楊宇佳 蘇洪雨

(華南師范大學數學科學學院 510631)

1 背景

*本文系國家教育考試科研規(guī)劃2021年度重點課題“面向教考銜接的新時代高考數學內容改革研究”(GJK2021008)、廣東省高等教育教學改革項目“新師范課程‘數學解題研究’線上線下混合教學設計研究”(粵教高函〔2020〕20號)的階段性研究成果.

2022年新高考試題深化基礎性考查，注重數學的本質與創(chuàng)造性思維，深入考查核心素養(yǎng)和關鍵能力[1]，因此要想學好數學，領會精髓，必須要掌握最基礎的兩個能力：精確計算和嚴謹證明.美國著名教育家波利亞曾說過：掌握數學就意味著要善于解題.而數學題目是千奇百怪、變化莫測的，當解題遇到瓶頸時，到底應當如何應對？利用解題技巧，只能對固定的某類問題進行套路化的解題程序，仍處于解題的識別、模仿等低能力層級，是新高考正要逐步淡化的內容；而僅僅了解解題思想，對解題的方向指引也較低[2].因此需要一個真正能在解題時提供思路，但又不是某種固定題型的套路化程序的方法.實際上這就是解題策略：當解題陷入困境時，能利用某種有效的解題策略靈活調動知識，獲得相應的解題路徑.

基于上述背景，對差異分析這個解題策略進行研究，選取2022年新高考數學試題中的部分題目，利用差異分析策略逐一進行探究，領會差異分析在數學解題過程中的作用和效果.

2 解題中的差異分析策略

通過分析題目給出的條件與所要求的結論之間的異同，并不斷減少目標差來完成解題的策略，稱為差異分析策略[3].運用差異分析可以同時考慮“從哪里入手”和“向哪里前進”這兩個關鍵問題，通過靈活調動已經內化的相關知識點，找到解題方法或簡化解題過程.

以下是解題過程中差異分析策略的具體步驟：

(1)尋找題目給出的條件與所要求的結論中出現的特征,如：數量特征(元素個數、字母的系數或指數等)、關系特征(大于或等于、平行或垂直等)和位置特征等；

(2)尋找條件與結論中的特征差異，即目標差；

(3)靈活調動已掌握的知識點，主動作出嘗試減少目標差的反應，向著減少目標差的方向前進，完成解題.

使用差異分析進行解題時，注意不能盲目地作出反應，減少目標差的調節(jié)要反復多次發(fā)揮作用，使得目標差的減少可以積累起來，這樣的行為才是有效果的.

3 差異分析策略在解新高考試題中的應用

3.1 三角恒等變換

三角函數的化簡、證明和求值變換是學習的一大難點，它對思維的靈活性和邏輯推理、數學運算核心素養(yǎng)有較高要求.這類題型本應是較易得分的題目，但很多考生在處理條件時，因為方向不對導致沒有思路或屢屢碰壁，在考場上耗費大量時間.通過這道新高考的三角函數例題可以發(fā)現，解題的關鍵在于掌握三角函數的公式，當沒有思路或方向錯誤時，可以考慮對角、函數名和運算結構進行差異分析，再靈活運用公式去建立差異間的聯(lián)系，并不斷減少這樣的目標差[4].在此過程中，如果熟悉變換方法，把握變換方向，并恰當運用變換技巧，就能靈敏地應用差異分析策略來解決此類問題.

3.2 不等式的證明

例2(2022新高考II卷12題)若實數x,y滿足x2+y2-xy=1，則( ).

A．x+y<1 B．x+y≥-2

C．x2+y2≤2 D．x2+y2≥1

分析 尋求已知式x2+y2-xy=1和未知式x+y,x2+y2之間的差異，減少它們之間的目標差，構建聯(lián)系.

觀察x2+y2-xy=1和x+y之間的差異，發(fā)現完全平方公式(x+y)2=x2+y2+2xy與之相關，因此不妨嘗試將已知式轉化為完全平方公式進行觀察，即x2+y2=1+xy?(x+y)2=1+3xy，顯然當x,y>0時x+y>1，故A錯誤.

由于x2+y2=1+xy，選項D要判斷x2+y2與1之間的大小關系，要減少二者差異，不妨設xy<0，此時x2+y2顯然小于1，故D錯誤.

分析 觀察不等號左邊與右邊ln(n+1)的差異，嘗試作出一些減少目標差的反應，通過逐步消除差異進行求解.

不等式的證明是通過邏輯推理來判斷不等式的變量在允許的取值范圍內使得不等式成立.其證明思路開闊，方法靈活，技巧性強，往往需要運用創(chuàng)造性思維和較高的運算技巧.通過這道新高考中的不等式例題可以發(fā)現，不等式的證明可以考慮從不等號兩邊的式子入手，觀察它們之間的差異，借助已有的函數、數列、導數等相關知識點，減少它們之間的不同.這一步對不同模塊的知識掌握和調動能力有一定要求，較復雜的不等式的證明，甚至還需要綜合運用多種方法和技巧來完成.當目標差被一步步減少時，不等式的結論也會逐步清晰.

3.3 恒等式證明

例4(2022天津卷18題)設{an}是等差數列，{bn}是等比數列，且a1=b1=a2-b2=a3-b3=1．設{an}的前n項和為Sn，求證：(Sn+1+an+1)bn=Sn+1bn+1-Snbn.

分析 根據題目可得an=2n-1,bn=2n-1.要證(Sn+1+an+1)bn=Sn+1bn+1-Snbn①,①式中含有{an}的前n項和Sn，而目前僅知an,bn的通項公式，要想減少二者差異，需找到Sn與an間的聯(lián)系：an=Sn-Sn-1(n>1)或an+1=Sn+1-Sn②.觀察①式和②式之間的差異：①式中每項都存在一個與bn相關的式子，而②式沒有，故作出減少目標差的反應，嘗試讓bn不再出現，可將①式表達為(Sn+1+an+1)bn=Sn+1·2bn-Snbn，由于bn≠0，就可以在等式兩邊消去bn，這時①式可表達為Sn+1+an+1=2Sn+1-Sn，實際上，Sn+1-Sn=an+1恰好為已知的②式，故原式得證.

恒等式的證明分為一般恒等式的證明和條件恒等式證明.對于一般恒等式的證明，常常通過恒等變形從一邊證到另一邊，或證兩邊都等于同一個數或式；要證明條件恒等式，可以從條件入手推出結論，或從結論入手構造條件，還可將條件和結論同時改變，以創(chuàng)造運用條件的機會.這種等式的計算或證明，是代數式部分的綜合應用.差異分析能夠給出一種直截了當的通性通法.例4本質上是一個條件恒等式，可以利用差異分析，只需知道通項和前n項和之間的關系就能得到解法.可見，如果借助差異分析策略來解決恒等式問題，當等號兩邊的目標差明晰時，那么向著減少目標差的方向逐步前進，問題即可獲解.

4 差異分析策略的應用反思

通過對以上試題的探究可知，新高考的題目突出對基本概念、原理的考查，強調知識間的內在聯(lián)系，注重本原性方法，淡化解題技巧，強調通性通法的綜合運用.掌握必要的解題策略能有效促進解題者將知識和方法內化為自身的知識結構，借助差異分析的解題策略，能更高效地解決一些三角恒等變換、恒等式或不等式的證明問題.未來的考試中可能會出現更多的“證明問題”，當解題陷入困境時，可以嘗試運用差異分析策略，從表象出發(fā)，尋求數學問題的本質聯(lián)系，借助這種聯(lián)系消除差異，將條件化為結論[5].需要注意的是，在應用差異分析策略時，針對具體的問題，需要不斷變換思維角度，全方位聯(lián)系已有知識，多角度思考問題，才能更快形成“尋找差異、發(fā)現差異、消除差異”的解題方案[6]，更進一步發(fā)展數學核心素養(yǎng)和關鍵能力.