盛 姍

(浙江金華第一中學(xué) 321015)

2020年9月，依據(jù)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》編寫的人教A版普通高中數(shù)學(xué)教科書(以下簡稱“新教材”)正式啟用.新教材在內(nèi)容體系、邏輯結(jié)構(gòu)、例習(xí)題等方面與2007年版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書(以下簡稱“舊教材”)相比有諸多變化.使用新教材時，要比較新舊教材，了解它們之間的傳承與變化；要分析它們的差異，對于修改和增加的內(nèi)容應(yīng)揣摩新教材的編寫意圖；及時轉(zhuǎn)變教學(xué)理念，思考如何進行有效教學(xué)，堅持“在繼承中前行，在改革中完善”[1]，最終落實數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).本文以選擇性必修第二冊“導(dǎo)數(shù)”一章為例，進行新教材導(dǎo)讀以及新舊教材比較.

1 關(guān)于導(dǎo)數(shù)

1.1 導(dǎo)數(shù)的歷史

·最早的極限思想

早在魏晉時期，劉徽的“割圓術(shù)”(割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無所失矣)就體現(xiàn)了“逼近”的極限思想，奠定了微積分理論基礎(chǔ).

·導(dǎo)數(shù)的起源

大約在1629年，法國數(shù)學(xué)家費馬研究了作曲線的切線和求函數(shù)極值的方法，作切線時構(gòu)造了差分f(A+E)-f(A)，里面的因子就是我們現(xiàn)在所說的導(dǎo)數(shù)f′(A).

·微積分的創(chuàng)立

17世紀(jì)，科學(xué)家們對物體運動的瞬時速度，求曲線的切線，求函數(shù)的最大(小)值，以及求長度、面積、重心等四類問題不斷探索和研究，在此基礎(chǔ)上，牛頓和萊布尼茲各自獨立地創(chuàng)立了微積分[2].

1.2 導(dǎo)數(shù)的地位

導(dǎo)數(shù)是微積分的核心內(nèi)容之一，是聯(lián)系高等數(shù)學(xué)和初等數(shù)學(xué)的紐帶；它定量地刻畫了函數(shù)的局部變化，是研究函數(shù)性質(zhì)的基本方法；同時它又是高中數(shù)學(xué)知識的一個重要交匯點，是聯(lián)系多個章節(jié)內(nèi)容以及解決相應(yīng)問題的重要工具.導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)有利于提升學(xué)生的思維能力，使其以動態(tài)的、變化的、無限的變量數(shù)學(xué)觀來研究數(shù)學(xué)，從而也有利于學(xué)好高中其他課程.

2 新舊教材比較與分析

新教材的編寫思路是：借助兩個具體實例，歸納出導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義之后，給出基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，接著學(xué)習(xí)四則運算法則和復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；最后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最大(小)值等性質(zhì)，感受導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)和解決實際問題中的作用．

2.1 整體比較分析

·教材內(nèi)容的增減

新教材將舊教材第4—7節(jié)(“生活中的優(yōu)化問題”“定積分的概念”“微積分基本定理”“定積分的簡單應(yīng)用”)等內(nèi)容都刪了.另外，新教材增加了“拋物線的切線的斜率”這個實例.

·小節(jié)劃分變化

新教材將“導(dǎo)數(shù)的概念”和“導(dǎo)數(shù)的幾何意義”以及“函數(shù)的極值”和“函數(shù)的最大(小)值”分別合并成一節(jié)；又將“四則運算法則”和“復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)”分開，各自成一節(jié)(具體見表1).

表1 新舊教材關(guān)于“導(dǎo)數(shù)”內(nèi)容的對比

2.2 新舊教材的微觀比較分析

·對導(dǎo)數(shù)的概念生成過程的處理

導(dǎo)數(shù)的概念非常抽象，而導(dǎo)數(shù)的幾何意義涉及一般曲線的切線的概念，對學(xué)生來說是全新的，也是有一定難度的[3].新、舊教材均采用概念形成的方式來給出導(dǎo)數(shù)概念.所謂概念形成是指通過對典型豐富的實例進行反復(fù)感知、比較和抽象，以歸納的方式概括出本質(zhì)屬性而獲得概念的形成[4].但是新、舊教材的處理方式還是有些差異的，具體見圖1和圖2.

圖1 新教材導(dǎo)數(shù)概念生成過程

圖2 舊教材導(dǎo)數(shù)概念生成過程

值得指出的是速度問題、曲線切線的斜率問題是導(dǎo)數(shù)概念產(chǎn)生過程中兩個最為經(jīng)典的實例.這樣改變，既自然地呈現(xiàn)導(dǎo)數(shù)的物理意義和幾何意義，又遵循了新教材主編李龍才副教授提出的“至少讓學(xué)生經(jīng)歷4次由平均變化率過渡到瞬時變化率的過程”，助力學(xué)生初步理解導(dǎo)數(shù)的內(nèi)涵．

·定積分內(nèi)容的刪減

舊教材中有三節(jié)內(nèi)容是關(guān)于定積分的，但是新教材中已經(jīng)不見其蹤影.定積分涉及特別的認(rèn)知方式，現(xiàn)屬大學(xué)一年級數(shù)學(xué)知識，在高中階段講，學(xué)生的思維水平不夠；再者定積分屬了解內(nèi)容，并且與高中其他內(nèi)容關(guān)聯(lián)甚少，為了減輕高中學(xué)生的負(fù)擔(dān)，所以刪去.

當(dāng)然，定積分是微積分學(xué)中最基本的概念之一，并不是教材上沒有就完全只字不提了，可以在“文獻閱讀與數(shù)學(xué)寫作”中，組織學(xué)生搜集、閱讀與微積分有關(guān)的資料及其對人類文明的貢獻，從中感受理性精神．

·優(yōu)化問題的重組

“生活中的優(yōu)化問題”在舊教材中是單獨成節(jié)的，但是新教材里看不見這個標(biāo)題了.是真的刪除了嗎？事實上，里面的典型例題(飲料瓶大小對公司利潤的影響)、重要習(xí)題和思想方法都被保留在了“函數(shù)的最大(小)值”一節(jié)里.這樣重組的意圖是什么？一方面，優(yōu)化問題的題材來源于生活實際，利用導(dǎo)數(shù)解決實際問題是研究導(dǎo)數(shù)的最終意義所在，也是新高考重點考查的能力之一；另一方面，這些優(yōu)化問題的本質(zhì)就是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最大(小)值，是最大(小)值的實際應(yīng)用.

·導(dǎo)數(shù)運算法則生成過程的變化

新教材遵循“實例探究→舉例驗證→歸納猜想→適度求證”的實施過程來組織求導(dǎo)法則的學(xué)習(xí)，過程自然合理、不突兀.從具體到抽象、從特殊到一般，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律．

·函數(shù)增減快慢的處理

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)增減的快慢遠(yuǎn)比研究單調(diào)性抽象，這對學(xué)生來說是一個難點.新教材結(jié)合具體函數(shù)，讓學(xué)生體會導(dǎo)數(shù)絕對值大小對函數(shù)圖象增減快慢的影響，從而得出一般結(jié)論；既有形的直觀又有數(shù)的嚴(yán)謹(jǐn)，較之舊教材僅從例題(注水容器水面高度問題)圖象進行說明，學(xué)生更容易理解和掌握.這可能也是新教材刪除該例題的原因.緊接著還安排了新例題，對上述結(jié)論進行應(yīng)用和鞏固，同時也為后面利用最值證明重要不等式埋下伏筆.

·例題、練習(xí)和習(xí)題的變化

一方面，新、舊教材在例題、練習(xí)和習(xí)題的數(shù)量上都有明顯增加，特別是練習(xí)數(shù)量，是舊教材的兩倍多，反映出新教材更注重教學(xué)的及時評價性.習(xí)題分為“復(fù)習(xí)鞏固”“綜合運用”和“拓廣探索”三個層次，更為精準(zhǔn)地定位習(xí)題的目標(biāo)功能，供不同層次的學(xué)生選擇使用.“復(fù)習(xí)鞏固”和舊教材A組題量相當(dāng)，“綜合運用”和“拓廣探索”題量接近舊教材B組的兩倍，反映新教材更重視知識的綜合運用和拓展，注重培養(yǎng)學(xué)生綜合運用能力和數(shù)學(xué)探究能力.例題習(xí)題變化如圖3(這里只對比導(dǎo)數(shù)概念、運算和應(yīng)用的內(nèi)容，如果一道題有n個獨立小題，則計數(shù)為n).

圖3 例題、練習(xí)和習(xí)題的變化

另一方面，例題層次更豐富.新教材在各個知識節(jié)點后新增基礎(chǔ)例題，體現(xiàn)公式、定理的應(yīng)用，并給出示范，便于學(xué)生模仿和操練.配套練習(xí)數(shù)量的增加與之形成呼應(yīng)，先基礎(chǔ)后應(yīng)用，豐富的例題層次使教材更具使用價值，也有利于引導(dǎo)學(xué)生重視課本例題和習(xí)題，同時也體現(xiàn)教材注重數(shù)學(xué)運算和邏輯推理素養(yǎng)的培養(yǎng).

3 數(shù)據(jù)修正，彰顯新教材的嚴(yán)謹(jǐn)性

·實例問題修正

高臺跳水是本章一以貫之的例子，在新、舊教材中的地位都是不言而喻的.跳水函數(shù)刻畫的是運動員(視為質(zhì)點，新教材以“重心”替代)距離水面的相對高度與時間的關(guān)系，符合物理學(xué)中質(zhì)點運動模型和等效替代法思維.修正后的跳水函數(shù)符合運動員起跳瞬間重心離高臺(10 m)的高度約1 m(常數(shù)項為11)，也符合最高點時重心升高了1.176 m，比舊教材中“升高2.156 m”更符合實際(現(xiàn)實中一般運動員跳至最高點時重心離臺面高度約為1.3m).

·“思考”欄函數(shù)數(shù)據(jù)的變化

新教材以函數(shù)引導(dǎo)學(xué)生思考復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，并將其設(shè)計在了例題中.求導(dǎo)后內(nèi)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)沒有被掩蓋，強化復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則.

4 一點思考

基于上述對新舊教材“導(dǎo)數(shù)”部分的對比分析，我們建議在教學(xué)過程中，教師用好教材“教”，學(xué)生用好教材“學(xué)”，師生用好教材“接軌高考”.

4.1 順應(yīng)教材變化，用好教材“教”

教材是第一教學(xué)資源，是教師實施教學(xué)的主要材料.教學(xué)中應(yīng)順應(yīng)教材變化，理解教材編寫變化的意圖，及時轉(zhuǎn)變教學(xué)理念.課堂設(shè)計可以考慮問題鏈形式，引導(dǎo)的成分可以多一些；教學(xué)方式也可以適當(dāng)轉(zhuǎn)變，讓學(xué)生思考的時間多一些.特別是導(dǎo)數(shù)概念的教學(xué)，課堂上盡量讓學(xué)生充分地經(jīng)歷4次“逼近”過程，讓學(xué)生參與概念產(chǎn)生的整個過程，追求概念的自然生成，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

借助信息技術(shù)工具，助力數(shù)學(xué)課堂教學(xué).高中數(shù)學(xué)大部分是動態(tài)數(shù)學(xué)，教學(xué)過程中盡可能多借助軟件展示相關(guān)內(nèi)容的運動變化過程，幫助學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象能力.例如本章中曲線的切線問題，教學(xué)過程中可以利用幾何畫板或者GeoGebra演示割線到切線的趨近過程，體會極限思想.

樹立用教材教而不僅僅是教教材的意識.在教學(xué)中，以教材為藍(lán)本，適時拓展教學(xué)內(nèi)容.例如借助信息技術(shù)工具體會切線時，建議增加體驗三次曲線f(x)=x3在點P1(0，0)和點P2(1，1)處的切線，讓學(xué)生直觀感受新定義下切線的各種情形——切線不是只能“切”過曲線，還可以是穿過曲線的；切線與曲線的公共點可以是多個的.把知識橫向延伸、讓思維縱向發(fā)展，使素養(yǎng)無聲地滲透.

4.2 順應(yīng)教材變化，用好教材“學(xué)”

引導(dǎo)學(xué)生采用多樣化的學(xué)習(xí)方式.學(xué)生課前的預(yù)習(xí)及課后的梳理都離不開教材，教材的可讀性就顯得很重要了.新教材增加了小節(jié)導(dǎo)言和一些過渡式語句，有助于學(xué)生明晰本節(jié)學(xué)習(xí)的必要性及研究的路徑與方法；設(shè)置“探究”“觀察”“思考”欄，給學(xué)生自學(xué)研究指明方向；還有很多旁白助力思考，“探究與發(fā)現(xiàn)”開拓學(xué)生視野.這些變化都體現(xiàn)新教材更適合學(xué)生自己閱讀、自學(xué)和檢測.引導(dǎo)學(xué)生好好研讀教材，包括章引言和小結(jié)等，仔細(xì)思考教材中的每一個問題[5]，用好教材“學(xué)”.

4.3 順應(yīng)教材變化，思考高考走向

教材是高考命題的主要依據(jù)，我們需要重視新教材傳達(dá)出來的新信息.歷年高考的導(dǎo)數(shù)大題中，利用零點存在性定理解決較為復(fù)雜的函數(shù)零點問題時，尋找使函數(shù)值異號的兩個端點往往是一個難點.對于“究竟能不能用變化趨勢來刻畫”一直存有爭議.教材新增例題的解答過程就是用“趨近”來刻畫“變化趨勢”，從而畫出函數(shù)的大致圖象.這種“趨近”刻畫，一方面和新教材全面滲透的“運動變化觀點”與極限思想相吻合；另一方面也體現(xiàn)新教材在指導(dǎo)學(xué)生解決問題方面實操性更強，可有效幫助學(xué)生突破難點.

復(fù)雜的導(dǎo)數(shù)不等式，往往需要利用與對數(shù)和指數(shù)有關(guān)的重要不等式進行放縮.重要不等式以往只出現(xiàn)在習(xí)題中，而在新教材中它們除了在習(xí)題中仍被保留了下來外，在例題中也可見到它們的影子，而且安排的篇幅還不小.在“單調(diào)性”例題中得到不等式，又在學(xué)習(xí)了“最值”后給出了證明.這些都無疑在釋放一個信號：重視教材，充分挖掘教材的價值.