易明交 陳曉寧 劉香杰

?杭州師大附屬阿克蘇市高級中學(xué)

1 試題呈現(xiàn)

(2022年全國高考乙卷第21題)已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)+axe-x.

(1)當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程；

(2)若f(x)在區(qū)間(-1,0),(0,+∞)各恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

本題第(1)問考查函數(shù)在某點(diǎn)處的切線問題，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義就可以解決.第(2)問考查的是函數(shù)在兩個(gè)區(qū)間上的零點(diǎn)問題，解決函數(shù)零點(diǎn)問題的一種方法就是通過研究函數(shù)的單調(diào)性觀察圖象與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，另一種是通過分離參數(shù)后探究兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù).

分析：(1)先求f′(x)，f′(0)即為曲線在點(diǎn)(0,f(0))處切線的斜率，進(jìn)而求出切線方程.

(2)求導(dǎo),對a進(jìn)行分類討論,并對x∈(-1,0),x∈(0,+∞)分別研究.

圖1

2 試題解析

2.1 第(1)問詳解

2.2 第(2)問詳解

思路一：對參數(shù)合理分類，分步研究函數(shù)的零點(diǎn)情況.

解法1：因?yàn)閒(x)=ln(1+x)+axe-x，所以

設(shè)g(x)=ex+a(1-x2)，則g(0)=a+1.

①若a>0,當(dāng)x∈(-1,0)時(shí),g(x)=ex+a(1-x2)>0，即f′(x)>0,所以f(x)在(-1,0)上單調(diào)遞增,f(x)

②若-1≤a≤0,當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),g′(x)=ex-2ax>0,則g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，從而g(x)>g(0)=a+1≥0,即f′(x)>0.所以f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,f(x)>f(0)=0.故f(x)在(0,+∞)上沒有零點(diǎn),與題意矛盾.

③若a<-1,當(dāng)x∈(0,+∞),g′(x)=ex-2ax>0,則g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增；又因?yàn)間(0)=a+1<0,g(1)=e>0，所以存在x0∈(0,1),使g(x0)=0,即f′(x0)=0.當(dāng)x∈(0,x0)時(shí)，f′(x)<0，則f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(x0,+∞)時(shí)，f′(x)>0,則f(x)單調(diào)遞增.所以，當(dāng)x∈(0,x0)時(shí)，f(x)1>x0，f(e-a)=ln(1+e-a)+ae-ae-e-a>0.所以f(x)在(x0,+∞)上有唯一零點(diǎn)，在(0,x0)上沒有零點(diǎn),從而f(x)在(0,+∞)上有唯一零點(diǎn).

若a<-1,當(dāng)x∈(-1,0)時(shí)，g(x)=ex+a(1-x2)，g′(x)=ex-2ax.

圖2

綜上所述，a的取值范圍為(-∞,-1).

思路二：利用參變半分離，研究圖象的切線與直線之間的位置關(guān)系，確定零點(diǎn)個(gè)數(shù).

解法2：由f(x)=ln(1+x)+axe-x=0，得-ax=exln(1+x)(x>-1).

令h′(x)=0,得x=0.當(dāng)x∈(-1,0)時(shí)，h′(x)<0；當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí)，h′(x)>0.

所以h(x)min=h(0)=1，從而h(x)≥1在區(qū)間(-1，+∞)上恒成立.

所以g(x)在(-1，+∞)上單調(diào)遞增.又g(0)=0，且g′(0)=1，則g(x)在x=0處的切線方程為y=x.

因?yàn)閒(x)在區(qū)間(-1,0)，(0，+∞)各恰有一個(gè)零點(diǎn)，也就是說g(x)與y=-ax在區(qū)間(-1,0)，(0，+∞)各恰有一個(gè)交點(diǎn)，所以只需要-a>1，即a<-1.(如a=-1或-2時(shí)，如圖3，4所示).

所以，a的取值范圍為(-∞，-1).

圖3

圖4

點(diǎn)評：解法2的關(guān)鍵是分離參數(shù)構(gòu)造出兩個(gè)函數(shù)，分析g(x)的單調(diào)性，找出g(x)在點(diǎn)(0,0)處的切線，從而只需直線y=-ax的斜率大于1才能使直線與函數(shù)g(x)圖象有兩個(gè)交點(diǎn).

思路三：利用參變?nèi)蛛x，準(zhǔn)確作出函數(shù)的圖象,然后上下移動(dòng)直線,觀察直線與函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可.

令h(x)=(x2-1)ln(x+1)+x，則h′(x)=x[2ln(x+1)+1].

當(dāng)x>0時(shí),h′(x)>0，則h(x)在(0，+∞)單調(diào)遞增，所以h(x)>h(0)=0，從而g′(x)<0，故g(x)在(0，+∞)單調(diào)遞減.

所以a<-1時(shí)，在(0，+∞)上y=a與y=g(x)的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，因此f(x)在區(qū)間(0，+∞)恰有一個(gè)零點(diǎn).

所以g(x)在(-1，x1)單調(diào)遞增，在(x1，0)單調(diào)遞減，從而g(x)max=g(x1).

又x→-1時(shí)，g(x)→-∞,且有

所以只有a<-1時(shí)，在(-1,0)上y=a與y=g(x)的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，因此f(x)在區(qū)間(-1,0)恰有一個(gè)零點(diǎn).(如a=-1或-2時(shí)，如圖5，6所示).

綜上所述，a的取值范圍為(-∞,-1).

圖5

思路四：對函數(shù)解析式合理變形，零點(diǎn)不發(fā)生變化.

解法4：對f(x)=ln(1+x)+axe-x兩邊同乘ex,得exf(x)=exln(x+1)+ax.令g(x)=exf(x),即g(x)=exln(x+1)+ax(x>-1),則g(0)=0，且

又x→-1時(shí),g′(x)→+∞，所以存在x1∈(-1,x0),x2∈(0,-a)，使g′(x1)=g′(x2)=0，且g(x)在(-1，x1)上單調(diào)遞增，在(x1，x2)上單調(diào)遞減，在(x2，+∞)上單調(diào)遞增.又因?yàn)間(0)=0,所以g(x1)>0,g(x2)<0,于是存在x3∈(-1,0),x4∈(0,+∞),使g(x3)=g(x4)=0.

綜上所述,a的取值范圍為(-∞，-1).

解法5：設(shè)y=xe-x,則y′=e-x(1-x).所以，當(dāng)-11時(shí)，y=xe-x單調(diào)遞減.

當(dāng)a≥0時(shí),f(x)在(-1,1)上單調(diào)遞增，且f(0)=0，所以f(x)在(-1,0)上無零點(diǎn)，這與題意矛盾.

故a的取值范圍為(-∞，-1).

圖7

圖8

當(dāng)a≥0時(shí)，x∈(-1,1)時(shí)，f′(x)>0，則f(x)在(-1,1)上單調(diào)遞增.又f(0)=0,則當(dāng)x∈(-1,0)時(shí)f(x)<0，所以f(x)在(-1,0)上不存在零點(diǎn).

圖9

綜上所述，a的取值范圍為(-∞,-1).

3 鏈接高考

鏈接1(2022年浙江溫嶺中學(xué)模擬題)已知函數(shù)f(x)=alnx+e-x(x-1).

(1)當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程；

(2)證明：當(dāng)a≥0時(shí)，f(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)；

(3)若f(x)在區(qū)間(0,1),(1,+∞)各恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

鏈接2(2018年全國高考理科第21題)已知函數(shù)f(x)=ex-ax2.

(1)若a=1，證明：當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)≥1；

(2)若f(x)在(0,+∞)只有一個(gè)零點(diǎn)，求a的值.

2022年全國高考乙卷第21題在考查導(dǎo)數(shù)的基本運(yùn)算法則、基本性質(zhì)等知識點(diǎn)的同時(shí)，考查學(xué)生的運(yùn)算求解、數(shù)學(xué)分析等關(guān)鍵能力以及轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合等思想方法，較好地考查學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng).題目的求解，需要學(xué)生有較強(qiáng)的邏輯思維轉(zhuǎn)換能力與代數(shù)計(jì)算能力.不難發(fā)現(xiàn)，上述解法2和解法3的解答過程都圍繞“分參”展開，歸納起來無外乎兩類：一類是等式關(guān)系轉(zhuǎn)化為參數(shù)與函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題；另一類就是函數(shù)的切線與函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題.通過對分離參數(shù)法的再思考，在解決可分參的問題時(shí)，指導(dǎo)學(xué)生抓住問題的本質(zhì)，掌握通性、通法，讓學(xué)生可以觸類旁通、事半功倍，達(dá)成練一題、學(xué)一法、會(huì)一類、通一片的效果.在解題教學(xué)中，教師要有意識地引導(dǎo)學(xué)生探究問題的本質(zhì)，注重解題過程，從繁雜的試題以及多變的解法中，追根溯源，探尋不變的本質(zhì)，從而真正達(dá)到事半功倍的效果.