黃森霞

(江蘇省常熟中學 215516)

解析幾何的圖形本身具有高度對稱的特點，但是在解析幾何問題中，往往會出現(xiàn)一些非對稱結構，比如在處理定點定值這一類問題時，經常會遇到結構不對稱、圖形動態(tài)軌跡不對稱等問題．“非對稱”是指圖形或物體相對某個點、直線或者平面而言，在內容、大小、形狀和排列上具有差異性．如何將不對稱問題轉化為對稱問題，是解決這一類問題的關鍵．

下面是一道以定值問題為背景的解析幾何題，筆者在一次課上嘗試從三個不同的層次將其轉化為對稱問題來處理．

1 問題

圖1

(1)求橢圓E的標準方程；

2 層次1——對于韋達定理非對稱結構的轉化

方法1 和積轉化，整體消元

評注在目標式中，出現(xiàn)了兩根的非對稱結構，不能直接代入韋達定理進行運算，此方法是借助于韋達定理的兩根之和與兩根之積的等量關系，先將積轉化為和，再與單獨的根合并后重新整合，以此達到整體消元的目的．其關鍵式子是λy1y2=μ(y1+y2)．

方法2 部分代換，整體消元

方法3 平方升冪，曲線代換

3 層次2——對于目標式非對稱結構的轉化

方法4 轉化目標，韋達定理

圖2

即轉化為求證k1k3為定值問題．

方法5 轉化目標，方程同構

方法6 轉化目標，構造齊次

4 層次3——從結構上直接進行齊次轉化

方法7 轉化目標，結構齊次

5 回顧與反思

對于本題非對稱結構的處理上，三個層次層層遞進.

第一層次是針對運算過程中的非對稱結構的式子，如何利用韋達定理的對稱性或者橢圓方程的對稱性進行轉化，使之出現(xiàn)對稱的可用韋達定理的結構形式．這一層次的思維要求并不高，適合所有聯(lián)立方程后的韋達定理不可用的轉化，其難點是在計算中運算量較大，需要有一定的計算功底．

第二層次是從問題的本質出發(fā)，對于目標式不對稱的原因進行思考，只要將其轉化為一條直線與圓錐曲線相交的兩點，那么目標式必然是對稱的，而在轉化的過程中需利用圓錐曲線圖形的對稱性.橢圓上關于中心對稱的兩點與其上任意一點連線的斜率之積為定值，剛好可以轉化到目標式的標準對稱結構，然后只要正常聯(lián)立方程，利用韋達定理即可達到目的．這一層次需要抓住圓錐曲線的本質，對其常見結論有一定的了解，才能順利轉化，計算量相對減?。?/p>