孔雯晴

(華東師范大學(xué)教師教育學(xué)院 200062)

在初中的數(shù)學(xué)課程中，利用相似解決實(shí)際問題是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)的重要內(nèi)容．北師大版和滬科版教科書設(shè)計(jì)了利用影長(zhǎng)、標(biāo)桿和鏡面測(cè)高的實(shí)踐活動(dòng)，人教版教科書中包含影長(zhǎng)測(cè)高、利用相似測(cè)河寬等問題．在已有的教學(xué)案例中，泰勒斯的故事已是老生常談，關(guān)于“相似三角形的應(yīng)用”的教學(xué)設(shè)計(jì)缺乏具有新意的素材．有教師嘗試將數(shù)學(xué)史融入教學(xué)[1-3]，獲得了學(xué)生積極的反饋．因此，本文聚焦相似三角形的實(shí)際應(yīng)用這一主題，考察歷史上的相關(guān)文獻(xiàn)和書籍(包括美國(guó)早期教科書)，以期為今天的教學(xué)提供更多的素材．

1 測(cè)量之術(shù)

早在古巴比倫時(shí)期，人們就已經(jīng)知道了兩個(gè)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例.事實(shí)上，古人是為了解決實(shí)際問題才研究幾何的，他們對(duì)于三角形的認(rèn)識(shí)源自于實(shí)際測(cè)量的需要[4]．

1.1 用矩之道

我國(guó)測(cè)量學(xué)的歷史幾乎可以追溯到大禹治水時(shí)期，據(jù)《史記·夏本紀(jì)》記載，在那個(gè)工具落后的時(shí)代，大禹“左準(zhǔn)繩，右規(guī)矩”，因勢(shì)利導(dǎo)，化堵為疏，其三過(guò)家門而不入的故事流傳至今．大禹所用之“矩”，形似現(xiàn)代的曲尺，它是如何在測(cè)量中發(fā)揮作用的呢？

圖1 用矩測(cè)高 圖2 用矩測(cè)深 圖3 用矩測(cè)遠(yuǎn)

顯然，用矩測(cè)高需要滿足被測(cè)物體底部可達(dá)的條件.如果情況更復(fù)雜一些，有什么解決辦法呢？

1.2 重差術(shù)

圖4 重差術(shù)

在《周髀算經(jīng)》中，陳子用南北兩地日影差求 太陽(yáng)高度的方法就是重差術(shù)的雛形[6]，圖4中的點(diǎn)A代表太陽(yáng)，BF和DG分別代表影長(zhǎng)．我們知道，地球是一個(gè)球體而非平面，所以陳子測(cè)日高的方法實(shí)際上是沒有意義的．若是針對(duì)生活中一般的測(cè)量問題，地面的弧度可忽略不計(jì)，此時(shí)重差術(shù)是行之有效的[7]．

圖5 晷尺測(cè)高

于12世紀(jì)面世的《莉拉沃蒂》是古印度最具影響力的算術(shù)著作，書中“關(guān)于影之實(shí)用算法”一章詳細(xì)介紹了一系列由燈火而產(chǎn)生的表(標(biāo)桿)影問題，主要與相似三角形相關(guān)[9]．光源和影長(zhǎng)的題在現(xiàn)行的教科書中很常見，蘇科版教科書就以路燈下的影子為例引出中心投影．足以看出，今天的很多數(shù)學(xué)問題都可以在歷史上找到淵源．

2 20世紀(jì)西方早期教科書中的測(cè)量之用

20世紀(jì)初，在英國(guó)興起的培利運(yùn)動(dòng)和德國(guó)數(shù)學(xué)家F.克萊因領(lǐng)導(dǎo)的教育改革不謀而合，都倡導(dǎo)數(shù)學(xué)教育應(yīng)該面向大眾，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的實(shí)用性．在這些思想的引領(lǐng)下，美國(guó)和日本也掀起了數(shù)學(xué)教育改革之風(fēng)[10]．彼時(shí)的教科書也受到這場(chǎng)數(shù)學(xué)教育改革浪潮的影響，增加了關(guān)于數(shù)學(xué)實(shí)際應(yīng)用的內(nèi)容．以美國(guó)早期的幾何教科書為例，相似三角形的實(shí)際應(yīng)用涉及測(cè)量領(lǐng)域，除了與現(xiàn)行教科書一致的影長(zhǎng)測(cè)高和鏡面測(cè)高等實(shí)例，一些簡(jiǎn)易的測(cè)量工具也走進(jìn)了幾何教科書，測(cè)量情境和工具的分類見圖6．為避免重復(fù)敘述，本文只介紹教科書中測(cè)量工具的原理及涉及的相似三角形，不具體展開計(jì)算步驟．

圖6

2.1 底部可達(dá)的高度測(cè)量

·影長(zhǎng)測(cè)高

影長(zhǎng)測(cè)高法源自希臘數(shù)學(xué)家泰勒斯，他通過(guò)影長(zhǎng)測(cè)得金字塔高度，Mallory和Stone呈現(xiàn)了影長(zhǎng)測(cè)高的實(shí)例(圖7)，該方法可歸納為：同一時(shí)間測(cè)量已知高度物體和待測(cè)物體的影長(zhǎng)，通過(guò)相似比求得待測(cè)物體的高度[11]．

圖7 影長(zhǎng)測(cè)高 圖8 標(biāo)桿測(cè)高

·標(biāo)桿測(cè)高

如圖8，Willis在介紹標(biāo)桿測(cè)高法時(shí)列舉了兩種情況：一是測(cè)量員站著測(cè)量(左圖)，二是測(cè)量員躺著測(cè)量(右圖)．顯然，第二種僅適用于地面平坦的情況，需要構(gòu)造直角三角形相似．而第一種則不受限制，當(dāng)測(cè)量員望向被測(cè)物體的頂端和底端時(shí)，視線分別與標(biāo)桿上的兩點(diǎn)重合，只需要構(gòu)造一般三角形的相似即可[12]．

·鏡面測(cè)高

如圖9，Auerbach和Walsh利用鏡面反射測(cè)量高度，其中蘊(yùn)含入射角和反射角相同(∠AMX=∠CMB)的物理原理．當(dāng)?shù)孛嫫教箷r(shí)，豎直站立的測(cè)量員AX望向點(diǎn)M處，恰能從鏡中看到被測(cè)物體BC的頂端C，證明Rt△AXM∽R(shí)t△CBM．在鏡子被普及之前，一碗水銀、墨水或者糖漿的表面可以達(dá)到同樣的效果[13]．

圖9 鏡面測(cè)高

·鉸鏈?zhǔn)焦ぞ邷y(cè)高

Long和Brenke表示，泰勒斯用影長(zhǎng)測(cè)高的方法只有陽(yáng)光燦爛時(shí)才能起作用，若要在森林中進(jìn)行測(cè)量便無(wú)法奏效，需要一種新的工具來(lái)突破這一局限．圖10展示了一種自制鉸鏈?zhǔn)焦ぞ?，在帶凹槽的金屬條SR中有一根小金屬條可以自由滑動(dòng)．當(dāng)?shù)孛嫫教箷r(shí)，如果要測(cè)樹高NL，先將QR豎直固定于地面，再將SR對(duì)準(zhǔn)樹的頂端N，小金屬條順著凹槽滑至地面點(diǎn)P，顯然N,S,R,P四點(diǎn)在同一直線上，測(cè)量LP,PQ和RQ的長(zhǎng)度，證明Rt△RPQ∽R(shí)t△NPL[14]．

圖10 鉸鏈?zhǔn)焦ぞ邷y(cè)高 圖11 十字桿測(cè)高

·十字桿測(cè)高

Stone和Millis使用十字桿(cross-staff)測(cè)量物體AB的高度(圖11)，橫桿DE可順著直桿FG上下移動(dòng)，使得D,F,B三點(diǎn)共線，測(cè)量DE,EF,CD和AC的長(zhǎng)度，證明Rt△DEF∽R(shí)t△DCB[15]．

·三角測(cè)高儀測(cè)高

如圖12，據(jù)Willis記載，三角測(cè)高儀又叫佛斯特曼測(cè)高儀(Faustmann’s Hypsometer)，護(hù)林員常常用它來(lái)測(cè)樹高．點(diǎn)D處有一根鉛垂線(左圖)，護(hù)林員從點(diǎn)A處透過(guò)DE上的小洞觀測(cè)到樹的頂端C點(diǎn)，此時(shí)鉛垂線與EE′相交于F點(diǎn)，讀出EF的長(zhǎng)度，接著借助水準(zhǔn)儀，由助手在樹上標(biāo)記B點(diǎn)(AB與地面平行)并測(cè)量BG的長(zhǎng)度，證明△DEF∽△ABC[12]．

圖12 三角測(cè)高儀測(cè)高

·四分儀測(cè)高

四分儀(geometric square)是一種帶有鉛垂線的幾何方形工具(圖13)．測(cè)量員將四分儀放置于地面，沿著上邊緣的兩個(gè)小孔望向被測(cè)物體的頂端N處(三點(diǎn)共線)，此時(shí)鉛垂線穿過(guò)刻度點(diǎn)C，讀出BC的長(zhǎng)度，且AB長(zhǎng)度已知．若地面平坦，則四邊形ADMP為矩形，測(cè)量AD或PM,AP或DM的長(zhǎng)度，證明△APN∽△ABC[15]．

圖13 四分儀測(cè)高 圖14 兩次標(biāo)桿測(cè)高

2.2 底部不可達(dá)的高度測(cè)量

·兩次標(biāo)桿測(cè)高

2.3 兩點(diǎn)可達(dá)的距離測(cè)量

兩點(diǎn)可達(dá)是指兩個(gè)測(cè)量點(diǎn)均是可接近點(diǎn)，但其被障礙物隔開，測(cè)量員無(wú)法直接測(cè)量該兩點(diǎn)間的距離．

·構(gòu)造相似測(cè)距

圖15 構(gòu)造相似測(cè)距 (兩點(diǎn)可達(dá))

2.4 一點(diǎn)可達(dá)的距離測(cè)量

一點(diǎn)可達(dá)是指只有一個(gè)測(cè)量點(diǎn)可接近，另一個(gè)測(cè)量點(diǎn)不可接近．

·構(gòu)造相似測(cè)距

一點(diǎn)可達(dá)常以測(cè)量河寬為情境，若要測(cè)量岸邊一點(diǎn)A到對(duì)岸一點(diǎn)B之間的距離，可以構(gòu)造一對(duì)相似三角形．如圖16(左)，在岸邊作AD⊥AB和AD⊥DE，此時(shí)BE與AD交于點(diǎn)C，證明Rt△ABC∽R(shí)t△DEC，測(cè)量AC,ED和CD的長(zhǎng)度，通過(guò)對(duì)應(yīng)線段成比例即可求出AB的距離．也可以構(gòu)造一般的相似三角形見圖16(右)，在AB間取一點(diǎn)D，任意在岸邊作一條線段DE，再過(guò)點(diǎn)A作AC∥DE，使得C,E,B在同一直線上，取AF=DE，易證四邊形AFED是平行四邊形，則由平行可知△CFE∽△CAB，測(cè)量CF,EF,CA的長(zhǎng)度，同理可求AB的距離[13]．

圖16 構(gòu)造相似測(cè)距(一點(diǎn)可達(dá))

·矩尺桿測(cè)距

矩尺桿是由木桿AC和矩尺ECD組成的測(cè)量工具(圖17)，其中∠ECD=90°，測(cè)量員將CD端指向點(diǎn)B處，此時(shí)CE端指向地面的點(diǎn)F處，測(cè)量FA和AC的長(zhǎng)度，證明△CAF∽△BAC，即可求出AB的長(zhǎng)度[15]．

圖17 矩尺桿測(cè)距 圖18 十字桿測(cè)距

·十字桿測(cè)距

用十字桿測(cè)距的原理與用其測(cè)高的原理一致，如圖18，將橫桿DE順著直桿AC上下移動(dòng)，使得C,D,B在同一直線上，測(cè)量CE,AC,DE的長(zhǎng)度，證明△CED∽△CAB[15]．

·四分儀測(cè)距

與十字桿一樣，四分儀也可用于距離的測(cè)量 (圖19)．若要測(cè)量PQ的距離，與測(cè)高的原理相同，只要測(cè)量AB,BC和AP的長(zhǎng)度，再證明△QPA∽△ABC[15]．

圖19 四分儀測(cè)距 圖20 鼓面測(cè)距

·鼓面測(cè)距

如圖20，若要測(cè)量地面上AB的距離，Stone和Millis將鼓面(drum heads)放置于地面上的點(diǎn)B處，從鼓面上點(diǎn)b沿BA方向作一條方向線ba(點(diǎn)b與點(diǎn)B在同一垂線上)，在地面上選取一點(diǎn)C，再沿BC方向作線段bc，將鼓面沿BC方向移至點(diǎn)C處(點(diǎn)c與點(diǎn)C在同一垂線上)，從鼓面上的點(diǎn)c沿CA方向作直線，交方向線ba于點(diǎn)a．測(cè)量BC,bc,ba的長(zhǎng)度，證明△abc∽△ABC[15]．

·平板儀測(cè)距

平板儀(plane-table)一般用于制作地圖時(shí)定位和查找距離，其由圖板和三角架組成，見圖21(左)，圖板上有一把直尺，在直尺的首、末端各有一個(gè)觀測(cè)點(diǎn)S和S′，通常會(huì)在上面放望遠(yuǎn)鏡．例如，要測(cè)量PQ的距離，見圖21(右)，首先在地面和圖板上過(guò)點(diǎn)P作一條基線MN，將直尺的S端與點(diǎn)P重合，旋轉(zhuǎn)直尺使得S，S′和Q三點(diǎn)共線，從點(diǎn)P沿尺畫條方向線．再將平板儀從T處沿MN平移至T′處，則點(diǎn)P對(duì)應(yīng)移動(dòng)到點(diǎn)P′處，接著將直尺S端放在P′N上任意點(diǎn)K處，旋轉(zhuǎn)直尺使得S，S′和Q三點(diǎn)共線，此時(shí)SS′交方向線于點(diǎn)L，構(gòu)造出△P′KL，測(cè)量PK,P′K,P′L，證明△P′KL∽△PKQ．平板儀與鼓面的測(cè)距方法相同，前者的操作更加便捷[17]．

圖21 平板儀測(cè)距(一點(diǎn)可達(dá))

·等角縮小測(cè)距

如圖22，若要測(cè)量AB的距離，選取長(zhǎng)度可測(cè)的AC為基線，測(cè)量∠ACB和∠CAB的大小，接著在紙上作一線段A1C1(AC是A1C1的n倍)，再作∠ACB=∠A1C1B1和∠CAB=∠C1A1B1，顯然△ABC∽△A1B1C1，則AB=nA1B1．這種等角縮小測(cè)距法主要用于軍事[18]．

圖22 等角縮小測(cè)距 圖23 目測(cè)距離法

·目測(cè)距離法

在軍事領(lǐng)域，目測(cè)距離法更加便捷，但測(cè)量誤差較大.如圖23，首先，觀測(cè)者伸直手臂并伸出一根手指，閉上左眼，觀察到指尖與物體A重合．接著睜開左眼、閉上右眼，觀察到物體移至點(diǎn)B處，AB是交換眼睛后物體移動(dòng)的距離，已知臂長(zhǎng)約為眼間距的10倍，通過(guò)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例的原理，可以估測(cè)AO間的距離，進(jìn)而計(jì)算AC間的距離．例如一艘戰(zhàn)艦長(zhǎng)度為172 m，用上述方法在海上觀察時(shí)，發(fā)現(xiàn)戰(zhàn)艦似乎移動(dòng)了四條船的長(zhǎng)度，則距離約為172×4×10=6 880 m[15]．

2.5 兩點(diǎn)不可達(dá)的距離測(cè)量

兩點(diǎn)不可達(dá)是指兩個(gè)測(cè)量點(diǎn)均不可接近．

圖24 平板儀測(cè)距(兩點(diǎn)不可達(dá))

3 結(jié)論與啟示

在三角學(xué)出現(xiàn)以前，相似三角形在早期的測(cè)量領(lǐng)域中具有非常重要的應(yīng)用價(jià)值，解決了很多生活中的問題.相似三角形應(yīng)用的歷史為今天的課堂教學(xué)提供了許多啟示．

(1)基于同一情境設(shè)計(jì)不同層次的問題，構(gòu)建問題串

若以大禹治水為背景，參照?qǐng)D6將測(cè)高問題由底部可達(dá)變成底部不可達(dá)，將測(cè)距問題由兩點(diǎn)可達(dá)到一點(diǎn)可達(dá)，再變成兩點(diǎn)不可達(dá)，問題難度層層遞進(jìn).假如學(xué)生是大禹，他將會(huì)如何解決這些測(cè)量問題呢？再將學(xué)生的解決方案進(jìn)行古今對(duì)照，與古人跨時(shí)空對(duì)話，增強(qiáng)他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心．

(2)開展綜合實(shí)踐活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造力

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》(下稱《標(biāo)準(zhǔn)》)強(qiáng)調(diào)了要進(jìn)一步加強(qiáng)綜合與實(shí)踐領(lǐng)域的教學(xué)活動(dòng)，以真實(shí)問題為載體，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力等綜合品質(zhì)[19]87．雖然早期科技并不發(fā)達(dá)，但也出現(xiàn)了一些凝聚智慧的測(cè)量工具，這些工具體現(xiàn)了測(cè)量員們的創(chuàng)新精神．若以測(cè)量校園內(nèi)某一物體的高度為實(shí)踐活動(dòng)，要求學(xué)生自主設(shè)計(jì)測(cè)高或測(cè)距工具進(jìn)行測(cè)量，他們會(huì)想到哪些方法？又會(huì)制作出怎樣的測(cè)量工具呢？答案是令人期待的．學(xué)生在解決問題的過(guò)程中獲得數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，感悟數(shù)學(xué)的價(jià)值，進(jìn)而對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生好奇心和求知欲．

(3)依托信息技術(shù)，創(chuàng)新教學(xué)方式

歷史上關(guān)于相似三角形應(yīng)用的素材非常豐富，然而課堂的時(shí)間十分有限，若將其都編成數(shù)學(xué)問題則不現(xiàn)實(shí)，若是以大段文字材料的形式呈現(xiàn)又顯乏味．教師可以把相關(guān)素材制作成一個(gè)微視頻，通過(guò)一個(gè)主題，講好一段故事，展現(xiàn)數(shù)學(xué)人文的一面，讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)源于生活又應(yīng)用于生活，從而建立良好的數(shù)學(xué)觀，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣．

(4)融傳統(tǒng)文化于課堂，實(shí)現(xiàn)德育之效

《標(biāo)準(zhǔn)》提倡在數(shù)學(xué)課程中弘揚(yáng)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化[19]2，教師可以發(fā)揮《周髀算經(jīng)》、重差術(shù)等優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的育人功能，幫助學(xué)生了解和領(lǐng)悟中華民族獨(dú)特的數(shù)學(xué)智慧，增強(qiáng)文化自信和民族自豪感．