摘要：復(fù)變函數(shù)是全國高等學(xué)校數(shù)學(xué)專業(yè)的一門專業(yè)必修課，復(fù)變函數(shù)的理論和思想方法在物理、工程以及數(shù)學(xué)其他分支學(xué)科中都有廣泛的應(yīng)用。結(jié)合我校數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)（師范）特點，本文分析了目前復(fù)變函數(shù)課程教學(xué)中存在的困難以及不足，進而對復(fù)變函數(shù)教學(xué)路徑進行了探析，以期增強學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，提高課程的教學(xué)效果，形成良好的教學(xué)循環(huán)。

關(guān)鍵詞：復(fù)變函數(shù)；數(shù)學(xué)專業(yè)；教學(xué)路徑探析

Abstract：Complex variable function is a professional compulsory course in mathematics majors in colleges and universities across the country，and the theory and analysis methods of complex variable functions are widely used in physics，engineering and other sub-disciplines of mathematics.Combined with the characteristics of mathematics and applied mathematics（teacher-training）in our school，this paper analyzes the difficulties and shortcomings in the current teaching of complex variable function courses，and then analyzes the teaching path of complex variable functions in order to enhance students' learning interest，improve the teaching effect of the curriculum，and form a good teaching cycle.

Keywords：Complex functions； Mathematics majors； Teaching path analysis

1 概述

復(fù)變函數(shù)的理論和方法在物理、工程、力學(xué)等諸多學(xué)科領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用，并且在數(shù)學(xué)學(xué)科的其他分支中也占據(jù)著非常重要的作用，如偏微分方程、泛函微分方程、調(diào)和分析等。復(fù)變函數(shù)是我校數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)（師范）學(xué)生的一門專業(yè)必修課程，也是數(shù)學(xué)分析的后續(xù)課程，通過復(fù)變函數(shù)理論的系統(tǒng)學(xué)習(xí)，有助于鞏固和加深學(xué)生對數(shù)學(xué)分析課程中知識點的認(rèn)知和理解，并且對數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生后續(xù)課程的學(xué)習(xí)至關(guān)重要，有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和分析問題解決問題的能力。我校數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)具有師范類性質(zhì)，對于今后從事中學(xué)數(shù)學(xué)教育的學(xué)生而言，掌握好復(fù)變函數(shù)的基本理論與思想方法，將有助于他們在中學(xué)以更高觀點去教學(xué)，優(yōu)化教學(xué)設(shè)計。而對于今后在數(shù)學(xué)領(lǐng)域深造的學(xué)生而言，不少高校在研究生復(fù)試時需要考查復(fù)變函數(shù)理論，學(xué)習(xí)復(fù)變函數(shù)不僅為考研奠定良好的基礎(chǔ)，從長遠角度來看，也為學(xué)生在后續(xù)更深層次的數(shù)學(xué)專業(yè)課程學(xué)習(xí)打下牢固的基礎(chǔ)。

2 復(fù)變函數(shù)教學(xué)中面臨的困難

2.1 課程課時少而難度大

我校2022年數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)（師范）通過教育部師范類專業(yè)中學(xué)教育二級認(rèn)證，根據(jù)本次專業(yè)認(rèn)證中新制訂的人才培養(yǎng)方案，復(fù)變函數(shù)的理論課時壓縮為48課時，理論學(xué)分為3學(xué)分，而類似于數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)等數(shù)學(xué)專業(yè)基礎(chǔ)課程，復(fù)變函數(shù)的理論知識是具有一定深度和難度的。復(fù)變函數(shù)是數(shù)學(xué)分析的后續(xù)課程，兩門課程在知識框架結(jié)構(gòu)上具有較強的相似性，如果學(xué)生對數(shù)學(xué)分析的基本知識理論沒有掌握好，那么在學(xué)習(xí)復(fù)變函數(shù)時就會產(chǎn)生一定的畏懼心理，覺得這門課程難度大，比較難學(xué)。

針對數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生，我們所選用的教材是鐘玉泉老師編著的《復(fù)變函數(shù)論》（第五版），基于所選用教材，復(fù)變函數(shù)課程講授的主要內(nèi)容是復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)、解析函數(shù)、復(fù)變函數(shù)的積分、解析函數(shù)的冪級數(shù)表示法、解析函數(shù)的洛朗展式與孤立奇點、留數(shù)理論及其應(yīng)用、共形映射。而在課時相對少、所需講授內(nèi)容相對多、課程難度又相對大的情形下，如何將課程中很多概念、理論和方法講解好，并將課程思政元素融入課堂教學(xué)當(dāng)中，讓學(xué)生理解消化好，這對授課教師來說是一個考驗。

2.2 學(xué)生學(xué)習(xí)興趣不足

復(fù)變函數(shù)作為數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)（師范）學(xué)生的專業(yè)基礎(chǔ)課，它的數(shù)學(xué)專業(yè)性質(zhì)決定了課程內(nèi)容較為復(fù)雜抽象，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中體會不到其理論知識在實際問題解決中的應(yīng)用價值，從而學(xué)生的學(xué)習(xí)信心和學(xué)習(xí)興趣不能得到有效激發(fā)。

另外，復(fù)變函數(shù)是數(shù)學(xué)分析中實變函數(shù)微積分的推廣和擴展，復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)性概念、導(dǎo)數(shù)與微分積分定義、復(fù)變函數(shù)項級數(shù)收斂等這些概念性質(zhì)，與數(shù)學(xué)分析中非常相似，那么學(xué)生在學(xué)習(xí)這些相似知識點時，會覺得這些知識點都是以前學(xué)過的，學(xué)習(xí)興趣不高，并且會產(chǎn)生懈怠心理。而這兩門課程之間肯定是有很大區(qū)別的，當(dāng)授課教師在講解復(fù)變函數(shù)中異于數(shù)學(xué)分析中的理論知識時，學(xué)生往往由于懈怠心理而錯過了新知識的學(xué)習(xí)，如此更提不起學(xué)習(xí)興趣。

另一方面，我校數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)復(fù)變函數(shù)課程安排在大三下學(xué)期，這個階段學(xué)生大多處于就業(yè)或考研的準(zhǔn)備當(dāng)中。對于有意從事中學(xué)教學(xué)的學(xué)生而言，他們需要通過教師資格證考試才能獲得中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)資格，而教師資格證考試所涉及的數(shù)學(xué)專業(yè)知識主要是數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)、解析幾何以及概率論與數(shù)理統(tǒng)計，未涉及復(fù)變函數(shù)的理論知識，在當(dāng)前應(yīng)試教育背景下，學(xué)生會覺得復(fù)變函數(shù)理論對中學(xué)教學(xué)沒有多大用處，從而不重視復(fù)變函數(shù)的學(xué)習(xí)，學(xué)習(xí)興趣和熱情自然也不足。而對于有意考研深造的學(xué)生，他們在備戰(zhàn)時，同樣只關(guān)注與考研相關(guān)的數(shù)學(xué)專業(yè)知識，如數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)。考研的學(xué)生短期目標(biāo)明確，不愿花太多時間去學(xué)習(xí)與考研初試無關(guān)的復(fù)變函數(shù)，對該課程的關(guān)注度就不夠，更談不上學(xué)習(xí)興趣了。

2.3 教學(xué)手段不夠豐富

在復(fù)變函數(shù)的教學(xué)過程中，多數(shù)教師采用“單聲道”“滿堂灌”的教學(xué)方式，忽視了對學(xué)生學(xué)習(xí)積極性的調(diào)動以及學(xué)習(xí)方法的指導(dǎo)和引領(lǐng)，多數(shù)學(xué)生對于很多概念定理定義只能停留在記憶背誦的層面，比如，刻畫解析函數(shù)的四個等價定理，其中第一個等價定理［1］：函數(shù)f（z）=u（x，y）+iv（x，y）在區(qū)域D內(nèi)解析的充要條件是：（1）二元函數(shù)u（x，y），v（x，y）在區(qū)域D內(nèi)可微；（2）u（x，y），v（x，y）在D內(nèi)滿足柯西-黎曼方程。而第二個刻畫解析函數(shù)的等價定理，只是在第一個等價定理的基礎(chǔ)上將其中的條件（1）換成條件“（1）'u_x，u_y，v_x，v_y在D內(nèi)連續(xù)”，如果授課教師在講解這個知識點時采用直接灌輸?shù)姆绞?，學(xué)生體會不到條件（1）和（1）'之間的區(qū)別，甚至最后可能會忘記這兩個條件，只對第（2）個條件有點印象，那么在考試時就容易出錯，體驗不到成就感和自信心，這樣一來學(xué)生覺得課程內(nèi)容難度大還比較枯燥，教師也無法達到設(shè)想的教學(xué)質(zhì)量，教學(xué)熱情也有所降低，無法形成一個良好的教學(xué)循環(huán)。

3 復(fù)變函數(shù)教學(xué)路徑探析

綜上所述，在有限的教學(xué)課時內(nèi)，想實現(xiàn)師生共贏的局面，有必要對復(fù)變函數(shù)課程進行一定程度的教學(xué)探索與改革。課程課時少而難度大，授課對象是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生，再結(jié)合本專業(yè)的師范性特點，在教學(xué)過程中，教師要結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和實際需求，對課程內(nèi)容要有自己深層次的思考，不能僅局限于所選用的教材，還要查閱相關(guān)的其他教材以及文獻資料，了解復(fù)變函數(shù)的學(xué)科前沿，精確把握住課程的重難點，對課程內(nèi)容進行有效的整合與取舍，并且采用多樣化的教學(xué)方式，生動透徹地講授課程知識點，從而達到良好的教學(xué)效果。

3.1 復(fù)變函數(shù)教學(xué)需結(jié)合學(xué)生需求

在復(fù)變函數(shù)教學(xué)中，教師可以結(jié)合學(xué)生對復(fù)變函數(shù)理論的認(rèn)知需求、興趣需求以及應(yīng)用需求，有效降低復(fù)變函數(shù)的學(xué)習(xí)難度，促進學(xué)生學(xué)習(xí)該課程的信心和熱情，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

復(fù)變函數(shù)中的很多基本理論知識點和思想方法與數(shù)學(xué)分析中非常相似，在講解過程中，可以采用類比思想進行有效整合，簡要講解相同點，重點突出不同點，降低學(xué)生學(xué)習(xí)難度，并且提高學(xué)生學(xué)習(xí)效率。比如，在講解初等多值函數(shù)時，可以類比于數(shù)學(xué)分析中的反三角函數(shù)如正弦函數(shù)y=sinx，其中x是y的反正弦函數(shù)，根據(jù)正弦函數(shù)的周期性，反正弦函數(shù)是一個多值函數(shù)，而在實數(shù)范圍內(nèi)，為了使反正弦函數(shù)有意義，我們限定了反正弦函數(shù)的值域為[－π/2，π/2]。那么，對于初等多值函數(shù)的學(xué)習(xí)，可以采用類似的思想，限定因變量的取值范圍，這樣學(xué)生就容易理解單葉性區(qū)域以及單值解析分支等概念，符合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，增強學(xué)生學(xué)習(xí)的信心，提高學(xué)生分析問題的能力。

而且，在教學(xué)過程中，可以采用數(shù)形結(jié)合，讓學(xué)生體會到復(fù)變函數(shù)與幾何的聯(lián)結(jié)以及美妙之處，增強學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。復(fù)變函數(shù)理論中蘊含著豐富的幾何思維，復(fù)數(shù)可以視為平面上的二維向量，復(fù)數(shù)的加減就對應(yīng)向量的加減，復(fù)數(shù)的模和輻角對應(yīng)向量的長度和與實軸的夾角，復(fù)數(shù)相乘z₁z₂相當(dāng)于把z₁所對應(yīng)的向量長度伸縮z₂倍，再旋轉(zhuǎn)一個角度（z2的輻角），在講解過程中可以借助于幾何圖形直觀演示，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性與能動性。

另外，對于有意從事中學(xué)教育的學(xué)生，教師在講授復(fù)變函數(shù)內(nèi)容時，要體現(xiàn)知識點在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的聯(lián)系與應(yīng)用，這樣學(xué)生就會產(chǎn)生學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)動力。比如，可以和學(xué)生簡要介紹《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017版）》中的必修模塊“幾何與代數(shù)”包含平面向量及其應(yīng)用、復(fù)數(shù)、立體幾何初步等內(nèi)容［2］，而復(fù)數(shù)理論與平面向量幾何之間是有密切聯(lián)系的，并且復(fù)變函數(shù)理論也可以為中學(xué)數(shù)學(xué)解題提供新的思想方法，這樣學(xué)生就體會到復(fù)數(shù)內(nèi)容在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要性，從而重視復(fù)變函數(shù)的學(xué)習(xí)。

3.2 教師對教學(xué)內(nèi)容進行深層次思考

首先，對于復(fù)變函數(shù)教學(xué)，開好頭起好步很重要，如果一上來就直接講述課程理論知識，學(xué)生對這門課程的背景及發(fā)展歷程不了解，就無法產(chǎn)生對這門課程的好奇心和學(xué)習(xí)動機。因此，教師在引言部分要簡要講述復(fù)變函數(shù)的發(fā)展歷史，讓學(xué)生了解數(shù)系的擴充過程，領(lǐng)悟其中所蘊含的理性思維的作用?？梢院喴榻B三位數(shù)學(xué)大家——法國數(shù)學(xué)家柯西、德國數(shù)學(xué)家黎曼和魏爾斯特拉斯，在復(fù)變函數(shù)理論的發(fā)展歷程中所做的巨大努力以及他們的勵志事跡，讓學(xué)生感悟到任何一個學(xué)科理論從形成到完善再到系統(tǒng)化并不是一蹴而就的，激勵學(xué)生要有勇于進取、不畏艱難、開拓創(chuàng)新的科學(xué)精神。再介紹復(fù)變函數(shù)在物理、力學(xué)以及其他數(shù)學(xué)分支如代數(shù)學(xué)、微分方程等方面的應(yīng)用，讓學(xué)生體會到復(fù)變函數(shù)的實際應(yīng)用性，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣。

其次，在復(fù)變函數(shù)理論知識點講授過程中，適當(dāng)關(guān)注與課程內(nèi)容相關(guān)領(lǐng)域的動態(tài)進展，并適時地在課堂上與學(xué)生討論，打破數(shù)學(xué)教學(xué)的沉悶。例如，在課堂上觀察到學(xué)生聽得比較疲倦，注意力不是很集中時，可以切換一下重心，比如，和學(xué)生講講最近2022年物理學(xué)諾貝爾獎獲得者的事跡，三位獲得者都是在量子力學(xué)領(lǐng)域做出卓越貢獻，而量子力學(xué)中著名的薛定諤方程是奧地利物理學(xué)家薛定諤借助于復(fù)變函數(shù)得出的。這樣一來，既緩解了學(xué)生的學(xué)習(xí)疲勞，又讓學(xué)生體會到復(fù)變函數(shù)的重要性，拓寬了知識視野，同時增加了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。

最后，教師在講授知識點時可以適時地結(jié)合自己的科研工作，形成科研與教研相互促進，也讓學(xué)生感悟到課程知識點的學(xué)習(xí)價值。以筆者為例，筆者現(xiàn)在所研究的關(guān)于多個體系統(tǒng)的時間漸近行為的課題，其中在分析解的適定性時就用到解析函數(shù)零點的孤立性以及唯一性定理，那么在講解到復(fù)變函數(shù)第四章第4節(jié)時，可以和學(xué)生簡要提及解析函數(shù)的特性在自己所做科研工作中的應(yīng)用，以加深學(xué)生對知識點的理解，并且增強學(xué)生學(xué)習(xí)該課程的興趣和熱情，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維和分析問題的能力。

3.3 教學(xué)方式多樣化

我們可以充分利用在線教學(xué)平臺，由于課時的限制，在課堂教學(xué)中不可能涉及教材中的所有知識點，那么學(xué)生可以根據(jù)自身的課堂學(xué)習(xí)情況，在課后對平臺中的教學(xué)視頻、課件以及其他學(xué)習(xí)資料進行學(xué)習(xí)，鞏固課堂上的學(xué)習(xí)內(nèi)容，并且可以對自己感興趣而課堂上未詳細講解的知識點進行深入學(xué)習(xí)。目前我校給師生提供了完善的學(xué)習(xí)通教學(xué)平臺，教師可以在課前、課中、課后發(fā)布在線作業(yè)、測試以及相關(guān)知識點的主題討論。比如發(fā)布主題討論：解析函數(shù)在其定義域中某點領(lǐng)域內(nèi)的取值情況完全決定著它在其他部分的值，請談?wù)勀銓馕龊瘮?shù)這一特性的看法。學(xué)生可以在討論區(qū)發(fā)表自己的感悟，互動交流，這樣不僅可以鞏固對解析函數(shù)特性的理解，學(xué)生之間還可以互相學(xué)習(xí)互相激勵，營造良好的學(xué)習(xí)氛圍。另外，在教學(xué)過程中，可以將班級同學(xué)分成幾個小組，對于一些學(xué)習(xí)任務(wù)可以組織小組交流討論，這樣課堂教學(xué)會充滿活力，學(xué)生的團隊合作能力也得到訓(xùn)練和加強。其次，教師可以建立一個班級QQ群，向?qū)W生推送一些關(guān)于數(shù)學(xué)專業(yè)的公眾號，如賽先生、和樂數(shù)學(xué)、遇見數(shù)學(xué)等，看到積極向上、求真務(wù)實、充滿正能量的視頻或文稿可以轉(zhuǎn)發(fā)在班級QQ群，以培養(yǎng)學(xué)生不斷探索、刻苦鉆研、勇于進取的科學(xué)精神，激勵學(xué)生要腳踏實地地做人做事做學(xué)問。最后，可以適當(dāng)采用對分課堂、翻轉(zhuǎn)課堂等教學(xué)方法，讓學(xué)生的參與度更強，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的主觀能動性，從而獲得對知識點更深層次的理解與體驗。

結(jié)語

在新時代一流學(xué)科建設(shè)的驅(qū)動下，有必要對復(fù)變函數(shù)課程進行有效的教學(xué)路徑探析，以適應(yīng)時代發(fā)展需求。結(jié)合我校數(shù)學(xué)專業(yè)特點，本文首先指出了目前復(fù)變函數(shù)課程教學(xué)中面臨的一些困難，然后從課程教學(xué)結(jié)合學(xué)生需求，教師自身要對教學(xué)內(nèi)容進行深層次思考，以及教學(xué)方式多樣化這三個方面，探析了新時代背景下復(fù)變函數(shù)課程教學(xué)路徑。這些觀點僅是立足于我校數(shù)學(xué)專業(yè)情況的一點個人淺見，在今后的教學(xué)中，會持續(xù)改進課程教學(xué)措施，提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維，提高教學(xué)質(zhì)量。

參考文獻：

［1］鐘玉泉.復(fù)變函數(shù)論［M］.5版.北京：高等教育出版社，2021.

［2］李瀏蘭，方敏，劉剛.復(fù)變函數(shù)與中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)［J］.高等數(shù)學(xué)研究，2022，25（3）：83-85.

［3］李志艷.淺談復(fù)變函數(shù)課程教學(xué)改革［J］.科技視界，2021：46-47.

［4］侯利元，劉念平.以初等函數(shù)為例對復(fù)變函數(shù)進行的教學(xué)探討［J］.樂山師范學(xué)院，2021，36（2）：110-115.

基金項目：國家自然科學(xué)基金項目（12201172）；合肥學(xué)院人才科研基金項目（21-22RC23）；合肥學(xué)院教育教學(xué)改革研究重大項目（2021hfujyxm03）；安徽省級課程思政示范課程（2021kcszsfkc359）；合肥學(xué)院基層教研室示范項目（2020hfujyssf02）；合肥學(xué)院重大教學(xué)研究項目（2020 hfujyxm01）；安徽省教學(xué)研究重點項目（2020jyxm1591）

作者簡介：朱婷婷（1992—），女，安徽合肥人，博士，研究方向：微分方程及其應(yīng)用。