。讓兒童自己測量各種物品——黑板、窗戶的邊框、課桌表面，數(shù)學(xué)書封面的長和寬等。在一次次的測量中，“量而有余”和“量而無余”的情況交替產(chǎn)生，激發(fā)了兒童的認知沖突，引發(fā)了兒童對“新數(shù)”的需求。為了追求更加精確的結(jié)果，也為了更方便地測量，學(xué)生根據(jù)自己的需要一次次進行調(diào)整，將米尺“精致化”處理。米尺上的分點越來越密，單位長度越來越小，小數(shù)部分的數(shù)位越來越多，數(shù)的精確程度越來越高。動作、圖像和抽象三者協(xié)同作用，也讓兒童慢慢體會到了數(shù)的另一個隱藏的性質(zhì)——稠密性，拓展了對數(shù)的認識的視野。在使用結(jié)構(gòu)化學(xué)材的具身操作中，隨著體驗的不斷豐富，兒童逐步把握概念的核心元素，知識從淺表走向深入，思維也從粗放不斷自調(diào)，逐步走向精細。

“數(shù)學(xué)教育應(yīng)當致力于促進學(xué)生更積極地去進行思考。” ［7］ 結(jié)構(gòu)化學(xué)材呈現(xiàn)的方法、形式和內(nèi)容，就是知識發(fā)生、思維發(fā)展的過程樣態(tài)。結(jié)構(gòu)化學(xué)材支撐下的深度學(xué)習(xí)，推動兒童思維多層面、有層次發(fā)生、發(fā)展。結(jié)構(gòu)化學(xué)材是兒童思維發(fā)展的支架，將抽象、內(nèi)隱的思維關(guān)系“下沉”到一種看得見、摸得著的狀態(tài)，讓兒童通過對它的具體動作，觸發(fā)來自腦海深處的思維脈動，真正實現(xiàn)思維的深層發(fā)展。

參考文獻：

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