王蕾

摘 要：APOS理論將數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)劃分為操作、過程、對(duì)象和圖式四個(gè)階段，該理論針對(duì)概念學(xué)習(xí)，故本文基于APOS理論探索數(shù)學(xué)概念課教學(xué)策略，從學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的心理建構(gòu)過程角度出發(fā)，針對(duì)四個(gè)階段探討概念課教學(xué)的可行性策略.

關(guān)鍵詞：APOS；高中數(shù)學(xué)；教學(xué)策略

APOS理論是美國(guó)數(shù)學(xué)家杜賓斯基等人基于皮亞杰“反思抽象”觀點(diǎn)提出的一種數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的理論模型.APOS理論認(rèn)為，學(xué)習(xí)者不能直接學(xué)到數(shù)學(xué)概念，而是通過心智結(jié)構(gòu)使所學(xué)的概念產(chǎn)生意義，教學(xué)的目的是幫助學(xué)習(xí)者建立適當(dāng)?shù)男闹墙Y(jié)構(gòu)^［1］，強(qiáng)調(diào)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念需要進(jìn)行操作、過程、對(duì)象、圖式四個(gè)心理建構(gòu)階段.很多教師在概念課教學(xué)中慣用概念同化的方式組織教學(xué)，忽略了新知識(shí)在學(xué)生頭腦中自主建構(gòu)的過程，直接向?qū)W生呈現(xiàn)定義并說明.這種方式能夠縮短學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的時(shí)間，然而過度使用這種策略，不利于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng).

APOS理論主要涉及四個(gè)概念：操作（Action）、過程（Process）、對(duì)象（Object）和圖式（Schema）.該理論是一種建構(gòu)主義的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)理論，認(rèn)為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念實(shí)質(zhì)是對(duì)某一數(shù)學(xué)對(duì)象實(shí)施操作，這種操作經(jīng)過內(nèi)化成為過程，過程可以被壓縮為一個(gè)圖式^［2］.具體來說，數(shù)學(xué)概念是個(gè)體在解決所感知的數(shù)學(xué)問題的過程中獲得的，在這個(gè)過程中個(gè)體需要進(jìn)行心理建構(gòu)，經(jīng)歷以下四個(gè)階段，如表1所示：

1 操作階段教學(xué)策略

策略：巧設(shè)問題情境，注重外顯活動(dòng)與思維活動(dòng)相結(jié)合.

弗賴登塔爾認(rèn)為：“數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該結(jié)合學(xué)生的生活體驗(yàn)與數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí).”即數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該在學(xué)生的生活體驗(yàn)和數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)的基礎(chǔ)上設(shè)置合適的現(xiàn)實(shí)情境或科學(xué)情境，注重情境的真實(shí)性與可探究性. APOS理論強(qiáng)調(diào)概念在學(xué)生頭腦中自主建構(gòu)的過程，問題情境的設(shè)置應(yīng)當(dāng)在結(jié)合概念特征的同時(shí)注重情境的生活化與趣味性，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，促進(jìn)學(xué)生積極主動(dòng)地進(jìn)行概念生成的心理建構(gòu)過程.同時(shí)，問題情境應(yīng)當(dāng)指向概念的核心屬性.

APOS理論指出，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念時(shí)需經(jīng)歷一系列操作，親身感受直觀背景與數(shù)學(xué)概念之間的聯(lián)系.故教師在操作階段應(yīng)當(dāng)給學(xué)生充分的自主探究空間，選擇合適的操作方式，使學(xué)生通過動(dòng)手實(shí)踐活動(dòng)與思維活動(dòng)相結(jié)合的方式積極主動(dòng)思考，發(fā)散思維.同時(shí)設(shè)置具有連貫性與邏輯性的問題串，適當(dāng)調(diào)控學(xué)生探究速度，逐步加深學(xué)生對(duì)問題情境的感知，促進(jìn)概念建構(gòu).

例如：在“平面向量的概念”這節(jié)課的操作階段，教師應(yīng)該針對(duì)學(xué)習(xí)的內(nèi)容，創(chuàng)設(shè)恰當(dāng)?shù)那榫?，給出明確的目標(biāo)引導(dǎo)學(xué)生展開討論.如設(shè)計(jì)這樣的活動(dòng)串：

活動(dòng)一：南轅北轍——戰(zhàn)國(guó)時(shí)，有個(gè)駕著馬車的人要到南方的楚國(guó)去.他乘著馬車從太行山腳下出發(fā)，一路向北走去.有人提醒他：“到楚國(guó)應(yīng)該朝南走，你怎能往北呢？”他卻說：“沒事，我的馬是好馬，我又是經(jīng)驗(yàn)豐富的車夫.”他能如愿到達(dá)楚國(guó)嗎？產(chǎn)生這個(gè)結(jié)果的原因是什么？

活動(dòng)二：在教室里，第一排的同學(xué)和最后一排的同學(xué)相距大約8米，我們可以用8米這個(gè)數(shù)量來表示他們之間的距離，那么我們?cè)趺疵枋鰪牡谝慌抛叩阶詈笠慌胚@段位移呢？

活動(dòng)三：哪位同學(xué)可以給大家解釋下位移和距離表示方法之間的共同點(diǎn)和不同點(diǎn)呢？你還能舉出哪些類似的例子？

在這個(gè)活動(dòng)串的設(shè)計(jì)中，教師引導(dǎo)學(xué)生舉例，讓學(xué)生到活動(dòng)中去，學(xué)生在激活自己已有經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上觀察、概括對(duì)象的共同屬性，加深印象.學(xué)生通過思考位移和距離兩個(gè)量之間的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)初步產(chǎn)生存在一個(gè)既有大小又有方向的量的概念，引起學(xué)生的認(rèn)知沖突，解釋了向量概念的內(nèi)涵，進(jìn)而給向量下定義.這個(gè)過程喚起了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，為學(xué)生深層學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)，讓學(xué)生了解向量這個(gè)概念存在的必要性，自然而然地開始本節(jié)課的學(xué)習(xí).整個(gè)活動(dòng)階段符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，在活動(dòng)階段，通過對(duì)新舊知識(shí)的聯(lián)系和對(duì)比遷移，促使學(xué)生將知識(shí)進(jìn)行建構(gòu)整合，從而為后面構(gòu)建向量圖式搭建基礎(chǔ)，實(shí)現(xiàn)深層次學(xué)習(xí).

2 過程階段的教學(xué)策略

策略：用活動(dòng)促進(jìn)內(nèi)化，啟發(fā)誘導(dǎo)反思操作.

在APOS理論中，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的四個(gè)階段并不是一種線性關(guān)系，而是一個(gè)螺旋上升的循環(huán)系統(tǒng)，從操作階段到過程階段需要經(jīng)歷內(nèi)化的心理活動(dòng)，即將外部信息轉(zhuǎn)化為內(nèi)部信息，使學(xué)生逐漸脫離問題情境，思維逐漸轉(zhuǎn)向問題情境中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)問題，由外顯操作上升為心理操作，不再依賴情境中的操作對(duì)象.這種過渡需要由教師設(shè)置合理的操作環(huán)節(jié)，利用一定的工具，讓學(xué)生參與動(dòng)手操作、觀察思考、歸納抽象等活動(dòng)，實(shí)現(xiàn)建構(gòu)概念、探索規(guī)律、推理線索、驗(yàn)證結(jié)論進(jìn)而解決問題的學(xué)習(xí)過程.這與“做數(shù)學(xué)”的概念類似，強(qiáng)調(diào)通過數(shù)學(xué)活動(dòng)激發(fā)學(xué)生思維，促進(jìn)行為內(nèi)化.

例如：在“函數(shù)的概念”這節(jié)課中，由于初中學(xué)習(xí)的函數(shù)概念的“變量說”，強(qiáng)調(diào)了在一個(gè)變化過程中變量之間的依賴關(guān)系與對(duì)應(yīng)方式，沒有強(qiáng)調(diào)自變量的取值范圍，學(xué)生對(duì)函數(shù)定義域的重要性沒有明晰的認(rèn)識(shí)，這是教學(xué)中首先遇到的難點(diǎn)^［5］.高中階段采用“對(duì)應(yīng)關(guān)系說”定義函數(shù)，這個(gè)定義強(qiáng)調(diào)對(duì)應(yīng)的結(jié)果而不管對(duì)應(yīng)關(guān)系的表達(dá)形式或?qū)?yīng)過程.這些需要教師優(yōu)化教學(xué)設(shè)計(jì)使學(xué)生逐漸脫離問題情境，形成一種過程模式.具體設(shè)計(jì)如下：

問題1：某“復(fù)興號(hào)”高速列車加速到350km/h后保持勻速運(yùn)行半小時(shí).

（1） 這段時(shí)間內(nèi)，列車行進(jìn)的路程S（單位：km）與運(yùn)行時(shí)間t（單位：h）的關(guān)系如何表示？這是一個(gè)函數(shù)嗎？

（2） 有人說：“根據(jù)對(duì)應(yīng)關(guān)系S=350t，這趟列車加速到350km/h后，運(yùn)行1h就前進(jìn)了350km.”你認(rèn)為這個(gè)說法正確嗎？你能確定這趟列車運(yùn)行多長(zhǎng)時(shí)間前進(jìn)210km嗎^［6］？

（3） 你認(rèn)為應(yīng)該如何刻畫這個(gè)函數(shù)？

師生活動(dòng)：教師給出問題題干和（1）后提醒學(xué)生先不要看教科書，學(xué)生書寫自己的解答，教師點(diǎn)評(píng)答案，引導(dǎo)學(xué)生用“變量說”表述.第（2）問教師引導(dǎo)學(xué)生討論所給說法不正確的原因，以及為什么無法確定列車前進(jìn)210km所需的運(yùn)行時(shí)間，從而使學(xué)生認(rèn)識(shí)到給定自變量變化范圍的重要性.第（3）問讓學(xué)生思考如何表述S與t的對(duì)應(yīng)關(guān)系，教師在學(xué)生一起討論之后給出表述的示范.

問題2：某電氣維修公司要求工人每周工作至少1天，至多6天.公司確定的工資標(biāo)準(zhǔn)是每人每天350元，而且每周付一次工資.

（1） 你認(rèn)為該怎樣確定一個(gè)工人的每周工資所得？

（2） 一個(gè)工人的工資w是他工作天數(shù)d的函數(shù)嗎？為什么？

（3） 你能仿照問題1的方式刻畫這個(gè)函數(shù)嗎？

追問：?jiǎn)栴}1和問題2中的函數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，你認(rèn)為它們是同一個(gè)函數(shù)嗎？為什么？你認(rèn)為確定一個(gè)函數(shù)需要哪些要素？

師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生討論后得出結(jié)論：判斷兩個(gè)函數(shù)是否相同，不能只看對(duì)應(yīng)關(guān)系是否相同，還要看自變量的變化范圍是否一樣.

教師讓學(xué)生先用“變量說”判斷w是d的函數(shù)，再嘗試用不同方法表示數(shù)，為認(rèn)識(shí)函數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系作準(zhǔn)備，最后讓學(xué)生模仿問題1的表述方法描述函數(shù)，在熟悉“對(duì)應(yīng)關(guān)系說”表述方式的同時(shí)，訓(xùn)練抽象概括能力.通過追問，促使學(xué)生思考確定函數(shù)的基本要素，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)自變量取值范圍的重要性.這兩個(gè)問題在設(shè)計(jì)上采用了相似的操作過程，即尋找變量間的關(guān)系→判斷是否為函數(shù)關(guān)系（注意自變量的范圍）→刻畫函數(shù)，通過重復(fù)這個(gè)操作過程，學(xué)生形成了刻畫變量間函數(shù)關(guān)系的過程模式，這個(gè)過程模式的形成有助于學(xué)生加深對(duì)函數(shù)概念的理解，更自然地抽象出函數(shù)的概念.

3 對(duì)象階段的教學(xué)策略

策略：用概括實(shí)現(xiàn)壓縮，多元表征體現(xiàn)本質(zhì).

在APOS理論中，學(xué)生經(jīng)歷了操作階段和過程階段后，已經(jīng)對(duì)數(shù)學(xué)概念有了初步認(rèn)知，此時(shí)學(xué)生頭腦中已經(jīng)得到了一堆關(guān)于知識(shí)的信息.教師需引導(dǎo)學(xué)生對(duì)已學(xué)的信息進(jìn)行篩選，去除細(xì)枝末節(jié)，梳理出最精華的成分，將過程階段中內(nèi)化的心理操作簡(jiǎn)化并抽象形成直覺，這個(gè)過程就是壓縮.壓縮的隱喻即是擠出水分，清除障礙，本質(zhì)是找出一類事物的共同特征和本質(zhì)屬性.數(shù)學(xué)的抽象與概括能夠幫助學(xué)生完成壓縮，而抽象、概括又與模型相關(guān)，故教師可引導(dǎo)學(xué)生不斷地比較、分析和判斷，利用建模思想，把抽象出的事物的共同特征綜合起來，針對(duì)性地提出問題，引導(dǎo)學(xué)生從定性分析到定量計(jì)算，幫助學(xué)生清除思維障礙，讓學(xué)生通過概括來實(shí)現(xiàn)壓縮.同時(shí)教師應(yīng)當(dāng)注重引導(dǎo)啟發(fā)學(xué)生主動(dòng)探究，通過概括將結(jié)論一般化，幫助學(xué)生通過數(shù)學(xué)符號(hào)、數(shù)學(xué)語言、數(shù)學(xué)模型等多元形式將已有的概念進(jìn)行加工，得出數(shù)學(xué)概念的形式化表征，形成對(duì)象.

例如：“有限樣本空間與隨機(jī)事件”這節(jié)課是單元的起始課，要在建立單元學(xué)習(xí)框架的基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)樣本點(diǎn)、優(yōu)先樣本空間、隨機(jī)時(shí)間等概率的最基本概念.為了研究隨機(jī)現(xiàn)象，先用集合語言表示隨機(jī)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果，引入了樣本點(diǎn)和樣本空間的概念，接下來學(xué)生要學(xué)習(xí)如何利用這些概念表示隨機(jī)事件問題，這個(gè)過程也就是將已有的概念進(jìn)行加工，得出數(shù)學(xué)概念的形式化表征，形成對(duì)象.該環(huán)節(jié)可以設(shè)計(jì)如下：

問題1：回顧初中階段學(xué)過的隨機(jī)事件概念，然后判斷：在體育彩票搖號(hào)試驗(yàn)中，搖出“球的號(hào)碼為奇數(shù)”是隨機(jī)事件嗎？搖出“球的號(hào)碼是3的倍數(shù)”也是隨機(jī)事件嗎？你能用集合表示這些事件嗎？

教師活動(dòng)：首先引導(dǎo)學(xué)生回顧隨機(jī)事件的概念，然后分別用集合語言描述兩個(gè)隨機(jī)事件，并從一個(gè)隨機(jī)事件所包含的可能結(jié)果的角度，引導(dǎo)學(xué)生用自然語言解釋隨機(jī)事件的意義^［7］.

語言描述：因?yàn)椤扒虻奶?hào)碼是奇數(shù)”可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，所以是隨機(jī)事件.設(shè)“搖出球的號(hào)碼是奇數(shù)”為事件A，則事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)搖出的號(hào)碼為1，3，5，7，9之一，即事件A發(fā)生等價(jià)于搖出的號(hào)碼屬于集合{1，3，5，7，9}.

學(xué)生對(duì)用集合{1，3，5，7，9}表示事件A比較容易接受，但對(duì)“事件A發(fā)生”的含義可能不太清楚，教師要加強(qiáng)引導(dǎo)：用集合{1，3，5，7，9}表示事件A的含義是，事件A發(fā)生的所有可能結(jié)果都在這個(gè)集合中，同時(shí)集合中任意一個(gè)元素都是事件A發(fā)生的可能結(jié)果之一.換句話說，就是當(dāng)且僅當(dāng)搖出的球的號(hào)碼為1，3，5，7，9之一時(shí)，事件A發(fā)生.

接下來可以讓學(xué)生模仿上述說法，解釋 B=“搖出球的號(hào)碼是3的倍數(shù)”也是隨機(jī)事件，表示為B={0，3，6，9}，并得出結(jié)論：可以用樣本空間Ω={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}的子集表示隨機(jī)事件A、B.

追問1：你能將上述表示隨機(jī)事件的方法推廣到一般嗎？

追問2：從集合的觀點(diǎn)看，對(duì)于集合的子集，你認(rèn)為其中哪些集合比較特別，它們對(duì)應(yīng)的隨機(jī)事件是什么？你能根據(jù)隨機(jī)事件發(fā)生的意義及事件與樣本點(diǎn)的關(guān)系進(jìn)行說明嗎？

通過問題1以及兩個(gè)追問，學(xué)生理解了一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的某些結(jié)果組成了隨機(jī)事件，可以用樣本點(diǎn)表示可能發(fā)生的結(jié)果，所以隨機(jī)事件就可以用樣本點(diǎn)的集合來表示，而樣本空間包含了所有可能的結(jié)果，所以隨機(jī)事件可以看成是樣本空間的子集，這樣就將隨機(jī)現(xiàn)象數(shù)學(xué)化了.這個(gè)思考過程的邏輯性很強(qiáng)，其中明確隨機(jī)事件和樣本點(diǎn)的關(guān)系是關(guān)鍵，而理解“隨機(jī)事件A發(fā)生”的含義是難點(diǎn).對(duì)象階段完成了將“隨機(jī)事件”與“樣本空間的子集”構(gòu)建聯(lián)系的過程，“隨機(jī)事件發(fā)生”在本階段變成了一個(gè)相對(duì)獨(dú)立的“實(shí)體”，變成了集合中的某個(gè)點(diǎn)數(shù)的出現(xiàn)，突破了“隨機(jī)事件發(fā)生”的含義這個(gè)難點(diǎn).隨后再?gòu)臉颖究臻g特殊子集的角度提出問題引導(dǎo)學(xué)生思考全集及空集對(duì)應(yīng)于什么事件，從而完成了用樣本點(diǎn)概念重新建構(gòu)隨機(jī)事件概念的任務(wù).用樣本點(diǎn)構(gòu)建隨機(jī)事件概念的體系初步建立，即將進(jìn)入下面的圖式階段.

4 圖式階段的教學(xué)策略

策略：強(qiáng)化知識(shí)梳理與應(yīng)用，新舊聯(lián)系完善圖式.

杜賓斯基指出，圖式是對(duì)事物的綜合性表征，其內(nèi)部結(jié)構(gòu)的連貫性對(duì)個(gè)體理解和運(yùn)用數(shù)學(xué)概念的能力至關(guān)重要.加涅概括出圖式的三個(gè)特征：（1） 包含變量；（2） 具有層級(jí)結(jié)構(gòu)；（3） 能夠促進(jìn)推論.以函數(shù)為例解釋上述三個(gè)特征，即圖式包含變量是指圖式中的許多屬性允許改變，例如函數(shù)的本質(zhì)屬性是映射，但這種映射具有多種表征形式：解析式、圖象、表格等；圖式具有層級(jí)結(jié)構(gòu)是指特殊函數(shù)是一般函數(shù)的子圖式，函數(shù)是映射的子圖式；圖式能夠促進(jìn)推論是指圖式的性質(zhì)可以推出子圖式的性質(zhì)，例如函數(shù)具有定義域和值域，冪函數(shù)、三角函數(shù)等函數(shù)的子圖式同樣具有定義域和值域.故教師在教學(xué)時(shí)應(yīng)注意知識(shí)之間的縱向聯(lián)系與橫向聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)新概念與舊概念之間的關(guān)系，辨析異同點(diǎn)，構(gòu)建完整的圖式.

例如：在“有限樣本空間與隨機(jī)事件”這節(jié)課中，筆者用樣本點(diǎn)構(gòu)建隨機(jī)事件概念的體系初步建立，在圖式階段學(xué)生需要進(jìn)一步構(gòu)建完整的圖式，可以設(shè)計(jì)如下問題：

問題：請(qǐng)你帶著如下問題回顧一下本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，并給出回答.

（1） 本節(jié)課我們是按怎樣的路徑構(gòu)建概念體系的？

（2） 不確定現(xiàn)象隨處可見，我們感興趣的隨機(jī)現(xiàn)象有什么特點(diǎn)？你能舉例說明嗎？

（3） 你能舉例說明樣本點(diǎn)和樣本空間的含義嗎？

（4） 隨機(jī)事件和樣本點(diǎn)有怎樣的關(guān)系？你能舉例說明什么叫“隨機(jī)事件發(fā)生”嗎？

有限樣本空間與隨機(jī)事件是“隨機(jī)事件與概率”這個(gè)單元的起始單元.本章節(jié)的邏輯主線為“有限樣本空間與隨機(jī)事件——事件的關(guān)系和運(yùn)算——古典概型——概率的基本性質(zhì)”，學(xué)生通過回答這一串的問題，構(gòu)建了樣本點(diǎn)、有限樣本空間、隨機(jī)事件概率的圖式，更深刻理解隨機(jī)事件的概念；通過與集合的關(guān)系與運(yùn)算的類比解釋了隨機(jī)變量的本質(zhì)——樣本空間到實(shí)數(shù)集的映射.

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