秦奇 侯欣 于桓

摘 要：幻方是一個古老且具有魅力的數(shù)學(xué)問題，在當(dāng)今數(shù)學(xué)乃至其它學(xué)科中具有廣泛應(yīng)用.本文旨在介紹一種適合小學(xué)生理解的三階幻方的推導(dǎo)方法，并以此來體現(xiàn)幾個數(shù)學(xué)思想在求解三階幻方全部解的過程中的應(yīng)用，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)以及數(shù)學(xué)教學(xué)過程中數(shù)學(xué)思想的重要性，以此倡導(dǎo)在數(shù)學(xué)教與學(xué)的過程中，多加體會數(shù)學(xué)思想在問題解決過程中的指導(dǎo)作用.

關(guān)鍵詞：幻方；洛書；數(shù)學(xué)思想方法

1?問題介紹

幻方是古往今來數(shù)學(xué)研究中的一個重要問題.相傳，大禹治水時途經(jīng)洛水，有神龜出現(xiàn)，背負(fù)“洛書”，所示即三階幻方的一個解.十三世紀(jì)，南宋數(shù)學(xué)家楊輝開展了對幻方的系統(tǒng)研究，后來歐洲一些國家也開始了這方面的工作.三階幻方即如下問題：

在圖1的方框中不重復(fù)地填入1～9九個數(shù)字，使得每行、每列以及兩條對角線上的數(shù)字之和相等.

三階幻方對小學(xué)生來講可以用試數(shù)的方法來求解，但這種方法花費(fèi)時間長、效率低、學(xué)到的東西少.也有教師教小學(xué)生用羅伯法來解幻方，但只是背了口訣而已，并沒有體現(xiàn)數(shù)學(xué)原理和數(shù)學(xué)思想方法，而且只能給出一個解，這種方法收獲甚微.接下來將介紹一種適合小學(xué)高年級學(xué)生的三階幻方求解方法，并詳細(xì)分析求解過程中涉及的幾個數(shù)學(xué)思想，以倡導(dǎo)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)和教師教數(shù)學(xué)過程中應(yīng)多體會數(shù)學(xué)思想的重要性，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，達(dá)到素質(zhì)教育的目的.

2?三階幻方全部解的求解過程

2.1?求解每行、每列以及每條對角線上的數(shù)字之和

首先，把第一行三個數(shù)字之和看成一個整體，用字母a來表示，那么第二行、第三行分別的三個數(shù)字之和也是a.注意到第一行、第二行、第三行所有數(shù)字之和等于1～9九個數(shù)字的和（這里運(yùn)用到了加法交換律），即等于45，也恰好是三個a的和，那么可列出方程3a=45，從而求得a=15.又由每行、每列以及每條對角線上的數(shù)字之和相等，故每行、每列以及每條對角線上的數(shù)字之和均為15（相等的傳遞性）.

2.2?求解中間方框的數(shù)值

現(xiàn)在已經(jīng)知道每行、每列以及每條對角線上的數(shù)字之和均為15，這些和中與中間方框數(shù)值有關(guān)的和有四個：中間行、中間列、兩條對角線，呈“米”字型.這四個包含中間方框數(shù)值的和的總和為15×4=60，其中，邊上的八個方框中的數(shù)值加了一次，中間方框中的數(shù)值加了四次.而邊上的八個方框中的數(shù)值加中間方框中的數(shù)值恰好是1～9九個數(shù)字各加了一次，等于45，再另外加三次中間方框的數(shù)值，就是“米”字型的四個和的總和.用字母b表示中間方框的數(shù)值，根據(jù)分析可列出方程60=45+3b，這樣得出b=5.所以，中間方框的數(shù)值只能是5.

2.3?求解四個角上的數(shù)值

注意到四個角上的地位是“等價”的，可以任取其一進(jìn)行取值情況的討論，不妨先討論左上角的方框，可取1～9中除了5之外的八個數(shù)值.咱們已經(jīng)知道每行、每列以及兩條對角線上的數(shù)字之和均為15，中間方框的數(shù)值為5，故同一條對角線上的兩個角上的數(shù)值同奇同偶，中間行和中間列兩頭的數(shù)值也要同奇同偶.所以，可分奇偶簡化討論.若左上角的方框取奇數(shù)，則右下角也必定為奇數(shù).此時若另外一條對角線兩個角上的數(shù)值為偶數(shù)，由每條直線上的三數(shù)之和為奇數(shù)，可推出幻方中數(shù)值的奇偶性滿足圖2（a） 的情況，九個數(shù)中六個偶數(shù)三個奇數(shù)，與1～9中四個偶數(shù)五個奇數(shù)矛盾；若另外一條對角線兩個角上的數(shù)值為奇數(shù)，可推出幻方中數(shù)值的奇偶性滿足圖2（b） 的情況，也與1～9中四個偶數(shù)五個奇數(shù)矛盾.故左上角取奇數(shù)時，無論哪種情況都不可能實現(xiàn)幻方.所以左上角必為偶數(shù).由左上角是任取的四個地位“等價”的位置，故其它三個角上的數(shù)值也只能取偶數(shù).

此時，幻方中數(shù)值奇偶性分布如圖3，滿足1～9中四個偶數(shù)五個奇數(shù)的事實.

于是，2、4、6、8四個數(shù)在四個角上，且由每條直線上的三數(shù)之和為15可得2和8在一條對角線，4和6在另一條對角線.那么，到底2、4、6、8哪個數(shù)填在左上角？實際上都可以，因為四個角的地位“等價”.不妨填2在左上角，則8在右下角，此時，未填的兩個角的地位又是“等價”的.不妨填4在右上角，6在左下角.

2.4?填補(bǔ)四個邊中間方框的數(shù)值

前面的步驟已經(jīng)完成了中間和四個角上的方框的取值，使得每行、每列上的三個數(shù)中已經(jīng)填好了兩個數(shù)，再由每行、每列的和為15減掉已知兩個數(shù)的和便可得到四個邊上中間方框的數(shù)值，如圖4.

2.5?全部解

前面第三步中最后在左上角的方框中填了2，但由于四個角的地位“等價”，這里填4、6、8也是可以的.故事實上左上角有四種填法.填完左上角后，同一直線上右下角的數(shù)值也就定了.這時，右上角和左下角的地位也是“等價”的，故右上角可填剩下的兩個偶數(shù)中的任意一個，有兩種填法.也就是說，左上角有四種填法，每種填法填好后，右下角的值就定了；右上角有兩種填法，填好之后左下角的值就定了；再由第四步，三階幻方所有值就定了.故共有4×2=8種填法.

3?三階幻方求解過程中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法

3.1?整體思想

求解過程第一步中，需要把每行的三個數(shù)字之和看成一個整體，記為a，并把1～9九個數(shù)字之和看成另外一個整體，等于45，從而得出每行的三個數(shù)字之和為15.這是利用了整體思想，不必第一步就要求出每個方框中的數(shù)字，利用整體思想，先求每行、每列、每條對角線的數(shù)字之和更有效.此方法可應(yīng)用于很多小學(xué)數(shù)學(xué)問題，這里介紹一個代數(shù)例子.

明朝程大位所著《直指算法統(tǒng)宗》中有一個“百僧分饃”問題：“一百饅頭一百僧，大僧三個更無爭，小僧三人分一個，大小和尚各幾丁？”

利用整體思想可很快算出答案.假設(shè)一個大和尚與三個小和尚看成一個整體分一桌，共

4人吃4個饅頭，這樣一桌人吃4個饅頭，那么100個饅頭分25桌，每桌3個大和尚1個小和尚，最終算出答案大和尚人數(shù)為3×25=75，小和尚人數(shù)為1×25=25.

3.2?猜想驗證思想

很多小學(xué)生可以猜得到中間方框的數(shù)值填5，因為9個數(shù)從小到大排列中間的數(shù)是5，但不確定填其它數(shù)是否可以.事實上，數(shù)學(xué)家在發(fā)現(xiàn)新的重要定理或結(jié)論的過程中總是先提出猜想，再想辦法驗證的.三階幻方求解過程的第二步證明了中間方框的數(shù)值只能填5這一“猜想”.猜想驗證是非常重要的一種數(shù)學(xué)思想方法，費(fèi)馬大定理、哥德巴赫猜想、四色猜想等數(shù)學(xué)史上著名的猜想引領(lǐng)著數(shù)學(xué)學(xué)者們前仆后繼地研究，從而催動了數(shù)論、組合論等重要數(shù)學(xué)分支的發(fā)展及應(yīng)用.有人曾猜想無論幾次方程都有根式解，在后人驗證的過程中證明出五次以上方程沒有根式解.盡管最初的猜想是存在問題的，但收獲更大，還開創(chuàng)了群論這一重要數(shù)學(xué)分支.在數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)中，學(xué)生應(yīng)當(dāng)多加思考，多去驗證自己琢磨出的一些小“猜想”，教師也應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律并驗證猜想.

3.3?方程思想

方程在數(shù)學(xué)課程與教學(xué)中占據(jù)重要地位，掌握方程思想能使學(xué)生更容易接收新的數(shù)學(xué)知識.在求解三階幻方第一步中把每一行三個數(shù)字之和用字母a來表示，可列出方程3a=45，即1～9九個數(shù)字的總和.從而求得每行的三個數(shù)字之和為15，并且每列、每條對角線的三個數(shù)字之和也均為15.第二步中，把中間數(shù)值設(shè)為b，“米”字型的四個和的總和為60=45+3b，即可求出中間數(shù).許多小學(xué)數(shù)學(xué)歷史名題都有靈活多樣、精彩紛呈的算術(shù)解法，鍛煉了學(xué)生的思維能力，比如“盈虧問題”“雞兔同籠問題”“牛吃草問題”……但它們無一例外也都有比較成熟的代數(shù)解法.培養(yǎng)學(xué)生用方程解決問題的意識，循序漸進(jìn)地滲透方程思想，會讓學(xué)生受益匪淺.

3.4?分類討論思想

分類討論是在求解問題或證明結(jié)論過程中，按照一定的標(biāo)準(zhǔn)，對所有情況分成幾類，分別求解或證明的思想方法.分類時要注意所分類別要滿足互斥、無漏、最簡的原則.三階幻方求解過程第三步中左上角的方框取值通過分奇偶兩種情況討論，從而避免了一個一個去嘗試，加快了求解過程.左上角取奇數(shù)時，右下角也為奇數(shù)，進(jìn)一步對另一條對角線上兩個方框取值分奇偶討論，從而最終得出矛盾，證明了左上角方框的取值必為偶數(shù).分類討論能夠把問題化整為零，從而各個擊破，得到最后的結(jié)果.常見的應(yīng)用分類討論思想來解決的問題如等比數(shù)列求和（分公比為1時和不為1討論），再如過已知一點(diǎn)作與已知直線垂直的一條直線（分點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在直線外討論），又如求三階幻方中有多少個正方形（分正方形含1個方框，4個方框，9個方框計數(shù)）等等.

3.5?假設(shè)思想

3.6?對稱思想

三階幻方求解過程中多次運(yùn)用對稱思想，第三步四個角的方框具有“等價”地位，只需討論左上角的方框.因為其它方框可以由左上角方框通過旋轉(zhuǎn)或?qū)ΨQ得到.左上角取定之后，右下角也就取定了.這時再次利用地位“等價”，左下右上只需討論其中一個的取值，另外一個可通過對稱得到.這樣，就注定了第五步求得的1個幻方，可通過旋轉(zhuǎn)或?qū)ΨQ得到另外7個幻方.事實上，這里的對稱思想體現(xiàn)出了“二面體群”這一數(shù)學(xué)概念.幻方是一個正方形，正方形的二面體群是指正方形通過旋轉(zhuǎn)、對稱之后，與原正方形重合這樣的變換的集合.其中包含旋轉(zhuǎn)0度，90度，180度，270度四個旋轉(zhuǎn)和以水平中心線、豎直中心線及兩條對角線決定的四個對稱.所以，正方形的二面體群中有8個元素，正好在此對應(yīng)了8種幻方的填寫方法.對稱思想使得三階幻方求解過程簡化討論，只得出一個幻方便可以推出其它幻方.值得一提的是，正是運(yùn)用對稱思想，五次以上一元方程沒有求根公式這一結(jié)論才得以證明，也正是通過這一結(jié)論的證明，數(shù)學(xué)學(xué)者們才開始發(fā)展了群論這一專門研究對稱性的數(shù)學(xué)分支.

4?結(jié)語

數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)展過程中數(shù)學(xué)思想起到至關(guān)重要的作用.在問題解決過程中需要用數(shù)學(xué)思想把問題化繁為簡，這些思想的訓(xùn)練與培養(yǎng)需要落實到數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)過程中.最初數(shù)學(xué)概念的提出、猜想的驗證、定理的證明等都離不開數(shù)學(xué)學(xué)者們對數(shù)學(xué)思想方法的理解與運(yùn)用.教師在教學(xué)過程中應(yīng)當(dāng)總結(jié)并體會其中的數(shù)學(xué)思想方法，再以此為指導(dǎo)設(shè)計課程，讓學(xué)生在學(xué)的過程中充分體會數(shù)學(xué)思想的價值所在，進(jìn)而使學(xué)生在未來的學(xué)習(xí)及解決問題過程中深度思考，利用數(shù)學(xué)思想方法將問題化繁為簡，這也是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的體現(xiàn).類似于幻方這樣的具有探究性的數(shù)學(xué)問題有很多，比如雞兔同籠、孫子定理等.教師應(yīng)當(dāng)多加思考總結(jié)，深度挖掘這些數(shù)學(xué)問題解決中每一步用到的數(shù)學(xué)思想，并滲透到教學(xué)中，使得學(xué)生數(shù)學(xué)思維得到鍛煉，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)得到提高，這是教學(xué)過程中更應(yīng)注重的地方.

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基金項目：北京聯(lián)合大學(xué)教改項目：學(xué)生為中心小班制互動式教學(xué)模式改革研究——以教育研習(xí)為例（項目編號：JJ2023Q002）;

中國高等教育學(xué)會2023年度高等教育科學(xué)研究規(guī)劃課題重點(diǎn)項目：基于教育數(shù)學(xué)思想的師范生《線性代數(shù)》教學(xué)研究與實踐（課題編號：23SX0302）.