顏 波

(江蘇省張家港市教師發(fā)展中心 215600)

1 引言

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》[1]指出，教師要發(fā)揮主導(dǎo)作用，處理好講授與學(xué)生自主學(xué)習(xí)的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生獨立思考、主動探究、合作交流，使學(xué)生理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識與技能、數(shù)學(xué)思想和方法，獲得基本的數(shù)學(xué)活動經(jīng)歷.初中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)提出的過程目標(biāo)著重強(qiáng)調(diào)了“經(jīng)歷、體驗、探究”等術(shù)語.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》[2]指出，高中數(shù)學(xué)教學(xué)以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，啟發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)．提倡獨立思考、自主學(xué)習(xí)、合作交流等多種學(xué)習(xí)方式，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，促進(jìn)學(xué)生實踐能力和創(chuàng)新意識的發(fā)展．同時，《國務(wù)院辦公廳關(guān)于新時代推進(jìn)普通高中育人方式改革的指導(dǎo)意見》[3]在創(chuàng)新教學(xué)組織管理部分也提出：“積極探索基于情境、問題導(dǎo)向的互動式、啟發(fā)式、探究式、體驗式等課堂教學(xué)，注重加強(qiáng)課題研究、項目設(shè)計、研究性學(xué)習(xí)等跨學(xué)科綜合性教學(xué)，認(rèn)真開展驗證性實驗和探究性實驗教學(xué).”現(xiàn)代數(shù)學(xué)哲學(xué)認(rèn)為，數(shù)學(xué)是人類創(chuàng)造文明的成果，是一個探究和認(rèn)知的過程.數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該基于課程標(biāo)準(zhǔn)的理念展示這一創(chuàng)造性活動.數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，啟發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì).多年來筆者一直努力踐行“數(shù)學(xué)探究活動”教學(xué)，并在教學(xué)實踐中形成了些許思考，現(xiàn)結(jié)合自身的教學(xué)實踐與思考整理成文，敬請批評指正.

2 發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)探究能力的教學(xué)實踐

在人教A版教科書(2019年版)的主編寄語中有這么一段話：仔細(xì)閱讀教科書，用心揣摩每句話，搞懂每個例題，在探究、質(zhì)疑、反思中逐漸領(lǐng)悟概念及其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法，并用簡明扼要的語言概括出來，從而實現(xiàn)認(rèn)識的升華.這個過程，貌似慢而實為快，在反復(fù)推敲中悟出學(xué)習(xí)竅門，達(dá)到舉一反三、觸類旁通的效果，進(jìn)而一通百通，由慢轉(zhuǎn)快，這樣的快是真快，是無后顧之憂的快，是充滿智慧的快.

2.1 挖掘數(shù)學(xué)教材的文本內(nèi)容來實施探究教學(xué)

從教學(xué)實踐來看，教材中適合數(shù)學(xué)探究的問題很多，可以將教材中的數(shù)學(xué)公式、法則、性質(zhì)、定理等作為探究問題，進(jìn)行數(shù)學(xué)知識的過程性探究，也可以將教材中典型例、習(xí)題等作為基本探究問題，進(jìn)行數(shù)學(xué)知識的遷移性探究.

案例1探究與發(fā)現(xiàn)：祖暅原理與柱體、錐體的體積

在研究了柱體與錐體體積之后，可以提出猜想：球的體積如何推導(dǎo)？

師:將半球(圖1)放在平面M上，距底面M為x(0≤x≤r)的截面圓面積為π(R2-x2)=πR2-πx2．由此分析一下，應(yīng)構(gòu)造什么樣的幾何體？

生:面積為πR2-πx2的圖形可以是一個圓環(huán)，該圓環(huán)外圓半徑為定值R、內(nèi)圓半徑為x，當(dāng)x由0增大到R時，內(nèi)圓逐漸變大.因此，構(gòu)造的幾何體應(yīng)該是一個底面半徑和高都等于R的圓柱，挖去一個以上底面為底面、下底面圓心為頂點的圓錐后所得的幾何體(圖1).

師(繼續(xù)提問)：旋轉(zhuǎn)體的母線是拋物線y=x2(0≤y≤H)的一部分，y軸為旋轉(zhuǎn)軸，探討該旋轉(zhuǎn)體的體積.

案例2基本不等式的應(yīng)用——求最值(復(fù)習(xí)課)

這是筆者開設(shè)過的一節(jié)市級公開課，借助課本上的例、習(xí)題變式教學(xué)示范引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會探究問題，從而達(dá)到降低試題的“厚度”與“廣度”，讓學(xué)生深刻把握知識本質(zhì).本節(jié)主要凸顯基本不等式在求最值中的應(yīng)用.在“一正二定三等”這六字中最難的應(yīng)該是“定”，它蘊(yùn)含了構(gòu)造的方法，教學(xué)中往往被過早的換元技巧講解淡化了，影響學(xué)生對整體構(gòu)造的理解.筆者根據(jù)課本題進(jìn)行如下設(shè)計：

生：為了體現(xiàn)正數(shù)，需要a與b同號.

學(xué)生經(jīng)過教師點撥以及小組合作，得到如下問題：

由課本題出發(fā)，通過設(shè)計一個變式讓學(xué)生充分理解應(yīng)用基本不等式求最值的三個要素，其中核心要素是定值的應(yīng)用．那么定值的關(guān)鍵在于構(gòu)造，教學(xué)中沒有過早用換元法介入，而是讓學(xué)生初步感受整體思想的應(yīng)用，領(lǐng)悟換元法的本質(zhì).然后基于變式的思想鼓勵學(xué)生自主設(shè)計問題，從而可以得到一組試題，進(jìn)一步以基本模型的結(jié)構(gòu)設(shè)計，通過代換重新得到一組問題；接著繼續(xù)設(shè)置問題，讓學(xué)生自主探究一個經(jīng)典模型，打破了教學(xué)中對“1”的代換的理解．這樣設(shè)計的探究教學(xué)，讓學(xué)生學(xué)會通過變式探究加強(qiáng)對知識本質(zhì)的理解，也通過變式教學(xué)逐步引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會自主探究．

2.2 通過對試題的研究與開發(fā)來實施探究教學(xué)

高中每學(xué)期的期末試題、高三的歷次?？碱}以及高考題都有很高的研究和開發(fā)價值，代表了命題專家的研究水平．一線教師應(yīng)該通過對試題的開發(fā)研究引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會研究試題，從而避免就題論題的現(xiàn)象，也加深學(xué)生對試題的理解，這樣才能夠深刻領(lǐng)悟知識本質(zhì).試題凝結(jié)著命題人的心血和智慧，深入學(xué)習(xí)、研究試題，探究其一般結(jié)論或改編其結(jié)構(gòu)產(chǎn)生“新”的問題，能有效提升教師的解題能力和研究水平，同時可以帶動學(xué)生對試題的探究，從而培養(yǎng)起探究數(shù)學(xué)問題的興趣.基于這樣的觀點，筆者嘗試從一道?？碱}出發(fā)組織教學(xué)，以便激發(fā)學(xué)生的探究意識.

案例3(模考題講評)已知拋物線M:y2=4x.過點(0，1)的直線l與拋物線M交于P，Q兩點，過點F(-1，0)的直線FP，F(xiàn)Q與拋物線M分別交于點D(異于點P)，E(異于點Q)．證明：直線DE的斜率為定值.(學(xué)生解答后，提煉本題的思想核心，然后提出如何設(shè)置問題對本題進(jìn)行探究.)

合作探究1 將點F(-1，0)換成F(1，0)，那么直線DE的斜率為定值嗎？

思考：已知拋物線M:y2=4x，F(xiàn)(-1，0).斜率為1的直線l與拋物線交于點D，E，直線DF,EF分別與拋物線交于點P(異于點D)，Q(異于點E).證明：直線PQ恒過定點.

合作探究4 將F(-1，0)改為F(1，0)，可得直線PQ恒過定點(0，1).

合作探究5 已知拋物線M:y2=4x，F(xiàn)(a，0).斜率為m的直線l與拋物線交于點D，E，直線DF,EF分別與拋物線交于點P(異于點D)，Q(異于點E)．證明：直線PQ恒過定點.(答案：直線PQ恒過定點(0，-am))

本題基于拋物線方程的結(jié)構(gòu)特征及拋物線上兩點間直線方程的結(jié)構(gòu)特點來設(shè)計教學(xué)，通過特殊到一般的改變問題引導(dǎo)學(xué)生探究試題．學(xué)生在共同合作下得到了一系列探究問題；繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生從逆向的角度對問題進(jìn)行設(shè)計，繼續(xù)開展探究．從本題的效果看，學(xué)生感受到了問題探究的思路與方法，進(jìn)一步理解了知識結(jié)構(gòu)的特點，從而學(xué)會了更好地解題.

(1)求E的方程；(2)證明：直線CD過定點.

通過解答此題，你可以有哪些探究？(給學(xué)生一周的時間思考)

結(jié)果收集如下：

針對新高考模式下開放題的結(jié)構(gòu)特點，學(xué)生分別從條件和結(jié)論出發(fā)設(shè)計了如下兩個探究：

在以下三個結(jié)論中選擇一個填在橫線處進(jìn)行證明.

本題基于橢圓第三定義的理解以及斜率之積為定值與直線過定點兩個模型，引導(dǎo)學(xué)生探究本題，留給學(xué)生的時間較多，讓學(xué)生對本題深入研究并提出一些探究想法．在整個過程中學(xué)生的思維得到了激活，能力得到了鍛煉，研究興趣得到了激發(fā).

3 發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)探究能力的幾點思考

3.1 創(chuàng)設(shè)問題情境，引導(dǎo)學(xué)生積極探究

創(chuàng)設(shè)問題情境是指在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中教師通過營造氛圍或提出預(yù)設(shè)問題，并使當(dāng)下的問題情境與學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)之間產(chǎn)生矛盾沖突，學(xué)生憑借已有的知識不能獨立理解或解決這一矛盾沖突，必須用到新知識或新方法，從而產(chǎn)生對新知識或新方法學(xué)習(xí)的迫切愿望，進(jìn)而激發(fā)起強(qiáng)烈的求知欲．創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)問題情境的目的就是使學(xué)生明確數(shù)學(xué)探究的目標(biāo)，起到激疑誘思、打破原有認(rèn)知平衡的效能[4].只有當(dāng)學(xué)生對學(xué)習(xí)產(chǎn)生興趣時，他們才能從“要我學(xué)”轉(zhuǎn)變到“我想學(xué)”，再到“我要學(xué)”.為了讓學(xué)生對學(xué)習(xí)產(chǎn)生濃厚的興趣，教師在課堂上創(chuàng)設(shè)一些懸念和情景，啟發(fā)學(xué)生把生活中的現(xiàn)象與學(xué)習(xí)的內(nèi)容相結(jié)合,對之進(jìn)行探究和思考，讓學(xué)生認(rèn)識到平時學(xué)習(xí)的知識對解決生活中的實際問題很有幫助，由此引起學(xué)生的注意，喚起學(xué)生對學(xué)習(xí)內(nèi)容的好奇心，使學(xué)生對學(xué)習(xí)產(chǎn)生濃厚的興趣.精心備課、突出重點、找準(zhǔn)問題，課堂上留下足夠的時間讓學(xué)生動起來、有足夠的內(nèi)容讓學(xué)生動起來，學(xué)生動手、動腦、動口，趣中生“疑”，讓學(xué)生在質(zhì)疑中發(fā)現(xiàn)問題，圍繞問題各抒己見、深入學(xué)習(xí).

3.2 營造開放環(huán)境，鼓勵學(xué)生主動探究

學(xué)習(xí)中開放的探究環(huán)境，需要教師轉(zhuǎn)變觀念．教學(xué)中經(jīng)常有教師認(rèn)為這是“浪費時間”，其實不然，往往這樣的學(xué)生未來更有創(chuàng)造力，這樣的教學(xué)才符合課標(biāo)要求、才落實了國家教育要求.為此，創(chuàng)造開放的環(huán)境可以從如下幾方面入手：要善于培養(yǎng)“敢問”的學(xué)生,教師要讓學(xué)生深入分析并把握知識間的聯(lián)系，提出恰當(dāng)?shù)摹⒏挥袉l(fā)性的問題,啟迪和引導(dǎo)學(xué)生發(fā)散思維，同時用多種方法引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、試驗、分析、猜想、歸納、類比、聯(lián)想等思想方法主動地發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、創(chuàng)造性地解決問題；要善于鼓勵“不同”的見解,引導(dǎo)學(xué)生廣開思路，重視發(fā)散思維，鼓勵學(xué)生標(biāo)新立異,大膽探究;要善于看見“特別”的地方.在教學(xué)中，教師要注意發(fā)現(xiàn)并肯定學(xué)生的探究性成果，尤其應(yīng)強(qiáng)調(diào)學(xué)生的特別之處、高明之處,使學(xué)生探索的光華得以展現(xiàn)，使學(xué)生探究的自信心不斷增強(qiáng).布置“開放”的作業(yè)能有效幫助學(xué)生形成探究意識.比如高中數(shù)學(xué)習(xí)題中的實踐與探索部分常常被忽略，而恰恰是這種類型的作業(yè)更能激發(fā)學(xué)生的探究意識.還有一些探究作業(yè)需要學(xué)生分工合作來進(jìn)行，并且沒有所謂的標(biāo)準(zhǔn)答案.學(xué)生先要確立主題并主動查閱資料，進(jìn)行內(nèi)容的篩選與整合.這種作業(yè)因為與生活和現(xiàn)實社會，甚至與科技發(fā)展緊密相連，所以能為學(xué)生創(chuàng)設(shè)廣闊的空間，對學(xué)生而言，更能激發(fā)他們的創(chuàng)造意識，每一步都是他們?nèi)碌奶剿?，真正達(dá)到以作業(yè)促探究.

3.3 組建興趣團(tuán)隊，培養(yǎng)學(xué)生合作探究

培養(yǎng)學(xué)生的合作探究能力是教師需要用心用智去完成的一項系統(tǒng)工程,它包括培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣與合作興趣、敢于質(zhì)疑、積極創(chuàng)新、獲得成功體驗、習(xí)得探究方法等多方面的內(nèi)容.教師應(yīng)結(jié)合教育實踐和理論學(xué)習(xí),循序漸進(jìn)地培養(yǎng)學(xué)生的合作探究能力.課堂上，教師要教給學(xué)生合作探究的方法,如：人人發(fā)言、組內(nèi)展示，組長匯總、組間分享，學(xué)生點評、教師點撥.學(xué)生可以在合作探究中獲取新知、獲得感悟、提高學(xué)習(xí)力.在學(xué)習(xí)過程中，我們不僅要讓學(xué)生學(xué)會探究,而且要鼓勵創(chuàng)新，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新能力，讓學(xué)生創(chuàng)造性地學(xué)習(xí).實際教學(xué)中，作為教師，要善于提升學(xué)生“自學(xué)”的能力，讓學(xué)生能用科學(xué)的方法主動探求知識，讓他們成為敢于質(zhì)疑問難、個性充分發(fā)展的學(xué)習(xí)的主人.在提升學(xué)生自主學(xué)習(xí)過程中，教師要發(fā)揮好主導(dǎo)作用，教師需要經(jīng)常啟發(fā)、適時點撥、積極引導(dǎo)，需要長期、有計劃地進(jìn)行培養(yǎng)．這樣的教學(xué)方式才可以激活學(xué)生思維，培養(yǎng)學(xué)生探究能力，開展創(chuàng)造性的學(xué)習(xí).