付國(guó)璽 李海龍

［摘 要］融入大單元教學(xué)理念，借助教材習(xí)題進(jìn)行拓展訓(xùn)練，能夠有效幫助學(xué)生全面把握教材內(nèi)容，掌握解題思路和方法，追尋數(shù)學(xué)本質(zhì)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合能力。

［關(guān)鍵詞］初中數(shù)學(xué)；習(xí)題；拓展

［中圖分類號(hào)］? ? G633.6? ? ? ? ［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］? ? A? ? ? ? ［文章編號(hào)］? ? 1674-6058（2023）35-0001-03

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出，設(shè)計(jì)體現(xiàn)結(jié)構(gòu)化特征的課程內(nèi)容。這是當(dāng)前教育背景下提高學(xué)生核心素養(yǎng)的應(yīng)然要求。大單元教學(xué)基于數(shù)學(xué)邏輯，對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容進(jìn)行整合，以點(diǎn)帶面，凸顯數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化特征，滲透數(shù)學(xué)教與學(xué)思維?！罢w”“結(jié)構(gòu)”在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中頻繁出現(xiàn)，且大部分指向課程內(nèi)容，足見課標(biāo)明確指向性。

筆者在進(jìn)行中考復(fù)習(xí)課教學(xué)時(shí)發(fā)現(xiàn)，一道課本習(xí)題可以進(jìn)行拓展延伸，串聯(lián)許多數(shù)學(xué)相關(guān)知識(shí)，在復(fù)習(xí)過程中起到整體統(tǒng)攝作用，可以充分展示數(shù)學(xué)的整體性和結(jié)構(gòu)化。把教材原題作為基礎(chǔ)題，在原題基礎(chǔ)上再次建構(gòu)，可以對(duì)初中數(shù)學(xué)知識(shí)（數(shù)學(xué)內(nèi)容、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想）進(jìn)行橫向歸納，使之關(guān)聯(lián)化、條理化、結(jié)構(gòu)化和整體化，幫助學(xué)生建立知識(shí)體系，形成知識(shí)鏈條，生成問題鏈，是構(gòu)建素養(yǎng)課堂，促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)的有效途徑?，F(xiàn)整理成文，與同行分享。

一、原題呈現(xiàn)

（人教版九年級(jí)上冊(cè)第41頁(yè)第8題）如圖，在[△ABC]中，[∠B=90°]，[AB=12 mm]，[BC=24 mm]。動(dòng)點(diǎn)[P]從點(diǎn)[A]開始沿邊[AB]向點(diǎn)[B]以2 mm/s的速度移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)[Q]從點(diǎn)[B]開始沿邊[BC]向點(diǎn)[C]以[4 mm/s]的速度移動(dòng)。如果[P]、[Q]兩點(diǎn)分別從[A]、[B]兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，那么[△PBQ]的面積[S]隨出發(fā)時(shí)間[t]如何變化？寫出[S]關(guān)于[t]的函數(shù)解析式及[t]的取值范圍。

本題是在學(xué)完二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)后設(shè)計(jì)的一道動(dòng)點(diǎn)問題練習(xí)題，考查二次函數(shù)的解析式及其自變量的取值范圍的求法，需先列出[PB]、[BQ]關(guān)于[t]的代數(shù)式，再通過三角形面積公式表示出[S]與[t]的二次函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)實(shí)際問題的意義求出[t]的取值范圍。

解：[△PBQ]的面積[S]關(guān)于[t]的函數(shù)解析式為：

[S=12PB·BQ=12×（12-2t）×4t=-4t2+24t]，

根據(jù)題意可知[0≤4t≤24]，解得[0≤t≤6]，

所以[t]的取值范圍是[0≤t≤6]。

說明：按照學(xué)習(xí)進(jìn)度，學(xué)生已掌握了三角形的面積公式及線段的表示方法，再結(jié)合實(shí)際問題，就能夠輕松解決本題。

二、拓展變形

在進(jìn)行初中數(shù)學(xué)綜合復(fù)習(xí)時(shí)，教師在原有條件不變的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，通過變式探究，從“同源不同形”的變式中探索本質(zhì)規(guī)律，從而達(dá)到對(duì)所學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通，發(fā)散學(xué)生思維，提升學(xué)生的核心素養(yǎng)。教師設(shè)計(jì)出有價(jià)值的、開放性的探究問題：請(qǐng)觀看老師制作的幾何畫板，觀察[P]、[Q]兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中有哪些幾何圖形。如果設(shè)[P]點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為[t]，你能類比課本中的問題提出數(shù)學(xué)問題嗎？

學(xué)生對(duì)教師提出的問題產(chǎn)生了興趣，開動(dòng)腦筋，先自主編題，再小組內(nèi)交流，論證問題的正確性，達(dá)成共識(shí)，最后全班分享，學(xué)生將問題及解答思路一一呈現(xiàn)在展板上。這體現(xiàn)了華羅庚教授提出的“生書熟講，熟書生溫，有時(shí)分講合溫，有時(shí)合講分溫”的教育理念。下面筆者對(duì)學(xué)生提出的問題進(jìn)行整理。

問題1：若設(shè)[△PBQ]的面積為[S]，出發(fā)時(shí)間為[t]，當(dāng)[t]為何值時(shí)，[S]最大？并求出最大值。

解：∵出發(fā)時(shí)間為[t]，點(diǎn)[P]的速度為2 mm/s，點(diǎn)[Q]的速度為4 mm/s，

∴[PB=12-2t]，[BQ=4t]，

∴[S=12PB·BQ=12×（12-2t）×4t=-4t2+24t]，

對(duì)于[S=-4t2+24t]，通過公式法或配方法求出當(dāng)[t=3]時(shí)，[S]的最大值為36 mm2。

此題學(xué)生很容易在原題的基礎(chǔ)上列出二次函數(shù)的關(guān)系式而后求得二次函數(shù)的最大值，可以通過公式法或配方法求得結(jié)果，還可以通過求出[t=-b2a]的值，代入原解析式求得最大值。

問題2：經(jīng)過幾秒，[△PBQ]的面積為32 mm2？

解：設(shè)經(jīng)過[t]秒，[△PBQ]的面積為32 mm2，

列方程為[12×（12-2t）×4t=32]，

解得[t1=2]，[t2=4]（經(jīng)檢驗(yàn)，兩個(gè)答案都符合題意），

所以經(jīng)過2秒或4秒，[△PBQ]的面積為32 mm2。

此題是從函數(shù)角度賦予確定的函數(shù)值，將動(dòng)點(diǎn)問題與一元二次方程實(shí)際問題結(jié)合在一起，既考查了實(shí)際問題的解答，又考查了一元二次方程的解法，同時(shí)體現(xiàn)了從一般到特殊的數(shù)學(xué)思想。

問題3：幾秒時(shí)，[PQ]的長(zhǎng)度等于12 mm？

解：設(shè)[t]秒時(shí)，[PQ]的長(zhǎng)度等于12 mm，

列方程為[（12-2t）2+（4t）2=122]，

解得[t1=0]，[t2=2.4]（經(jīng)檢驗(yàn)，兩個(gè)答案都符合題意），

所以0秒或2.4秒時(shí)，[PQ]的長(zhǎng)度等于12 mm。

此題是將動(dòng)點(diǎn)問題與直角三角形的勾股定理結(jié)合在一起，考查了勾股定理及一元二次方程的解法。

問題4：當(dāng)[t]為何值時(shí)，[△PBQ]為等腰三角形？

解：設(shè)經(jīng)過[t]秒，[△PBQ]為等腰三角形，則[PB=BQ]，即[12-2t=4t]，[t=2]，

所以當(dāng)[t=2]時(shí)，[△PBQ]為等腰三角形。

此題是將動(dòng)點(diǎn)問題與等腰三角形結(jié)合在一起，考查了等腰三角形的性質(zhì)和一元一次方程的解法。

問題5：當(dāng)[t]為何值時(shí)，[△PBQ]為含30°的直角三角形？

解：設(shè)經(jīng)過[t]秒，[△PBQ]為含30°的直角三角形，

當(dāng)[∠BPQ]為30°時(shí)，[PB=3BQ]，即[12-2t=3×4t]，解得[t=123-611]，

當(dāng)[∠BQP]為30°時(shí)，[BQ=3PB]，即[3（12-2t）=4t]，解得[t=123-18]，

所以當(dāng)[t]的值為[123-611]或[123-18]時(shí)，[△PBQ]為含30°的直角三角形。

此題是將動(dòng)點(diǎn)問題與含30°的直角三角形結(jié)合在一起，考查了含30°的直角三角形的性質(zhì)及一元一次方程的解法、二次根式的化簡(jiǎn)等知識(shí)點(diǎn)，同時(shí)體現(xiàn)了分類討論思想。

問題6：當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為幾秒時(shí)，[tan∠PQB=12]？

解：根據(jù)正切定義可得[tan∠PQB=對(duì)邊鄰邊=12-2t4t=12]，解得[t=3]，

所以當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為3秒時(shí)，[tan∠PQB=12]。

此題融入銳角三角函數(shù)的知識(shí)，解答時(shí)可復(fù)習(xí)初中所學(xué)的三個(gè)常見銳角三角函數(shù)的定義，從而解決問題。

問題7：當(dāng)[t]為何值時(shí)，[PQ]∥[AC] ？

解：當(dāng)[PQ]∥[AC]時(shí)，[PBAB=BQBC]，[12-2t12=4t24]，解得[t=3]，所以當(dāng)[t=3]時(shí)，[PQ]∥[AC]。

此題通過平行線分線段成比例定理得出四條線段成比例，再列比例方程，從而求出結(jié)果。

問題8：當(dāng)[t]為何值時(shí)，以[P]、[B]、[Q]為頂點(diǎn)的三角形與[△ABC]相似？

解：當(dāng)[△PBQ ]∽[△ABC]時(shí)，[12-2t12=4t24]，解得[t=3]，

當(dāng)[△PBQ ]∽[△CBA]時(shí)，[12-2t24=4t12]，解得[t=1.2]，

所以當(dāng)[t=3]或1.2時(shí)，以[P]、[B]、[Q]為頂點(diǎn)的三角形與[△ABC]相似。

通過此題將相似三角形的判定方法與動(dòng)點(diǎn)問題結(jié)合起來，同時(shí)體現(xiàn)了分類討論思想。

問題9：當(dāng)[t]為何值時(shí)，四邊形[APQC]為梯形？

解答此題時(shí)只要滿足[PQ]∥[AC]即可，解答過程同問題7一致。雖然解法相同，但學(xué)生提出問題的角度不同，教師應(yīng)給予肯定和表?yè)P(yáng)。

三、總結(jié)反思

教師對(duì)教材中的幾何動(dòng)點(diǎn)問題進(jìn)行拓展延伸，引導(dǎo)學(xué)生提出開放性問題，并進(jìn)行交流、解答、分享。在解決問題的過程中運(yùn)用了一元一次方程、一元二次方程、圖形面積、等腰三角形、含30°的直角三角形、勾股定理、二次函數(shù)、銳角三角函數(shù)、平行線分線段成比例定理、相似三角形等知識(shí)。對(duì)于幾何動(dòng)點(diǎn)問題，按照從線（位置、數(shù)量）到面（面積、形狀、關(guān)系）的順序進(jìn)行了全面的研究，同時(shí)體現(xiàn)了“從一般到特殊”的思想、函數(shù)思想、方程思想、數(shù)形結(jié)合思想等數(shù)學(xué)思想，對(duì)學(xué)生思維能力和解題能力的提高起到重要作用。通過精選習(xí)題、開放設(shè)計(jì)、變式訓(xùn)練的方式進(jìn)行教學(xué)，能融通數(shù)學(xué)知識(shí)，打通思維關(guān)卡，激發(fā)學(xué)生的探究興趣，拓寬學(xué)生思維，培養(yǎng)學(xué)生的解題能力。

（一）關(guān)注聯(lián)系，培養(yǎng)發(fā)散思維

本文以一道課本習(xí)題引發(fā)學(xué)生“九問”，源于筆者對(duì)當(dāng)下課程、課標(biāo)、課堂變革的一些思考?！耙o學(xué)生一杯水，教師不僅要有一桶水，還要有長(zhǎng)流水?！敝挥薪處熣J(rèn)識(shí)有高度，設(shè)計(jì)問題才會(huì)有梯度、有深度，學(xué)生在探究問題時(shí)才會(huì)目標(biāo)明確、有章可循、有形可依、有法可鑒、有路可探，才能不斷積累新的經(jīng)驗(yàn)，不斷有新的發(fā)現(xiàn)，不斷產(chǎn)生探究欲。教師應(yīng)關(guān)注知識(shí)之間的聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生深度思考，從而培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維。

（二）挖掘典例，轉(zhuǎn)變傳統(tǒng)理念

新課改對(duì)教師的專業(yè)素養(yǎng)提出了更高的要求。教師不僅要弄通弄透本學(xué)段的知識(shí)，還要疏通“小、初、高”三段關(guān)卡，縱向貫通，既要學(xué)會(huì)在面上“撒種”，又要學(xué)會(huì)在點(diǎn)上“打井”。教師要充分挖掘教材典例，并依據(jù)其進(jìn)行有效的教學(xué)設(shè)計(jì)。教師應(yīng)設(shè)計(jì)具有開放性、啟發(fā)性的探究問題，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，使學(xué)生敢于表達(dá)自己的見解，幫助學(xué)生形成穩(wěn)固、完善的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，改變過去重知識(shí)強(qiáng)化、重解題技巧訓(xùn)練的做法，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的習(xí)慣和意識(shí)，提升學(xué)生的核心素養(yǎng)。

（三）問題生成，優(yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu)

本節(jié)復(fù)習(xí)課，筆者從一道課本習(xí)題出發(fā)，本著“溫故而知新”的原則，沒有設(shè)計(jì)平行或同層次的習(xí)題，而是立足數(shù)學(xué)邏輯，關(guān)注核心素養(yǎng)，讓學(xué)生在解答問題的過程中逐步形成結(jié)構(gòu)化思維，提高重構(gòu)知識(shí)的能力和質(zhì)疑的能力。

（四）多措并舉，培養(yǎng)思辨能力

“問題解決是一個(gè)發(fā)現(xiàn)過程、探索過程、創(chuàng)新過程?！鄙鲜稣n本習(xí)題是在學(xué)完二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)后設(shè)計(jì)的一道動(dòng)點(diǎn)問題練習(xí)題，主要考查二次函數(shù)的解析式及其自變量的取值范圍的求法，在復(fù)習(xí)課中其強(qiáng)度和難度都不夠。筆者通過改編設(shè)計(jì)，對(duì)本題中的幾何動(dòng)點(diǎn)問題進(jìn)行拓展延伸，啟發(fā)學(xué)生結(jié)合所學(xué)知識(shí)自己提出問題，并基于他們提出的問題進(jìn)行有效整合，逐步導(dǎo)出富有思考價(jià)值的問題。

總之，本節(jié)課打破常規(guī)的復(fù)習(xí)教學(xué)模式，不是就題論題，也不是蜻蜓點(diǎn)水，而是積極落實(shí)大概念視域下“問題引領(lǐng)，整體建構(gòu)”的教學(xué)思想，以探究問題為學(xué)生思維成長(zhǎng)的基石，依托問題變式，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界、用數(shù)學(xué)思維思考現(xiàn)實(shí)世界、用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界，從而培養(yǎng)他們的思辨能力，使他們?cè)谔骄窟^程中建構(gòu)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，感悟數(shù)學(xué)思想，積累數(shù)學(xué)研究經(jīng)驗(yàn)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的成功和快樂。

［? ?參? ?考? ?文? ?獻(xiàn)? ?］

［1］? 蔡妙通.淺析“一題多變”在初中數(shù)學(xué)課中的應(yīng)用［J］.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2018（10）：133.

［2］? 劉通.初中數(shù)學(xué)習(xí)題的再加工［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2015（25）：59-60.

［3］? 中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)：2022年版［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）